多數(shù)人眼里，數(shù)字就是數(shù)學(xué)的全部蛋济。他們眼里的數(shù)學(xué)家棍鳖，就是天天數(shù)數(shù)，大數(shù)碗旅，更大的數(shù)渡处，然后給它們起一些洋氣的名字。我曾經(jīng)也是這么覺得——至少祟辟，在Evgeny Evgenievich引導(dǎo)我了解現(xiàn)代數(shù)學(xué)的概念和思想之前我是這么覺的医瘫。然而這些內(nèi)容里就包括發(fā)現(xiàn)夸克結(jié)構(gòu)的關(guān)鍵：對稱的概念。
什么是對稱旧困？每個(gè)人都有直觀的認(rèn)識(shí)——看到就知道它是否對稱醇份。當(dāng)我讓你舉一個(gè)對稱物體的例子時(shí)，往往都會(huì)想到蝴蝶吼具，雪花或人體僚纷。
但是如果我問他們，對稱意味著什么時(shí)拗盒，他們無語了怖竭。
下面是Evgeny Evgenievich如何向我解釋對稱的《赣“讓我們看一下圓桌和方桌痊臭，”他指著辦公室里的兩個(gè)桌子∫阏“哪一個(gè)相對更對稱呢趣兄？”
“當(dāng)然是圓桌，不是很明顯嗎悼嫉？”
“但為什么呢艇潭？作為一個(gè)數(shù)學(xué)家，你不能用明顯這樣的詞來證明戏蔑，而要去總結(jié)蹋凝。很多時(shí)候，你會(huì)驚訝一些看似正確的答案實(shí)際上往往是錯(cuò)誤的总棵△⒓牛”
看到我困惑的表情，Evgeny Evgenievich給我一個(gè)提示：“決定圓桌看起來更對稱的關(guān)鍵是什么呢情龄？”
過來一會(huì)迄汛，我想到了一點(diǎn)捍壤，說到：“我覺得，一個(gè)對象的對稱的本質(zhì)就是當(dāng)我們嘗試改變它時(shí)鞍爱，它仍然能保持自己形狀和位置的不變鹃觉。”
Evgeny Evgenievich點(diǎn)點(diǎn)頭睹逃。
“確實(shí)盗扇，讓我們看一下這兩個(gè)桌子，在保持形狀和位置不變的前提下沉填，我們可以如何移動(dòng)它們疗隶。”他說道：“對于圓桌而言……翼闹，”
我打斷了他：“圍繞中心點(diǎn)的任意旋轉(zhuǎn)角度都可以斑鼻，我們都會(huì)得到一模一樣的圓桌。但是如果我們對方桌任意角度旋轉(zhuǎn)的話橄碾，方桌的位置很可能會(huì)不一樣卵沉。只有旋轉(zhuǎn)九十度或其倍數(shù)的情況下，它才保持自己的形狀和位置不變法牲。”
“完全正確琼掠！如果你離開我的辦公室片刻拒垃，而我任意角度旋轉(zhuǎn)圓桌，你不會(huì)發(fā)現(xiàn)它的不同瓷蛙。但如果我對方桌做同樣的事悼瓮，除非我旋轉(zhuǎn)了九十，一百八艰猬，兩百七横堡，否則你會(huì)注意到它不一樣了」谔遥”
圓桌旋轉(zhuǎn)任意角度都不會(huì)改變其位置命贴，而方桌旋轉(zhuǎn)任意角度（不是九十度的倍數(shù)）就會(huì)改變其位置（如上圖所示）
他繼續(xù)道：“我們稱這樣的變換為對稱。你可以看到食听，方桌只有四種對稱方式胸蛛，而圓桌的對稱方式則多得多——實(shí)際上有無窮多個(gè)對稱方式。這也是為什么我們說圓桌更對稱樱报≡嵯睿”
這個(gè)過程意味著很多。
“這還是一個(gè)直觀客觀的觀察迹蛤，”Evgeny Evgenievich繼續(xù)著民珍，“即使你不是數(shù)學(xué)家也能看懂這些襟士。但如果你是一個(gè)數(shù)學(xué)家，你就會(huì)問下一個(gè)問題：對一個(gè)已知對象嚷量，會(huì)有多少種可能的對稱方式呢陋桂？”
