高斯單位制(其三)

高斯單位制(其三)

這一節(jié)開始推導(dǎo)一下高斯單位制下希太,靜電場和靜磁場的相關(guān)公式戈泼。

靜電場

靜電場的出發(fā)點(diǎn)自然式麥克斯韋方程組關(guān)于電場的兩個候址,因為是靜電場慢叨,所以磁場變化項就為零了:
\begin{aligned} \nabla \cdot \vec{D} & = 4\pi\rho_f \\ \nabla \times \vec{E} & = 0 \\ \vec{D} & = \epsilon\vec{E} \end{aligned}
根據(jù)\nabla\times \vec{E} = 0盖矫,靜電場下可以定義電勢
\psi(\vec{r}_2) - \psi(\vec{r}_1) = -\int_{\vec{r}_1}^{\vec{r}_2}\vec{E}\cdot d\vec{l}
自然丽惭,很容易得到
\vec{E} = -\nabla \psi
通過點(diǎn)電荷電勢,可以推出一般的電勢公式
\psi(\vec{r}) = \int\dfrac{\rho(\vec{r}')dV'}{|\vec{r}-\vec{r}'|}
再根據(jù)\nabla\cdot\vec{D}=4\pi\rho_f,\vec{D}=\epsilon\vec{E}辈双,于是有靜電場的泊松方程
\nabla^2\psi = -\dfrac{4\pi}{\epsilon}\rho_f

電偶極子

定義和SI制一樣责掏,\vec{p} = q(\vec{r}_+-\vec{r}_-)或者一般式
\vec{p} = \int \rho \vec{r} dV
遠(yuǎn)場的偶極子電勢
\psi = \dfrac{\vec{p}\cdot\vec{r}}{r^3}
偶極子受力為,
\vec{F} = -\nabla U = \nabla (\vec{p}\cdot \vec{E}_{\text{外}}) = \vec{p}\cdot\nabla\vec{E}_{\text{外}}
受到的力矩為
\vec{N} = \vec{p}\times\vec{E}
這些都和SI制差不太多湃望,至于電四極矩之類的换衬,應(yīng)該也很好推導(dǎo)痰驱。

靜磁場

靜磁場出發(fā)點(diǎn)也是麥克斯韋方程組
\begin{aligned} \nabla \cdot \vec{B} &= 0 \\ \nabla \times \vec{H} &= \dfrac{4\pi}{c} \vec{j}_f \\ \vec{B} &= \mu\vec{H} \end{aligned}
不過,磁場還要引入一個磁矢勢\vec{A}冗疮,使得\vec{B} =\nabla\times\vec{A}. 一般來說萄唇,這里還是采取庫倫規(guī)范條件\nabla\cdot\vec{A},于是有
\nabla\times\vec{B} = \nabla\times(\nabla\times\vec{A}) = \nabla(\nabla\cdot\vec{A})-\nabla^2\vec{A} = -\nabla^2\vec{A}=\dfrac{4\pi}{c}\mu\vec{j}
即關(guān)于磁矢勢的泊松方程
\nabla^2\vec{A} = -\dfrac{4\pi}{c}\mu\vec{j}
一般的术幔,磁矢勢表達(dá)式為
\vec{A} = \dfrac{\mu}{c}\int\dfrac{\vec{j}(\vec{r}')}{|\vec{r}-\vec{r}'|}dV'

