高斯單位制（其三）

這一節(jié)開始推導(dǎo)一下高斯單位制下希太，靜電場和靜磁場的相關(guān)公式戈泼。

靜電場

靜電場的出發(fā)點(diǎn)自然式麥克斯韋方程組關(guān)于電場的兩個候址，因為是靜電場慢叨，所以磁場變化項就為零了：
$\begin{aligned} \nabla \cdot \vec{D} & = 4\pi\rho_f \\ \nabla \times \vec{E} & = 0 \\ \vec{D} & = \epsilon\vec{E} \end{aligned}$
根據(jù) $\nabla\times \vec{E} = 0$ 盖矫，靜電場下可以定義電勢
$\psi(\vec{r}_2) - \psi(\vec{r}_1) = -\int_{\vec{r}_1}^{\vec{r}_2}\vec{E}\cdot d\vec{l}$
自然丽惭，很容易得到
$\vec{E} = -\nabla \psi$
通過點(diǎn)電荷電勢，可以推出一般的電勢公式
$\psi(\vec{r}) = \int\dfrac{\rho(\vec{r}')dV'}{|\vec{r}-\vec{r}'|}$
再根據(jù) $\nabla\cdot\vec{D}=4\pi\rho_f,\vec{D}=\epsilon\vec{E}$ 辈双，于是有靜電場的泊松方程
$\nabla^2\psi = -\dfrac{4\pi}{\epsilon}\rho_f$

電偶極子

定義和SI制一樣责掏， $\vec{p} = q(\vec{r}_+-\vec{r}_-)$ 或者一般式
$\vec{p} = \int \rho \vec{r} dV$
遠(yuǎn)場的偶極子電勢
$\psi = \dfrac{\vec{p}\cdot\vec{r}}{r^3}$
偶極子受力為，
$\vec{F} = -\nabla U = \nabla (\vec{p}\cdot \vec{E}_{\text{外}}) = \vec{p}\cdot\nabla\vec{E}_{\text{外}}$
受到的力矩為
$\vec{N} = \vec{p}\times\vec{E}$
這些都和SI制差不太多湃望，至于電四極矩之類的换衬，應(yīng)該也很好推導(dǎo)痰驱。

靜磁場

靜磁場出發(fā)點(diǎn)也是麥克斯韋方程組
$\begin{aligned} \nabla \cdot \vec{B} &= 0 \\ \nabla \times \vec{H} &= \dfrac{4\pi}{c} \vec{j}_f \\ \vec{B} &= \mu\vec{H} \end{aligned}$
不過，磁場還要引入一個磁矢勢 $\vec{A}$ 冗疮，使得 $\vec{B} =\nabla\times\vec{A}$ . 一般來說萄唇，這里還是采取庫倫規(guī)范條件 $\nabla\cdot\vec{A}$ ，于是有
$\nabla\times\vec{B} = \nabla\times(\nabla\times\vec{A}) = \nabla(\nabla\cdot\vec{A})-\nabla^2\vec{A} = -\nabla^2\vec{A}=\dfrac{4\pi}{c}\mu\vec{j}$
即關(guān)于磁矢勢的泊松方程
$\nabla^2\vec{A} = -\dfrac{4\pi}{c}\mu\vec{j}$
一般的术幔，磁矢勢表達(dá)式為
$\vec{A} = \dfrac{\mu}{c}\int\dfrac{\vec{j}(\vec{r}')}{|\vec{r}-\vec{r}'|}dV'$