讓我們還是以方桌為例。它的對稱方式是圍繞桌子圓心的四個(gè)旋轉(zhuǎn)角度：逆時(shí)針分別旋轉(zhuǎn)90,180,270和360津肛。一個(gè)數(shù)學(xué)家會(huì)說章喉，方桌對應(yīng)的對稱集合（set）里包含四個(gè)元素，分別是90,180,270,360.如下圖所示身坐，每個(gè)旋轉(zhuǎn)角度各自對應(yīng)下圖4個(gè)角中的某一個(gè)秸脱。
其中有一個(gè)特殊的角度，名義上部蛇，旋轉(zhuǎn)360度和旋轉(zhuǎn)0度的效果是一樣的摊唇，都是沒有旋轉(zhuǎn)的效果。因?yàn)楝F(xiàn)實(shí)中對物體并沒有作用涯鲁，所以這是一個(gè)有點(diǎn)特殊的對稱元素：桌子的每一個(gè)點(diǎn)在旋轉(zhuǎn)結(jié)束后都和以前的位置精確的一致巷查。我們稱這類元素為單位元。
注意當(dāng)旋轉(zhuǎn)的角度大于360度時(shí)和在0~360度之間旋轉(zhuǎn)的效果是完全一樣的抹腿。比如岛请，旋轉(zhuǎn)450度和旋轉(zhuǎn)90度的效果響度，因?yàn)?50?= 360 + 90.這也是為什么只考慮0~360之間的旋轉(zhuǎn)角度警绩。
這里是一些重要的地方：如果我們從{90,180,270,360}隊(duì)列里面的找出兩個(gè)元素進(jìn)行旋轉(zhuǎn)崇败，一個(gè)接一個(gè)，其結(jié)果等同于我們在同一個(gè)隊(duì)列里面旋轉(zhuǎn)了另一個(gè)不一樣的角度肩祥。我們把這種行為稱為組合后室。
當(dāng)然，很明顯混狠，無論怎樣組合岸霹，桌子的位置都不會(huì)改變。因?yàn)檫@種兩個(gè)對稱分別保持位置不變将饺，這個(gè)組合的結(jié)果也肯定是一種對稱（位置不變）贡避。比如，我們旋轉(zhuǎn)了90然后在旋轉(zhuǎn)180俯逾，這個(gè)結(jié)合和旋轉(zhuǎn)270是一樣的贸桶。
讓我們看看這些桌子在對稱下會(huì)有什么特性。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90度桌肴，桌子的右頂點(diǎn)（在上一個(gè)圖片上用圓球表示的頂點(diǎn)）將會(huì)變成上面的頂點(diǎn)皇筛，接著我們旋轉(zhuǎn)180度，這是上面的頂點(diǎn)變到了下面坠七。而這個(gè)最終結(jié)果則是右頂點(diǎn)變成了下面的頂點(diǎn)水醋。這個(gè)結(jié)果和逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)270度則是一致的旗笔。
這是另一個(gè)例子：
首先，我們可以任意組合兩個(gè)對稱元素（一個(gè)接一個(gè)的旋轉(zhuǎn)角度）
接著拄踪，這里有一個(gè)特殊的對稱蝇恶，單位元對稱（Identity Element）。在我們的例子里惶桐，這個(gè)單位元對稱的角度是零度撮弧。如果我們用這個(gè)角度和其他任意的對稱角度組合的話，我們會(huì)獲得相同的對稱效果（0度不起作用）比如姚糊，
最后贿衍，對于任意的對稱元素S，都會(huì)有一個(gè)逆的元素救恨，使得兩者組合生成的新元素是一個(gè)單位元對稱元素（相互抵消作用贸辈，等于沒變化）
