問(wèn)題背景：游戲強(qiáng)化裝備期望是怎么計(jì)算的？@知乎
解答參考該問(wèn)題下@劉昆和@朱元晨兩位dalao的回答
馬氏鏈期望計(jì)算例子：[markov系列2]馬爾可夫鏈中的期望問(wèn)題
裝備有
個(gè)等級(jí)隅俘，
瞬欧，對(duì)等級(jí)
的裝備強(qiáng)化有等級(jí)變?yōu)?img class="math-inline" src="https://math.jianshu.com/math?formula=k%2B1" alt="k+1" mathimg="1">和)
兩個(gè)結(jié)果（停留在等級(jí)也可以視作三個(gè)結(jié)果）烘贴。裝備等級(jí)變化之間是條件獨(dú)立的羡儿，本次強(qiáng)化結(jié)果只和前一次強(qiáng)化結(jié)果相關(guān)事示。
定義隨機(jī)過(guò)程
表示
早像，記%3Dp_%7Bij%7D)
，即
為
%3Dp_%7Bij%7D%3D%20%5Cbegin%7Bcases%7D%20p_i%20%5Cqquad%20if%20%5Cqquad%20j%3Di%2B1%20%5C%5C%201%20-%20p_i%20%5Cqquad%20if%20%5Cqquad%20j%3Dmin%5C%7Bi-1%2C1%5C%7D%20%5C%5C%200%20%5Cqquad%20otherwise%20%5Cend%7Bcases%7D)
其中肖爵，
表示
的概率卢鹦。
由此得到一步狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣
為
)
表示從
，顯然有
這里+1實(shí)際上是補(bǔ)了一個(gè)不存在的狀態(tài)
輔助計(jì)算劝堪，用來(lái)描述
冀自，狀態(tài)
到
都是互達(dá)的，狀態(tài)
到狀態(tài)的概率為1秒啦，狀態(tài)到任意狀態(tài)的概率為0.
可以得到線性方程組
進(jìn)一步有
![\left[\begin{matrix}E_{1,N}\\E_{2,N}\\·\\·\\·\\E_{N-1,N}\end{matrix}\right]=\left[\begin{matrix}1-p_1 & 0 & p_1 & · & · & ·\\0 & 1-p_2 & 0 & · & · & ·\\· & · & · & · & · & ·\\· & · & · & · & · & ·\\· & · & · & · & · & ·\\· & · & · & · & 1-p_n & ·\end{matrix}\right]\left[\begin{matrix}E_{1,N}\\E_{2,N}\\·\\·\\·\\E_{N-1,N}\end{matrix}\right]+ \left[\begin{matrix}1\\1\\1\\1\\1\\1\end{matrix}\right]](https://math.jianshu.com/math?formula=%5Cleft%5B%5Cbegin%7Bmatrix%7DE_%7B1%2CN%7D%5C%5CE_%7B2%2CN%7D%5C%5C%C2%B7%5C%5C%C2%B7%5C%5C%C2%B7%5C%5CE_%7BN-1%2CN%7D%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright%5D%3D%5Cleft%5B%5Cbegin%7Bmatrix%7D1-p_1%20%26%200%20%26%20p_1%20%26%20%C2%B7%20%26%20%C2%B7%20%26%20%C2%B7%5C%5C0%20%26%201-p_2%20%26%200%20%26%20%C2%B7%20%26%20%C2%B7%20%26%20%C2%B7%5C%5C%C2%B7%20%26%20%C2%B7%20%26%20%C2%B7%20%26%20%C2%B7%20%26%20%C2%B7%20%26%20%C2%B7%5C%5C%C2%B7%20%26%20%C2%B7%20%26%20%C2%B7%20%26%20%C2%B7%20%26%20%C2%B7%20%26%20%C2%B7%5C%5C%C2%B7%20%26%20%C2%B7%20%26%20%C2%B7%20%26%20%C2%B7%20%26%20%C2%B7%20%26%20%C2%B7%5C%5C%C2%B7%20%26%20%C2%B7%20%26%20%C2%B7%20%26%20%C2%B7%20%26%201-p_n%20%26%20%C2%B7%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright%5D%5Cleft%5B%5Cbegin%7Bmatrix%7DE_%7B1%2CN%7D%5C%5CE_%7B2%2CN%7D%5C%5C%C2%B7%5C%5C%C2%B7%5C%5C%C2%B7%5C%5CE_%7BN-1%2CN%7D%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright%5D%2B%20%5Cleft%5B%5Cbegin%7Bmatrix%7D1%5C%5C1%5C%5C1%5C%5C1%5C%5C1%5C%5C1%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright%5D)
故
![\left[\begin{matrix}E_{1,N}\\E_{2,N}\\·\\·\\·\\E_{N-1,N}\end{matrix}\right]=\left(I-P\right)^{-1}\left[\begin{matrix}1\\1\\1\\1\\1\\1\end{matrix}\right]](https://math.jianshu.com/math?formula=%5Cleft%5B%5Cbegin%7Bmatrix%7DE_%7B1%2CN%7D%5C%5CE_%7B2%2CN%7D%5C%5C%C2%B7%5C%5C%C2%B7%5C%5C%C2%B7%5C%5CE_%7BN-1%2CN%7D%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright%5D%3D%5Cleft(I-P%5Cright)%5E%7B-1%7D%5Cleft%5B%5Cbegin%7Bmatrix%7D1%5C%5C1%5C%5C1%5C%5C1%5C%5C1%5C%5C1%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright%5D)
其中為狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣熬粗，
為單位矩陣。
最后編輯于 ：
?著作權(quán)歸作者所有,轉(zhuǎn)載或內(nèi)容合作請(qǐng)聯(lián)系作者
