剛體運動學(xué)（6）：有限與無限微小轉(zhuǎn)動

$\mathrm{\mathbf{I.}}$ 有限轉(zhuǎn)動

為了尋找一種用轉(zhuǎn)動參量（轉(zhuǎn)動角度付呕、方向余弦）表示的坐標(biāo)變換表征延曙，讓我們先考慮順時針方向的主動有限旋轉(zhuǎn)芹务。

如上圖所示蝉绷，矢量 $\mathbf{r}$ 順時針經(jīng)過有限角度 $\Phi$ 后變成了矢量 $\mathbf{r}^{\prime}$ 。

將 $\mathbf{n}$ 定義為沿轉(zhuǎn)軸 $\vec{ON}$ 方向的單位矢量枣抱，不難得出

$\vec{ON} = (\rm{proj}_{\mathbf{n}}\mathbf{r})\mathbf{n} = (\mathbf{r} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{n})\mathbf{n}\\$

根據(jù)一些簡單的幾何關(guān)系熔吗，其它的矢量也可使用 $\mathbf{r}$ 和 $\mathbf{n}$ 一并表示：

$\vec{NP} = \vec{OP} - \vec{ON} = \mathbf{r} - (\mathbf{r} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{n})\mathbf{n}\\$

$\vec{NV} = ||\vec{NQ}||\cos\Phi \;\hat{NP} = [ \mathbf{r} - (\mathbf{r} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{n})\mathbf{n}]\cos\Phi \\$

$\vec{VQ} = ||\vec{NQ}||\sin\Phi\; \hat{(\mathbf{r} \times \mathbf{n})} = (\mathbf{r} \times \mathbf{n})\sin\Phi\\$

于是，轉(zhuǎn)動后的矢量 $\mathbf{r}^{\prime}$ 可表示為

$\begin{align*}\mathbf{r}^{\prime} = \vec{ON} + \vec{NV} + \vec{VQ}\\\end{align*}\\$

代入相關(guān)量后可以得到

$\boxed{\mathbf{r}^{\prime} = \mathbf{n}(\mathbf{n} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{r})(1 - \cos\Phi) + \mathbf{r}\cos\Phi + (\mathbf{r} \times \mathbf{n}) \sin\Phi}\\$

這是有限角度的矢量轉(zhuǎn)動公式（rotation formula）佳晶，對任何旋轉(zhuǎn)皆有效桅狠，無論角度多大。

$\bullet$ 轉(zhuǎn)動角度 $\Phi$ 與歐拉角之間的關(guān)系可以通過考慮轉(zhuǎn)動算子的跡在變換前后均不變得到：

$\begin{align*}1 + 2\cos\Phi + 1 &= 1 + \cos\theta + \cos\psi\cos\phi - \sin\psi\sin\phi \\ & \quad + \cos\theta\cos\Phi\cos\psi - \cos\theta\sin\phi\sin\psi\end{align*}\\$

$\implies \cos^2\frac{\Phi}{2} = \cos^2\frac{\theta}{2}\cos^2\frac{\phi + \psi}{2}\\$

由于當(dāng) $\Phi \rightarrow 0$ ， $\theta,\phi,\psi \rightarrow 0$ 中跌，去平方后等式右邊為正咨堤，所以

$\boxed{\cos\frac{\Phi}{2} = \cos\frac{\theta}{2}\cos\frac{\phi + \psi}{2}}\\$

$\rm{\mathbf{I\!I.}}$ 無限微小轉(zhuǎn)動

因為存在多次不同轉(zhuǎn)動的變換矩陣是由矩陣乘法連接，矩陣乘法運算不具有對易性漩符，因此一喘，除了此時的轉(zhuǎn)動為無窮小的情況，轉(zhuǎn)動變換是通常無法使用矢量來表征的嗜暴。

考慮被動轉(zhuǎn)動變換（順時針）凸克，轉(zhuǎn)動角度取無窮小，變換前后矢量的坐標(biāo)的變化僅保留到一階小量：

$x_1^{\prime} = x_1 + \epsilon_{11}x_1 + \epsilon_{12}x_2 + \epsilon_{13}x_3\\...$