這里，我們來到了重點(diǎn)：圍繞這三個(gè)結(jié)構(gòu)的旋轉(zhuǎn)隊(duì)列肠槽，就是數(shù)學(xué)家所稱的群（group擎淤，群是一種代數(shù)結(jié)構(gòu)，由一個(gè)集合以及一個(gè)二元運(yùn)算所組成）這個(gè)概念秸仙。
其他任何對象的對稱元素也可以組成一個(gè)群嘴拢，通常會(huì)有更多的元素，如果可能寂纪，會(huì)有無限多個(gè)炊汤。
讓我們看看，如果是圓桌的話弊攘，這個(gè)組合是什么情況。現(xiàn)在我們對對稱已經(jīng)有了一些認(rèn)識(shí)姑曙，我們可以知道圓桌的對稱集合就是所有可能的旋轉(zhuǎn)角度（而并不僅僅是九十度的倍數(shù)）襟交，而且我們可以設(shè)想這個(gè)集合就是組成一個(gè)圓的所有點(diǎn)集。
這個(gè)圓上的任意一點(diǎn)都對應(yīng)0~360之間的一個(gè)角度伤靠，表示圍繞圓桌的圓心捣域，逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)的角度。有點(diǎn)特殊的是宴合，有一個(gè)特殊的點(diǎn)對應(yīng)旋轉(zhuǎn)零度焕梅。它在下面的圖片中標(biāo)記了出來，和它一起的是對應(yīng)旋轉(zhuǎn)三十度的一個(gè)點(diǎn)卦洽。
我們不應(yīng)該把這個(gè)圓上的點(diǎn)認(rèn)為是圓桌上的點(diǎn)贞言，而是認(rèn)為圓上的每一個(gè)點(diǎn)都是圓桌的一個(gè)特定的旋轉(zhuǎn)角度。注意阀蒂，相比我們的圓该窗，圓桌本身并沒有一個(gè)明顯的起始點(diǎn)弟蚀，這個(gè)點(diǎn)能夠?qū)?yīng)初始化的零度。
現(xiàn)在酗失，讓我們來看看在圓中對應(yīng)的點(diǎn)集合义钉，是否也有如上的三個(gè)結(jié)構(gòu)。
第一规肴，ω1和ω2對應(yīng)兩個(gè)角度的組合捶闸，也就是旋轉(zhuǎn)ω1+ω2，如果ω1+ω2超過了360度拖刃，我們可以減掉360度删壮。在數(shù)學(xué)上，這稱之為360的余數(shù)序调。比如醉锅，如果ω1是195度，ω2是250度发绢，兩個(gè)角度的總和為445硬耍，而旋轉(zhuǎn)445和旋轉(zhuǎn)85的效果是一樣的。所以边酒，在下面的圓桌旋轉(zhuǎn)的群中经柴，我們可以得到：
第二，圓上有一個(gè)特殊點(diǎn)對應(yīng)旋轉(zhuǎn)零度墩朦，這個(gè)點(diǎn)是圓群的單位元
第三坯认，逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)的ω角度的可逆點(diǎn)則是逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)(360-ω)角度，或者對等的是順時(shí)針旋轉(zhuǎn)ω角度（看下面的繪制圖）
因此氓涣，我們已經(jīng)描述了圓桌的旋轉(zhuǎn)群牛哺。我們稱之為圓群(Circle group）。不像方桌的對稱群（只有四個(gè)元素）劳吠，這個(gè)群有無窮多個(gè)元素引润，因?yàn)樵?~360度之間有無窮多個(gè)角度。
