數(shù)論中除了整除以外锻弓，還有一個(gè)很重要也很難的知識(shí)點(diǎn)充蓝，就是余數(shù)，理解余數(shù)性質(zhì)時(shí)，要與整除性聯(lián)系起來(lái)横腿，從被除數(shù)中減掉余數(shù)，那么所得到的差就能夠被除數(shù)整除了．在一些題目中因?yàn)橛鄶?shù)的存在斤寂，不便于我們計(jì)算耿焊，去掉余數(shù)，回到我們比較熟悉的整除性問(wèn)題遍搞，那么問(wèn)題就會(huì)變得簡(jiǎn)單了罗侯，這樣就需要用到余數(shù)中一個(gè)非常重要的定理—同余定理。
同余定義
如果a溪猿，b除以c的余數(shù)相同钩杰，就稱a，b對(duì)于除數(shù)c來(lái)說(shuō)是同余的诊县，且有a與b的差能被c整除．（a榜苫，b，c均為自然數(shù)）
例如：17與13除以3的余數(shù)都是2翎冲，所以(17－11)能被3整除．
同余定理
①如果 a%b = c, 則有(a+kb)%b = c; (k為非0整數(shù))
②如果 a%b = c, 則有(k*a)%b = k*c%b; (k為正整數(shù))
③(a+b)%c = ((a%c) + (b%c)) % c;
④(a*b)%c = ((a%c)*(b%c)) % c;
（一）可加性
a與b的和除以c的余數(shù)垂睬，等于a，b分別除以c的余數(shù)之和（或這個(gè)和除以c的余數(shù)）．
例如：23，16除以5的余數(shù)分別是3和1驹饺，所以(23+16)除以5的余數(shù)等于3+1=4．
注意：當(dāng)余數(shù)之和大于除數(shù)時(shí)钳枕，所求余數(shù)等于余數(shù)之和再除以c的余數(shù)．
例如：23，19除以5的余數(shù)分別是3和4赏壹，所以(23+19)除以5的余數(shù)等于(3+4)除以5的余數(shù)鱼炒。
（二）可減性
a與b的差除以c的余數(shù)，等于a蝌借，b分別除以c的余數(shù)之差．
例如：23昔瞧，16除以5的余數(shù)分別是3和1，所以(23－16)除以5的余數(shù)等于3－1=2．
注意：當(dāng)較大數(shù)的余數(shù)小于較小數(shù)的余數(shù)時(shí)菩佑，所求余數(shù)等于c減去余數(shù)之差．
例如：23自晰，19除以5的余數(shù)分別是3和4，所以 除以(23－19)的余數(shù)等于5－(4－3)=4.
（三）可乘性
a與b的乘積除以c的余數(shù)稍坯，等于a酬荞，b分別除以c的余數(shù)之積（或這個(gè)積除以c的余數(shù)）．
例如：23，16除以5的余數(shù)分別是3和1瞧哟，所以除以5的余數(shù)等于3*1 = 3．
注意：當(dāng)余數(shù)之積大于除數(shù)時(shí)混巧，所求余數(shù)等于余數(shù)之積再除以c的余數(shù)．
例如：23，19除以5的余數(shù)分別是3和4勤揩，所以 除以5的余數(shù)等于3*4除以5的余數(shù)．
（四）乘方性
如果a與b除以m的余數(shù)相同咧党，那么a^n與b^n除以m的余數(shù)也相同，但不一定等于原余數(shù)．
例如：3陨亡，7除以4的余數(shù)都是3傍衡，可以算得3^2和7^2除以4的余數(shù)都等于1，它們的余數(shù)相等但不一定等于3.