抽象指標(biāo)形式

$x_i^{\prime} = x_i + \epsilon_{ij}x_j = (\delta_{ij} + \epsilon_{ij})x_j\\$

矩陣形式

$\mathbf{x}^{\prime} = (\rm{I} + \boldsymbol{\epsilon})\mathbf{x}\\$

其中 $\boldsymbol{\epsilon}$ 是無窮小算子

$\bullet$ 微小轉(zhuǎn)動的情況不受矩陣乘法運算不對易問題的影響闷沥，因為矩陣加法具有對易性萎战，所以現(xiàn)在矩陣 $\rm{I} + \boldsymbol{\epsilon}$ 對易：

$(\rm{I} + \boldsymbol{\epsilon}_1)(\rm{I} + \boldsymbol{\epsilon}_2) = (\rm{I} + \boldsymbol{\epsilon}_2)(\rm{I} + \boldsymbol{\epsilon}_1) = \rm{I} + \boldsymbol{\epsilon}_2 + \boldsymbol{\epsilon}_1 = \rm{I} + \boldsymbol{\epsilon}_2 + \boldsymbol{\epsilon}_1\\$

所以微小轉(zhuǎn)動算子可以用矢量來表征。

（例）使用泰勒展開并只保留一階項舆逃，可以得到含歐拉角的無限微小轉(zhuǎn)動矩陣

$\rm{R} = \begin{bmatrix}1 & (d\phi + d\psi) & 0\\-(d\phi + d\psi) & 1 & d\theta\\0 & -d\theta &1\end{bmatrix} \\$

根據(jù)剛體運動學(xué)（5）撞鹉，將 $\lambda = 1$ 代入本征方程，可以得到關(guān)于轉(zhuǎn)軸的方向余弦

$\begin{align*}(\rm{R} - \rm{I})d\mathbf{\Omega} &= \mathbf{0}\\\boldsymbol{\epsilon} d\mathbf{\Omega} &= \mathbf{0}\end{align*}\\$

$\begin{bmatrix}1 & (d\phi + d\psi) & 0\\-(d\phi + d\psi) & 1 & d\theta\\0 & -d\theta &1\end{bmatrix} \begin{pmatrix}d\Omega_1\\ d\Omega_2\\ d\Omega_3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}\\$

取 $d\Omega_3 = d\phi + d\psi$ 颖侄，解得

$d\mathbf{\Omega} = \begin{pmatrix}d\theta\\ 0\\ d\phi + d\psi \end{pmatrix} \\$

$\implies d\mathbf{\Omega} = \mathbf{i}d\theta + \mathbf{k}(d\phi + d\psi)\\$

$\bullet$ 矩陣 $\rm{R} = \rm{I} + \boldsymbol{\epsilon}$ 的逆矩陣

$\rm{R}^{-1} = \rm{I} - \boldsymbol{\epsilon}\\$

證明很簡單：

$\begin{align*}\rm{R}\rm{R}^{-1} &= (\rm{I} + \boldsymbol{\epsilon})(\rm{I} - \boldsymbol{\epsilon})\\&= \rm{I}^2 - I\boldsymbol{\epsilon} + \boldsymbol{\epsilon}\rm{I}\\&= \rm{I} \end{align*}\\$

根據(jù) $\rm{R}$ 的正交性鸟雏，

$\rm{R}^t = \rm{R}^{-1}\\$

$\rm{R}^t = (\rm{I} + \boldsymbol{\epsilon})^t = \rm{I} + \epsilon^t = \rm{R}^{-1} = \rm{I} - \boldsymbol{\epsilon}\\$