現(xiàn)在我們在理論的層面上痒玩，有了一個(gè)對對稱的直觀理解——確實(shí)淳附，我們還需要把它轉(zhuǎn)換成一個(gè)數(shù)學(xué)的概念。第一蠢古，假設(shè)給定對象的對稱是保證其和其屬性的不變的情況下的一種轉(zhuǎn)換奴曙。接下來，則是關(guān)鍵的一步：我們把重點(diǎn)放在給定對象所有對稱元素的集合上草讶。方桌是四個(gè)元素（九十度的倍數(shù)）洽糟；圓桌是一個(gè)無限集合（圓上的所有點(diǎn)）。最后，我們稱這個(gè)整潔的結(jié)構(gòu)（neat structure）為對稱集合：任意兩個(gè)對稱元素都可以組合生成另一個(gè)對稱元素脊框，這里存在一個(gè)單位元對稱元素颁督，而且對于每一個(gè)對稱元素，都有一個(gè)可逆的對稱元素浇雹。（對稱的組合同時(shí)也滿足頁腳備注中對相關(guān)屬性的描述）沉御。因此，我們得到了數(shù)學(xué)概念上的群（集合+運(yùn)算）昭灵。
一個(gè)對稱群是一個(gè)抽象的對象吠裆，和我們最初提到的具體物質(zhì)完全的不同。我們不能觸摸或者獲取一個(gè)桌子的對稱集合（不像桌子本身）烂完，但我們可以設(shè)想出來试疙，繪制它的元素，研究抠蚣，討論它祝旷。每一個(gè)抽象集合的元素都有一個(gè)具體的意義，比如：它可能表示一個(gè)具體對象的一個(gè)特殊轉(zhuǎn)換：對稱嘶窄。
數(shù)學(xué)是類似抽象對象和概念的研究怀跛。
經(jīng)驗(yàn)顯示，對稱是自然法則中的一項(xiàng)關(guān)鍵性的指導(dǎo)原則柄冲。比如吻谋，雪花是有一個(gè)完美的六邊形形成，這被證明是水分子結(jié)晶所需要的最低能量狀態(tài)现横。雪花的對稱是60度的倍數(shù)的旋轉(zhuǎn)方式漓拾；分別是60,120,180,240,300,和360（和0度效果一樣）。另外戒祠，我們可以按照雪花的6個(gè)軸的任意一個(gè)做對應(yīng)的旋轉(zhuǎn)骇两。所有的這些旋轉(zhuǎn)和反轉(zhuǎn)都保證雪花的形狀和位置不變，因此這些就是它的對稱姜盈。
再比如一只蝴蝶脯颜，把他從上向下反轉(zhuǎn)，原先在一側(cè)有腿贩据，反轉(zhuǎn)后沒有了（腿被翅膀擋住而看不見了），嚴(yán)格說闸餐，這個(gè)方式不是蝴蝶的對稱饱亮。當(dāng)我們說蝴蝶是對稱時(shí)，我們說的是一個(gè)理想情況下的對稱舍沙，在這個(gè)情況下近上，他的前后完全的一樣（這和實(shí)際中的蝴蝶并不一樣）。然后反轉(zhuǎn)交換左右翅膀拂铡，從而形成了一個(gè)對稱壹无。（或者葱绒，你可以設(shè)想不用反轉(zhuǎn)蝴蝶，而只是交換翅膀）
這告訴我們一個(gè)重要的信息：自然中的很多物體只是近似對稱斗锭。一個(gè)現(xiàn)實(shí)中的桌子不會(huì)是完美的圓形或方形地淀，一個(gè)現(xiàn)實(shí)的蝴蝶的前后面也是不對稱的，而人的身體也不完全對稱岖是。帮毁，盡管如此，考慮抽象的豺撑，理想的情況下烈疚，模型化一個(gè)完美的圓桌，或設(shè)想一個(gè)前后都沒有差別的蝴蝶時(shí)聪轿，也被證明是非常有用的爷肝。接著，我們就會(huì)挖掘這些理想對象的對稱陆错，從對他們的分析中調(diào)整我們的推理灯抛，從而總結(jié)出顯示的物體和它的模型之間的不同處。