余數(shù)判別法
當(dāng)一個(gè)數(shù)N不能被另一個(gè)數(shù)整除時(shí)数苫，雖然可以用長(zhǎng)除法去求得余數(shù)聪舒，但當(dāng)被除位數(shù)較多時(shí)辨液，計(jì)算是很麻煩的．建立余數(shù)判別法的基本思想是：為了求出“N被m除的余數(shù)”虐急，我們希望找到一個(gè)較簡(jiǎn)單的數(shù)R，使得：N與R對(duì)于除數(shù)m同余．由于R是一個(gè)較簡(jiǎn)單的數(shù)滔迈，所以可以通過(guò)計(jì)算R被m除的余數(shù)來(lái)求得N被m除的余數(shù)．
下面列出幾個(gè)常用到的規(guī)律：
- 整數(shù)N被2或5除的余數(shù)等于N的個(gè)位數(shù)被2或5除的余數(shù)止吁；
- 整數(shù)N被4或25除的余數(shù)等于N的末兩位數(shù)被4或25除的余數(shù)；
- 整數(shù)N被8或125除的余數(shù)等于N的末三位數(shù)被8或125除的余數(shù)燎悍；
- 整數(shù)N被3或9除的余數(shù)等于其各位數(shù)字之和被3或9除的余數(shù)敬惦；
- 整數(shù)N被11除的余數(shù)等于N的奇數(shù)位數(shù)之和與偶數(shù)位數(shù)之和的差被11除的余數(shù)；
再加一個(gè)整理的結(jié)論：
能被7谈山、13俄删、11整除的特征（實(shí)際是一個(gè)方法）是這樣的：
將一個(gè)多于4位的整數(shù)在百位與千位之間分為兩截，形成兩個(gè)數(shù)，左邊的數(shù)原來(lái)的千位畴椰、萬(wàn)位成為個(gè)位臊诊、十位（依次類推）。
將這兩個(gè)新數(shù)相減（較大的數(shù)減較小的數(shù)）斜脂，所得的差不改變?cè)瓉?lái)數(shù)能被7抓艳、11、13整除的特性帚戳，如果所得的差依然大于999玷或，再次進(jìn)行上一步，直到所得的差小于1000為止片任。
例如：判斷71858332能否被7偏友、11、13整除蚂踊，這個(gè)數(shù)比較大约谈，
將它分成71858、332兩個(gè)數(shù)（右邊是三位數(shù)）
71858-332=71526;
再將71526分成71犁钟、526兩個(gè)數(shù)（右邊是三位數(shù)）
526-71=455;
由于455數(shù)比原數(shù)小得多棱诱，
相對(duì)來(lái)說(shuō)容易判斷455能被7和13整除，不能被11整除涝动，
所以原來(lái)的71858332能被7和13整除迈勋，不能被11整除。
同余問(wèn)題
"差同減差醋粟，和同加和靡菇，余同取余，最小公倍加"
所謂同余問(wèn)題米愿，就是給出“一個(gè)數(shù)除以幾個(gè)不同的數(shù)”的余數(shù)厦凤，反求這個(gè)數(shù)，稱作同余問(wèn)題育苟。
首先要對(duì)這幾個(gè)不同的數(shù)的最小公倍數(shù)心中有數(shù)较鼓，下面以4、5违柏、6為例博烂，請(qǐng)記住它們的最小公倍數(shù)是60。
1漱竖、差同減差：用一個(gè)數(shù)除以幾個(gè)不同的數(shù)禽篱，得到的余數(shù)，與除數(shù)的差相同馍惹，
此時(shí)反求的這個(gè)數(shù)躺率，可以選除數(shù)的最小公倍數(shù)玛界，減去這個(gè)相同的差數(shù)，稱為：“差同減差”悼吱。
例：“一個(gè)數(shù)除以4余1脚仔，除以5余2，除以6余3”舆绎，因?yàn)?-1=5-2=6-3=3鲤脏，所以取-3，表示為60n-3吕朵。
2猎醇、和同加和：用一個(gè)數(shù)除以幾個(gè)不同的數(shù)，得到的余數(shù)努溃，與除數(shù)的和相同硫嘶，
此時(shí)反求的這個(gè)數(shù)，可以選除數(shù)的最小公倍數(shù)梧税，加上這個(gè)相同的和數(shù)沦疾，稱為：“和同加和”。
例：“一個(gè)數(shù)除以4余3第队，除以5余2哮塞，除以6余1”，因?yàn)?+3=5+2=6+1=7凳谦，所以取+7忆畅，表示為60n+7。
3尸执、余同取余：用一個(gè)數(shù)除以幾個(gè)不同的數(shù)家凯，得到的余數(shù)相同，
此時(shí)反求的這個(gè)數(shù)如失，可以選除數(shù)的最小公倍數(shù)绊诲，加上這個(gè)相同的余數(shù)，稱為：“余同取余”褪贵。
例：“一個(gè)數(shù)除以4余1掂之，除以5余1，除以6余1”竭鞍，因?yàn)橛鄶?shù)都是1板惑，所以取+1橄镜，表示為60n+1偎快。
4、最小公倍加：所選取的數(shù)加上除數(shù)的最小公倍數(shù)的任意整數(shù)倍（即上面1洽胶、2晒夹、3中的60n）都滿足條件裆馒，
稱為：“最小公倍加”，也稱為：“公倍數(shù)作周期”丐怯。
一般關(guān)于余數(shù)的題目根據(jù)"差同減差喷好，和同加和，余同取余读跷，最小公倍加"就可以解出正確答案梗搅，但是好多關(guān)于余數(shù)的題目，不是僅僅知道上面17個(gè)字就能解題的效览，是對(duì)余數(shù)三大定理的靈活應(yīng)用无切。
下面列幾個(gè)例題，涉及中國(guó)剩余定理和大數(shù)求余通過(guò)同余性質(zhì)化大為小