磁偶極子

高斯單位制下另萤，電場公式似乎都比較熟悉，磁場公式則需要小心光速 $c$ . 所以這里仔細(xì)推導(dǎo)一下磁偶極子的定義诅挑，我們知道四敞，電偶極子是電場的多級展開的第二項。自然拔妥，磁偶極子也是磁場的多級展開的一項忿危。首先，根據(jù)
$\dfrac{1}{|\vec{r}-\vec{r}'|} = \dfrac{1}{r} + \dfrac{\vec{r}\cdot\vec{r}'}{r^3} + \cdots$
將磁矢勢的一般表達(dá)式展開
$\vec{A} = \dfrac{\mu}{c}\dfrac{1}{r}\int_V\vec{j}(\vec{r}')dV' + \dfrac{\mu}{c}\dfrac{1}{r^3}\vec{r}\cdot\int_V \vec{r}'\vec{j}'dV' + \cdots$
上式的意義是没龙，設(shè)有一個具有電流的導(dǎo)體铺厨，其尺度為 $V$ ，求其在很遠(yuǎn)的 $\vec{r}$ 處產(chǎn)生的磁矢勢硬纤。而第一項積分體積內(nèi)沒有電流的流入或者流出解滓，所以一定為零。第二項就是我們磁偶極子筝家，首先證明一個式子
$\int_V (\vec{r}'\vec{j}+\vec{j}\vec{r}')d V' = 0$
這是因為
$\nabla'\cdot(\vec{j}\vec{r}'\vec{r}') = (\nabla'\cdot\vec{j})\vec{r}'\vec{r}' + \vec{j}\cdot(\nabla'\vec{r}')\vec{r}' + \vec{r}'\vec{j}\cdot(\nabla'\vec{r}') \\ = \vec{j}\vec{r}'+\vec{r}'\vec{j}$
體積分可以化為邊界上的積分洼裤，而邊界上的電流為零，所以積分為零溪王。于是磁偶極子項可以寫成
$\vec{A} = \dfrac{\mu}{c}\dfrac{1}{2r^3}\vec{r}\cdot\int_V(\vec{r}'\vec{j}-\vec{j}\vec{r}') dV' = -\dfrac{\mu}{c}\dfrac{1}{2r^3}\vec{r}\times\int_V(\vec{r}'\times\vec{j})dV'$
定義磁偶極子
$\vec{m} = \dfrac{1}{2c}\int_V\vec{r}'\times\vec{j}dV'$
于是
$\vec{A} = \mu\dfrac{\vec{m}\times\vec{r}}{r^3}$
就和電偶極子的公式比較像了腮鞍。對于線圈，有 $\vec{m} = \dfrac{1}{2c}\int\vec{r}'\times\vec{j}dV'=\dfrac{I}{2c}\oint\vec{r}'\times d\vec{l}'$ 莹菱，對于任意的平面線圈移国，有 $\vec{S} = \dfrac{1}{2}\oint\vec{r}\times d\vec{l}$ ，所以芒珠，有
$\vec{m} = \dfrac{1}{c}I\vec{S}$
這樣定義的磁偶極子桥狡，除了能夠消除磁偶極子的磁矢勢中的 $c$ ，還使得磁偶極子的在磁場的受力公式更加簡潔皱卓。

來看看受力裹芝，高斯單位制中，洛倫茲力為 $\vec{F} = \dfrac{1}{c}\vec{v}\times\vec{B}$ 娜汁，一般式為
$\vec{F} = \dfrac{1}{c}\int_V\vec{j}(\vec{r})\times\vec{B}(\vec{r})dV$
于是嫂易，將磁場在原點(diǎn)展開 $\vec{B}(\vec{r}) = \vec{B}_0 + \vec{r}\cdot\nabla\vec{B}_0+\cdots$ ，前面已經(jīng)提到掐禁，電流密度的體積分為零怜械，所以展開式第一項積分為零颅和，第二項是磁偶極子受力項
$\vec{F} = \dfrac{1}{c}\int_V\vec{j}\times(\vec{r}\cdot\nabla\vec{B}_0)dV = \dfrac{1}{c}(\int_V\vec{j}\vec{r}dV\cdot \nabla)\times\vec{B}_0$
前面已經(jīng)知道 $\int\vec{j}\vec{r}dV = \int(\vec{j}\vec{r}-\vec{r}\vec{j})dV$ ，而 $(\vec{j}\vec{r}-\vec{r}\vec{j})\cdot \nabla = (\vec{r}\times\vec{j})\times \nabla$ 缕允，所以
$\vec{F} = (\vec{m}\times\nabla)\times\vec{B}_0 = \nabla(\vec{m}\cdot\vec{B}_0)-\vec{m}(\nabla\cdot\vec{B}_0)$
后一項為零峡扩，所以磁偶極子受力公式為
$\vec{F} = \nabla(\vec{m}\cdot\vec{B})$
這個公式看上去和SI制是一致的，并且與電偶極子的受力公式也是一致的障本。磁偶極子受到的力矩請自行推導(dǎo)
$\vec{N} = \int_V\vec{r}\times (\dfrac{1}{c}\vec{j}\times\vec{B}_0)dV = \vec{m}\times\vec{B}$
因此教届，高斯單位制下，磁偶極矩的定義驾霜，別忘了分母上還有一個 $c$ .

最后編輯于：2019.06.23 21:02:21

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