這并不是說非對稱是沒用的危号；我們也實(shí)實(shí)在在的在非對稱中找到他們的美牧愁。但數(shù)學(xué)理論中的對稱的重點(diǎn)不是審美角度的。而是在普遍情況下形成對稱概念的公式化外莲，因此也不可避免的用到更為抽象的術(shù)語猪半，從而可以以統(tǒng)一的方式應(yīng)用在不同的領(lǐng)域，比如幾何偷线，數(shù)論磨确，物理，化學(xué)声邦，生物等領(lǐng)域乏奥。一旦我們發(fā)展了這樣的一個(gè)理論，我們可以討論對稱結(jié)構(gòu)的那些新的進(jìn)展——如果你愿意討論新興的視覺對稱亥曹。舉個(gè)例子邓了，基本粒子取得質(zhì)量是因?yàn)橐环N它們需要遵循的稱之為規(guī)范對稱性的規(guī)范（我們會(huì)在第16章討論）被打破所獲得。希格斯波色子的發(fā)現(xiàn)（一種難以捉摸的例子媳瞪，最近在日內(nèi)瓦LargeHadron Collider所發(fā)現(xiàn)）使得這一理論得以證實(shí)骗炉。類似規(guī)范對稱性的研究創(chuàng)造了不可估量的的價(jià)值，是對基礎(chǔ)自然物質(zhì)的行為的洞察的主要準(zhǔn)則蛇受。
我想指出一些關(guān)于對稱抽象理論的基本屬性句葵，因?yàn)檫@確實(shí)是證明數(shù)學(xué)為何重要的很好的例子。
第一是通用性。圓群不僅僅只是圓桌的對稱群乍丈，也可能是其他所有的圓形物體剂碴，玻璃杯，瓶子轻专，柱子等等忆矛。實(shí)際上，我們說給定的物體是圓形的铭若，和我們說它的對稱群是一個(gè)圓群的意思是一樣的洪碳。這是一個(gè)強(qiáng)有力的聲明：我們意識(shí)到，我們想描述一個(gè)物體重要的屬性（round）叼屠，可以通過描述它的對稱群（circle）來實(shí)現(xiàn)瞳腌。同樣，方形意味著對稱群是如上的四個(gè)元素的群镜雨。換句話說嫂侍，同一個(gè)抽象數(shù)學(xué)對象（比如圓群）可以表示很多具體的對象，而且都指向他們所共有的通用性屬性（圓）荚坞。
第二是客觀性挑宠。群的概念，和我們各自的理解是獨(dú)立的颓影。對于任何學(xué)習(xí)它的人各淀，它的含義都是相同的。當(dāng)然诡挂，為了了解它碎浇，我們需要掌握能夠表達(dá)它的語言，就是數(shù)學(xué)的語言璃俗。但任何人都能學(xué)習(xí)這門語言奴璃。比如，如果你想明白法國作家的一句名言（我思故我在）城豁，你就需要懂法語（至少是這句話里面用到的法語單詞）——這對任何人都可以學(xué)苟穆。盡管如此，一旦我們理解了它唱星，還是可能有不同的理解雳旅。同樣，不同的人會(huì)對同樣的話的不同理解有不同的意見和判斷间聊。對比之下岭辣，數(shù)學(xué)定義上的邏輯一致性則不是主觀的解釋。進(jìn)一步講甸饱，它是一種客觀的真理。（一般而言，一個(gè)特定定理的真實(shí)性依賴于它所立足的定理體系叹话。而這些依賴的定理本身也是客觀的偷遗。）比如，一個(gè)圓桌的對稱群是一個(gè)圓驼壶，這對任何人氏豌，任何地方在任何時(shí)間都是真實(shí)的。換句話說热凹，數(shù)學(xué)的真理是必要的真理泵喘，我們會(huì)在后面的第十八章講到。