$\implies \boldsymbol{\epsilon}^t = -\boldsymbol{\epsilon}\\$

可見，無窮小算子 $\boldsymbol{\epsilon}$ 是一個反對稱矩陣

$\epsilon_{ij} = -\epsilon_{ji}\\$

若 $i = j$ 览祖，反對稱矩陣的對角元必須為零孝鹊。

若 $i \neq j$ ，總共可以有 $\frac{3 \cdot 2}{2} = 3$ 個不同的矩陣元展蒂，不妨將無窮小算子記為如下形式：

$\boldsymbol{\epsilon} = \begin{bmatrix}0 & d\Omega_3 & -d\Omega_2\\ -d\Omega_3 & 0 & d\Omega_1\\ d\Omega_2 & -d\Omega_1 & 0\end{bmatrix}\\$

$\bullet$ 物理量 $d\Omega_1$ 又活， $d\Omega_2$ ， $d\Omega_3$ 組成矢量

$d\boldsymbol{\Omega} = \begin{pmatrix}d\Omega_1\\ d\Omega_2\\ d\Omega_3 \end{pmatrix}\\$

對于位矢的無限微小轉(zhuǎn)動

$\mathbf{r}^{\prime} = (\rm{I} + \boldsymbol{\epsilon})\mathbf{r}\\$

定義位矢在參考系的微小轉(zhuǎn)動下坐標(biāo)的變化 $\mathbf{r}^{\prime} - \mathbf{r} \equiv d\mathbf{r}^{\prime}$

$d\mathbf{r}^{\prime} = \boldsymbol{\epsilon}\mathbf{r}\\$

$\begin{align*}dx_1 &= x_2d\Omega_3 - x_3d\Omega_2\\dx_2 &= x_3d\Omega_1 - x_1d\Omega_3\\dx_3 &= x_1d\Omega_2 - x_2d\Omega_1 \end{align*}\\$

可見锰悼，等式右側(cè)可表示為兩個矢量的叉乘

$\boxed{d\mathbf{r} = \mathbf{r} \times d\boldsymbol{\Omega}}\\$

$\bullet$ 位矢 $\mathbf{r}$ 的正交變換為

$x_{i}^{\prime} = a_{ij} x_j\\$

矢量 $d\boldsymbol{\Omega}$ 的正交變換與位矢 $\mathbf{r}$ 的變換在形式上相似柳骄，

$d\Omega_i^{\prime} = |\rm{B}|b_{ij}d\Omega_j\\$

其中 $|\rm{B}|$ 為變換矩陣 $\rm{B}$ 的行列式。

$\bullet$ 矢量 $d\mathbf{\Omega}$ 的特征可從有限轉(zhuǎn)動公式得到箕般。

$\mathbf{r}^{\prime} = \mathbf{n}(\mathbf{n} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{r})(1 - \cos\Phi) + \mathbf{r}\cos\Phi + (\mathbf{r} \times \mathbf{n}) \sin\Phi \\$

在無限微小極限下耐薯，角度 $\Phi \rightarrow d\Phi$ ， $\cos\Phi \rightarrow 1$ 丝里， $\sin\Phi \rightarrow d\Phi$ 曲初，轉(zhuǎn)動公式變?yōu)?/p>
$\mathbf{r}^{\prime} = \mathbf{r} + (\mathbf{r} \times \mathbf{n})d\Phi\\$

于是

$d\mathbf{r} = \mathbf{r}^{\prime} - \mathbf{r} = \mathbf{r} \times \mathbf{n} \;d\Phi\\$

$\implies \boxed{d\mathbf{\Omega} = \mathbf{n}\;d\Phi}\\$

可見，矢量 $d\mathbf{\Omega}$ 總是沿轉(zhuǎn)軸方向杯聚。

$\bullet$ 三維坐標(biāo)反演矩陣通常具有形式 $S_{ij} = -\delta_{ij} \quad (i,j = 1,2,3)$

$\rm{S} = \begin{bmatrix}-1 & 0 & 0\\0 & -1 & 0\\0& 0 & -1\end{bmatrix}\\$

根據(jù)矢量在坐標(biāo)反演下表現(xiàn)出的不同性質(zhì)臼婆，可將矢量分為極矢量（polar vector）和軸矢量/偽矢量（axial vector/pseudo-vector）