磁偶極子

高斯單位制下另萤,電場公式似乎都比較熟悉,磁場公式則需要小心光速c. 所以這里仔細(xì)推導(dǎo)一下磁偶極子的定義诅挑,我們知道四敞,電偶極子是電場的多級展開的第二項。自然拔妥,磁偶極子也是磁場的多級展開的一項忿危。首先,根據(jù)
\dfrac{1}{|\vec{r}-\vec{r}'|} = \dfrac{1}{r} + \dfrac{\vec{r}\cdot\vec{r}'}{r^3} + \cdots
將磁矢勢的一般表達(dá)式展開
\vec{A} = \dfrac{\mu}{c}\dfrac{1}{r}\int_V\vec{j}(\vec{r}')dV' + \dfrac{\mu}{c}\dfrac{1}{r^3}\vec{r}\cdot\int_V \vec{r}'\vec{j}'dV' + \cdots
上式的意義是没龙,設(shè)有一個具有電流的導(dǎo)體铺厨,其尺度為V,求其在很遠(yuǎn)的\vec{r}處產(chǎn)生的磁矢勢硬纤。而第一項積分體積內(nèi)沒有電流的流入或者流出解滓,所以一定為零。第二項就是我們磁偶極子筝家,首先證明一個式子
\int_V (\vec{r}'\vec{j}+\vec{j}\vec{r}')d V' = 0
這是因為
\nabla'\cdot(\vec{j}\vec{r}'\vec{r}') = (\nabla'\cdot\vec{j})\vec{r}'\vec{r}' + \vec{j}\cdot(\nabla'\vec{r}')\vec{r}' + \vec{r}'\vec{j}\cdot(\nabla'\vec{r}') \\ = \vec{j}\vec{r}'+\vec{r}'\vec{j}
體積分可以化為邊界上的積分洼裤,而邊界上的電流為零,所以積分為零溪王。于是磁偶極子項可以寫成
\vec{A} = \dfrac{\mu}{c}\dfrac{1}{2r^3}\vec{r}\cdot\int_V(\vec{r}'\vec{j}-\vec{j}\vec{r}') dV' = -\dfrac{\mu}{c}\dfrac{1}{2r^3}\vec{r}\times\int_V(\vec{r}'\times\vec{j})dV'
定義磁偶極子
\vec{m} = \dfrac{1}{2c}\int_V\vec{r}'\times\vec{j}dV'
于是
\vec{A} = \mu\dfrac{\vec{m}\times\vec{r}}{r^3}
就和電偶極子的公式比較像了腮鞍。對于線圈,有\vec{m} = \dfrac{1}{2c}\int\vec{r}'\times\vec{j}dV'=\dfrac{I}{2c}\oint\vec{r}'\times d\vec{l}'莹菱,對于任意的平面線圈移国,有\vec{S} = \dfrac{1}{2}\oint\vec{r}\times d\vec{l},所以芒珠,有
\vec{m} = \dfrac{1}{c}I\vec{S}
這樣定義的磁偶極子桥狡,除了能夠消除磁偶極子的磁矢勢中的c,還使得磁偶極子的在磁場的受力公式更加簡潔皱卓。

來看看受力裹芝,高斯單位制中,洛倫茲力為\vec{F} = \dfrac{1}{c}\vec{v}\times\vec{B}娜汁,一般式為
\vec{F} = \dfrac{1}{c}\int_V\vec{j}(\vec{r})\times\vec{B}(\vec{r})dV
于是嫂易,將磁場在原點(diǎn)展開\vec{B}(\vec{r}) = \vec{B}_0 + \vec{r}\cdot\nabla\vec{B}_0+\cdots,前面已經(jīng)提到掐禁,電流密度的體積分為零怜械,所以展開式第一項積分為零颅和,第二項是磁偶極子受力項
\vec{F} = \dfrac{1}{c}\int_V\vec{j}\times(\vec{r}\cdot\nabla\vec{B}_0)dV = \dfrac{1}{c}(\int_V\vec{j}\vec{r}dV\cdot \nabla)\times\vec{B}_0
前面已經(jīng)知道\int\vec{j}\vec{r}dV = \int(\vec{j}\vec{r}-\vec{r}\vec{j})dV,而(\vec{j}\vec{r}-\vec{r}\vec{j})\cdot \nabla = (\vec{r}\times\vec{j})\times \nabla缕允,所以
\vec{F} = (\vec{m}\times\nabla)\times\vec{B}_0 = \nabla(\vec{m}\cdot\vec{B}_0)-\vec{m}(\nabla\cdot\vec{B}_0)
后一項為零峡扩,所以磁偶極子受力公式為
\vec{F} = \nabla(\vec{m}\cdot\vec{B})
這個公式看上去和SI制是一致的,并且與電偶極子的受力公式也是一致的障本。磁偶極子受到的力矩請自行推導(dǎo)
\vec{N} = \int_V\vec{r}\times (\dfrac{1}{c}\vec{j}\times\vec{B}_0)dV = \vec{m}\times\vec{B}
因此教届,高斯單位制下,磁偶極矩的定義驾霜,別忘了分母上還有一個c.

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