第三般妙，相對而言纪铺，定理的正確性經(jīng)得住推敲。勾股定理對古希臘人們的意義和她對當(dāng)代人們的意義是一樣的碟渺，很少有人會(huì)對此生疑鲜锚，而且也可以肯定，它對未來的人們的意思也是一樣的苫拍。同樣芜繁，本書中我們討論的所有真正的數(shù)學(xué)聲明也是永恒的。
現(xiàn)實(shí)中绒极，存在這種客觀的骏令，經(jīng)得住考驗(yàn)的知識(shí)（更有甚者，它屬于全人類）簡直就是奇跡垄提。它揭示了榔袋，數(shù)學(xué)的概念存在于一個(gè)隔離于身體和心理的世界之外——那是一個(gè)類似柏拉圖的數(shù)學(xué)的世界（我們會(huì)在接下來的章節(jié)中介紹）。我們至今還不能完全的明白那是什么塔淤，也不了解是什么驅(qū)動(dòng)了數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)摘昌。但明顯的是，這個(gè)隱蔽的現(xiàn)實(shí)注定在我們的生活中發(fā)揮越拉越大的作用高蜂，特別是新的計(jì)算機(jī)技術(shù)和3D打印的問世聪黎。
第四個(gè)特質(zhì)就是數(shù)學(xué)和物質(zhì)世界的相關(guān)性。比如备恤，在過去的50年里稿饰，量子物理取得了長足的進(jìn)展，這也得益于對稱概念在基本粒子和相互之間作用的應(yīng)用露泊。從這點(diǎn)來看喉镰，一個(gè)粒子，比如電子或夸克惭笑，就類似一個(gè)圓桌或雪花侣姆，它們的行為很大程度取決于它們的對稱特性（一些是完全一致生真，一些是近似的）。
夸克的發(fā)現(xiàn)就是一個(gè)很好的例子捺宗，說明了數(shù)學(xué)在其中的作用柱蟀。讀了Evgeny Evgenievich給我的書，我了解道蚜厉，之前在前面章節(jié)討論的Gell-Mann和Ne‘eman對強(qiáng)子的分類的本質(zhì)就是一個(gè)對稱群长已。數(shù)學(xué)家早已研究過這個(gè)群——盡管數(shù)學(xué)家并不參與任何和粒子研究相關(guān)的內(nèi)容。數(shù)學(xué)上對其的命名為SU(3)昼牛。這里术瓮，S和U表示一個(gè)特殊的單體。這種群的屬性和球面對稱群的屬性非常相似贰健，我們會(huì)在第十章詳細(xì)介紹胞四。
數(shù)學(xué)家很早就描述的SU(3)群的特征，這和描述SU(3)被認(rèn)為是對稱群的方式并不相同霎烙。Gell-Mann和Ne’eman注意到了這些表象的結(jié)構(gòu)和他們所發(fā)現(xiàn)的強(qiáng)子的模式之間的相似處撬讽。他們用這些信息來對強(qiáng)子進(jìn)行歸類。
表現(xiàn)這個(gè)詞在數(shù)學(xué)里面是一種特殊的使用方式悬垃，這個(gè)我們?nèi)粘５氖褂梅绞讲⒉灰粯佑沃纭Ｗ屛覀儠簳r(shí)先解釋一下在目前的章節(jié)里它所代表的意義〕⑷洌或許我先給一個(gè)例子會(huì)有助于理解烘豌。回憶一下之前討論的圓桌的旋轉(zhuǎn)群看彼，就是一個(gè)圓群±扰澹現(xiàn)在設(shè)想這個(gè)桌面全方面的無限擴(kuò)展。這是我們得到了一個(gè)抽象的數(shù)學(xué)對象：一個(gè)平面靖榕。這個(gè)桌面圍繞中心的一次旋轉(zhuǎn)标锄，意味著這個(gè)平面繞著該點(diǎn)的一次旋轉(zhuǎn)。因此我們得到了一個(gè)法則茁计，這個(gè)平面的對稱元素就是圓群的每一個(gè)元素料皇。換言之，圓群上的每一個(gè)元素都可以在這個(gè)面的對稱群中找到星压。為此践剂，數(shù)學(xué)家引入的圓群能夠展現(xiàn)這個(gè)過程。