（1）極矢量是變換形如

$d\mathbf{r} = \mathbf{r} \times d\boldsymbol{\Omega}\\$

這一類的矢量。大部分矢量幌绍，如位矢及其關(guān)于時間的微商等均屬于極矢量颁褂。極矢量在坐標(biāo)反演下會改變符號故响。

設(shè)宇稱算子為 $\rm{P}$ ，它執(zhí)行坐標(biāo)反演

$x \rightarrow -x,\quad y \rightarrow -y,\quad z \rightarrow -z\\$

那么對于極矢量 $\mathbf{V}$ 颁独，則有

$\rm{P}\mathbf{V} = -\mathbf{V}\\$

（2）最簡單的一類偽矢量由兩個極矢量的叉乘產(chǎn)生：

$\mathbf{V}^{\ast} = \mathbf{D} \times \mathbf{F}\\$

而

$\mathbf{V}_i^{\ast} = D_jF_k - F_jD_k\\$

可見彩届，偽矢量在反演下不改變符號

$\rm{P}\mathbf{V}^{\ast} = \mathbf{V}^{\ast}\\$

$\bullet$ 偽矢量的變換遵循

$v_i^{\prime} = |\rm{B}|b_{ij}v_j\\$

根據(jù)剛體運動學(xué)（2），正交矩陣的行列式 $|\rm{B}| = \pm 1$ 奖唯。

如果是常規(guī)正交變換惨缆， $|\rm{B}| = 1$ ，

$v_i^{\prime} = b_{ij}v_j\\$

那么極矢量與偽矢量的變換具有相同形式丰捷。

剛才提到過坯墨，矢量 $d\mathbf{\Omega}$ 遵循上述變換規(guī)律，所以是一個偽矢量病往。

$\bullet$ 對于兩種矢量的點積捣染，有

$\rm{P}(\mathbf{V} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{V}^{\ast}) = -(\mathbf{V} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{V}^{\ast})\\$

所以對于標(biāo)量，我們同樣可以沿用定義停巷，將變換方式形如

$\rm{P}S^{\ast} = -S^{\ast} \\$

的標(biāo)量稱為偽標(biāo)量（pseudo-vector）

一個偽標(biāo)量與一般標(biāo)量的乘積仍是一個偽標(biāo)量

$\rm{P}(SS^{\ast}) = -SS^{\ast}\\$

一個偽標(biāo)量與偽矢量的乘積是一個極矢量

$\rm{P}(S^{\ast}\mathbf{V}^{\ast}) = -(S^{\ast}\mathbf{V}^{\ast})\\$

$\bullet$ 從下列關(guān)系也可以證明 $d\mathbf{\Omega}$ 是一個偽矢量：

由于 $\mathbf{r},d\mathbf{r}$ 均為極矢耍攘，

$d\mathbf{r} = \mathbf{r} \times d\boldsymbol{\Omega}\\$

$\implies d\mathbf{\Omega} = d\mathbf{r} \times \mathbf{r}\\$

符合偽矢量的定義。

$\mathrm{\mathbf{I\!I\!I.}}$ 記號

$\bullet$ 由于許多表達(dá)式涉及到兩個矢量間的叉乘積畔勤，為了方便表示蕾各，引入置換符號（permutation symbol）/列維齊維塔密度（Levi-Civita density）

$e_{ijk} = \begin{cases}+1 & \text{偶次置換};\\-1 & \text{奇次置換}; \\0 & \text{其它}\end{cases}\\$

在張量分析中，由于置換符號并非嚴(yán)格遵循張量變換（這里主要指正交變換）但具有相似形式庆揪，人們將其稱為相對張量（relative tensor）式曲，比如矢量 $d\mathbf{\Omega}$ 就是一個一階相對張量。

著名的列維齊維塔符號（Levi-Civita symbol）是一個絕對張量（absolute tensor）缸榛，二者之間的關(guān)系為

$\varepsilon_{ijk} = \sqrt{|\mathbf{g}|}\;e_{ijk}\\$

其中 $\sqrt{|\mathbf{g}|}$ 是體積元（volume element）吝羞。

使用置換符號，兩個矢量 $\mathbf{A},\mathbf{B}$ 的叉乘可以表示為

$C_{i} = e_{ijk}A_jB_k\\$

$\mathrm{\mathbf{I\!V.}}$ 總結(jié)

