高斯單位制(其三)
這一節(jié)開始推導(dǎo)一下高斯單位制下希太,靜電場和靜磁場的相關(guān)公式戈泼。
靜電場
靜電場的出發(fā)點(diǎn)自然式麥克斯韋方程組關(guān)于電場的兩個候址,因為是靜電場慢叨,所以磁場變化項就為零了:
根據(jù)盖矫,靜電場下可以定義電勢
自然丽惭,很容易得到
通過點(diǎn)電荷電勢,可以推出一般的電勢公式
再根據(jù)辈双,于是有靜電場的泊松方程
電偶極子
定義和SI制一樣责掏,或者一般式
遠(yuǎn)場的偶極子電勢
偶極子受力為,
受到的力矩為
這些都和SI制差不太多湃望,至于電四極矩之類的换衬,應(yīng)該也很好推導(dǎo)痰驱。
靜磁場
靜磁場出發(fā)點(diǎn)也是麥克斯韋方程組
不過,磁場還要引入一個磁矢勢冗疮,使得
. 一般來說萄唇,這里還是采取庫倫規(guī)范條件
,于是有
即關(guān)于磁矢勢的泊松方程
一般的术幔,磁矢勢表達(dá)式為
磁偶極子
高斯單位制下另萤,電場公式似乎都比較熟悉,磁場公式則需要小心光速. 所以這里仔細(xì)推導(dǎo)一下磁偶極子的定義诅挑,我們知道四敞,電偶極子是電場的多級展開的第二項。自然拔妥,磁偶極子也是磁場的多級展開的一項忿危。首先,根據(jù)
將磁矢勢的一般表達(dá)式展開
上式的意義是没龙,設(shè)有一個具有電流的導(dǎo)體铺厨,其尺度為,求其在很遠(yuǎn)的
處產(chǎn)生的磁矢勢硬纤。而第一項積分體積內(nèi)沒有電流的流入或者流出解滓,所以一定為零。第二項就是我們磁偶極子筝家,首先證明一個式子
這是因為
體積分可以化為邊界上的積分洼裤,而邊界上的電流為零,所以積分為零溪王。于是磁偶極子項可以寫成
定義磁偶極子
于是
就和電偶極子的公式比較像了腮鞍。對于線圈,有莹菱,對于任意的平面線圈移国,有
,所以芒珠,有
這樣定義的磁偶極子桥狡,除了能夠消除磁偶極子的磁矢勢中的,還使得磁偶極子的在磁場的受力公式更加簡潔皱卓。
來看看受力裹芝,高斯單位制中,洛倫茲力為娜汁,一般式為
于是嫂易,將磁場在原點(diǎn)展開,前面已經(jīng)提到掐禁,電流密度的體積分為零怜械,所以展開式第一項積分為零颅和,第二項是磁偶極子受力項
前面已經(jīng)知道,而
缕允,所以
后一項為零峡扩,所以磁偶極子受力公式為
這個公式看上去和SI制是一致的,并且與電偶極子的受力公式也是一致的障本。磁偶極子受到的力矩請自行推導(dǎo)
因此教届,高斯單位制下,磁偶極矩的定義驾霜,別忘了分母上還有一個.