現(xiàn)在娜膘，平面式一個(gè)二維空間逊脯，它有兩個(gè)坐標(biāo)軸，每個(gè)點(diǎn)都有兩個(gè)坐標(biāo)（X竣贪，Y）：
因此军洼，我們說我們構(gòu)建了一個(gè)旋轉(zhuǎn)群的二維表象巩螃。可以簡單的認(rèn)為旋轉(zhuǎn)群中的每一個(gè)元素都可以找到對應(yīng)平面中的對稱元素匕争。
當(dāng)然也有大于兩個(gè)維度的空間牺六。比如，我們生活的三維空間汗捡。它具有三個(gè)坐標(biāo)軸，因此要確定一個(gè)點(diǎn)的位置畏纲，則需要確定三個(gè)坐標(biāo)（X扇住，Y，Z）盗胀，如下圖所示：
我們無法想象一個(gè)四維的空間但是數(shù)學(xué)家給我們一個(gè)通用的語言艘蹋，讓我們可以討論任意維度的空間。名義上票灰，我們可以用一個(gè)四元的數(shù)（quadruples of number）來表示一個(gè)四維空間的點(diǎn)（X女阀，Y，Z屑迂，t）浸策，正如同用三元的數(shù)（X，Y惹盼，Z）來表示三維空間的一個(gè)點(diǎn)那樣庸汗。同理，我們可以用n倍數(shù)來表示n維空間中任意一個(gè)自然數(shù)n的位置手报。如果你曾經(jīng)用過制圖軟件蚯舱，你應(yīng)該遇到過n倍數(shù)的情況，它們以行的形式出現(xiàn)在表格中掩蛤，每N個(gè)數(shù)都對應(yīng)所存儲(chǔ)數(shù)據(jù)的一個(gè)特定屬性枉昏。，因此揍鸟，表格中的每一行都對應(yīng)n維空間的一個(gè)點(diǎn)兄裂。（我們會(huì)在第十章詳細(xì)討論空間維度的多樣性）。
如果群中的任意一個(gè)元素蜈亩，能夠用一致的方式懦窘，在n維空間的對稱群中找到對應(yīng)元素，我們認(rèn)為這個(gè)群是n維的一個(gè)表象稚配。
已知一個(gè)給定群可以表示不同維度的表象畅涂。基本粒子可以是8或10個(gè)粒子組成的原因正是已知SU(3)群有8維或10維的表象道川。8個(gè)粒子的構(gòu)建中午衰，一一對應(yīng)8維空間下的8個(gè)坐標(biāo)軸立宜，同理10個(gè)粒子也是如此。（但粒子不能由7或11個(gè)粒子組成臊岸，正是因?yàn)閿?shù)學(xué)家證明了SU(3)群中不可能有7維或11維的表象橙数。）
起先，這是一個(gè)方便的方式來讓相同屬性的粒子組合帅戒。但Gell-Mann有了更深入的發(fā)現(xiàn)灯帮。他假設(shè)在分類方案中還有一個(gè)深層次的原因。他大概的說到逻住，這個(gè)方案的效果非常好钟哥，主要因?yàn)閺?qiáng)子由更小的粒子組成——有時(shí)，3或4個(gè)粒子所組成的夸克瞎访。物理學(xué)家獨(dú)立的創(chuàng)造了一個(gè)相似的建議腻贰。
這是一個(gè)絕妙的建議。不僅打破了當(dāng)時(shí)大眾對質(zhì)子和中子的看法扒秸，同時(shí)對于強(qiáng)子這種看不見的基本粒子播演，也認(rèn)為它們之間的電量就是電子電量的殘余。這是一個(gè)讓人吃驚的預(yù)測伴奥，因?yàn)闆]人能夠看到這樣的粒子写烤。當(dāng)然，不久實(shí)驗(yàn)證明渔伯，如同預(yù)測那樣顶霞，夸克間確實(shí)存在殘余的電量。