接下來是逆時針方向的主動轉(zhuǎn)動變換的公式總結(jié)内颗。

$\bullet$ 轉(zhuǎn)動公式

$\mathbf{r}^{\prime} = \mathbf{r}\cos\Phi + \mathbf{n}(\mathbf{n} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{r})(1 - \cos\Phi) + (\mathbf{n} \times \mathbf{r}) \sin\Phi\\$

（注意與順時針轉(zhuǎn)動公式的區(qū)別）

$\bullet$ 無限小轉(zhuǎn)動： $\sin\Phi \rightarrow d\Phi$ 钧排， $\cos\Phi \rightarrow 1$ ， $d\mathbf{r}^{\prime} \equiv \mathbf{r}^{\prime} - \mathbf{r}$

$d\mathbf{r}^{\prime} = (\mathbf{n}\;d\Phi)\times \mathbf{r} = d\mathbf{\Omega} \times \mathbf{r} \\$

$\bullet$ 無限小算子 $\boldsymbol{\epsilon}$ 為反對稱矩陣均澳，使用關(guān)系 $d\Omega_i = n_i \;d\Phi$ 恨溜，可將其表示為

$\boldsymbol{\epsilon} = \begin{bmatrix}0 & -d\Omega_3 & d\Omega_2\\d\Omega_3 & 0 & -d\Omega_1\\-d\Omega_2 & d\Omega_1 & 0\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}0 & -n_3 & n_2\\n_3 & 0 & -n_1\\-n_2 & n_1 & 0\end{bmatrix}d\Phi \\$

對于無限小轉(zhuǎn)動變換， $\mathbf{r}^{\prime} = (\rm{I} + \boldsymbol{\epsilon} )\mathbf{r}$ 负懦，

$d\mathbf{r} = \boldsymbol{\epsilon}\mathbf{r} = \begin{bmatrix}0 & -n_3 & n_2\\n_3 & 0 & -n_1\\-n_2 & n_1 & 0\end{bmatrix}d\Phi \;\mathbf{r}\\$

$\implies \frac{d\mathbf{r}} {d\Phi} = -\rm{N}\mathbf{r}\\$

其中 $\rm{N}$ 是一個反對稱矩陣筒捺， $N_{ij} = e_{ijk}n_k$

$\rm{N} = \begin{bmatrix}0 & n_3 & -n_2\\-n_3 & 0 & n_1\\n_2 & -n_1 & 0\end{bmatrix}\\$

$\bullet$ 另一種比較有用的表征為

$\boldsymbol{\epsilon} = n_i \mathbf{M}_i \;d\Phi \\$

其中 $\mathbf{M}_i$ 是無限小轉(zhuǎn)動生成算子（infinitesimal rotation generator），它們分別為

$\mathbf{M}_1 = \begin{bmatrix}0& 0& 0\\0&0&-1\\0&1& 0\end{bmatrix}$ 纸厉， $\mathbf{M}_2 = \begin{bmatrix}0& 0& 1\\0&0&0\\-1&0& 0\end{bmatrix}$ ， $\mathbf{M}_3 = \begin{bmatrix}0& -1& 0\\1&0&0\\0&0& 0\end{bmatrix}$

這些生成算子之間具有性質(zhì)

$\mathbf{M}_i\mathbf{M}_j - \mathbf{M}_j\mathbf{M}_i \equiv \left[ \mathbf{M}_i, \mathbf{M}_j\right] = e_{ijk}\mathbf{M}_k\\$

對易子 $\left[ \mathbf{M}_i, \mathbf{M}_j\right]$ 也屬于李括號（Lie bracket）五嫂，因此用來定義含轉(zhuǎn)動參量的旋轉(zhuǎn)群群的李代數(shù)颗品。

最后編輯于：2020.03.12 00:15:12

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