是什么促使Gell-Mann和Zweig猜測夸克的存在锣吼？正是SU(3)群的表象所表現(xiàn)的數(shù)學(xué)理論选浑。具體說來，SU(3)有兩個(gè)不同的3維表象玄叠。（實(shí)際上古徒，正如這個(gè)群的名字里面有一個(gè)3）。Gell-Mann和Zweig建議读恃，這兩種表象應(yīng)該代表兩個(gè)不同的基礎(chǔ)粒子家族：3個(gè)夸克和3個(gè)反夸克隧膘。證明SU(3)中的8個(gè)或10個(gè)表象都是由三維構(gòu)建而成。同時(shí)也給了我們一個(gè)精確的藍(lán)圖寺惫，通過夸克了解強(qiáng)子是如何構(gòu)建——就像樂高玩具疹吃。
Gell-Mann認(rèn)為夸克有三種情況：上，下和奇西雀。一個(gè)質(zhì)子有兩個(gè)上夸克和一個(gè)下夸克組成萨驶，而中子由兩下一上組成，如同先前我們所看的圖片所示艇肴。這兩種粒子都屬于先前章節(jié)中圖標(biāo)所示的8重結(jié)構(gòu)腔呜。而在8重結(jié)構(gòu)中其他粒子則和上下夸克類似涉及到奇夸克的存在叁温。也有的8重結(jié)構(gòu)中由正反夸克組成。
夸克的發(fā)現(xiàn)時(shí)一個(gè)很好的例子核畴，如同在前言所討論的一樣膝但，揭示了數(shù)學(xué)在科學(xué)中至高無上的作用。這些粒子不是基于經(jīng)驗(yàn)數(shù)據(jù)的預(yù)測谤草，而是建立在數(shù)學(xué)對稱模式的基礎(chǔ)上跟束。這是一個(gè)純粹的理論預(yù)測，所用的是一個(gè)SU(3)對稱群這個(gè)成熟的數(shù)學(xué)理論框架丑孩。物理學(xué)家花了很多年來掌握這一理論（實(shí)際上早起有些人還反對這一看法）泳炉，但是現(xiàn)在卻是基本粒子物理學(xué)的給養(yǎng)。它不僅提供了強(qiáng)子的分類嚎杨，也指引我們發(fā)現(xiàn)了夸克，永遠(yuǎn)的改變了我們隊(duì)物理現(xiàn)實(shí)的理解氧腰。
設(shè)想一下：看上去高深莫測的數(shù)學(xué)理論賦予我們力量枫浙，使得我們可以直入自然這座堡壘的心臟。我們怎能不被這魔幻般和諧的細(xì)小的物質(zhì)所吸引古拴，如何不為數(shù)學(xué)揭開宇宙內(nèi)部的機(jī)理的能力所折服？
隨著故事的發(fā)展黄痪，愛因斯坦的妻子Elsa紧帕，早在聽說位于威爾士觀察站的望遠(yuǎn)鏡需要用來確定時(shí)空的形狀前，說到：“一個(gè)月前我丈夫已經(jīng)在在一個(gè)舊的信封背面完成這些工作”桅打。
物理學(xué)家確實(shí)需要昂貴和熟練的機(jī)器是嗜，類似位于日內(nèi)瓦的大型強(qiáng)子對撞機(jī)，但讓人驚訝的現(xiàn)實(shí)是挺尾，類似愛因斯坦和Gell-Mann這樣的科學(xué)家鹅搪，使用看上去如此純粹，這么抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)來揭開圍繞我們的這個(gè)世界的最隱蔽的秘密遭铺。
不管我們是誰丽柿，我們相信什么，我們都共享這些知識(shí)魂挂。它將我們之間的距離拉近甫题，并讓我們對宇宙的愛有了新的意義。
