??幾乎所有機(jī)器學(xué)習(xí)算法在訓(xùn)練或預(yù)測(cè)時(shí)都可以歸結(jié)為最優(yōu)化問(wèn)題的求解燎窘，如果目標(biāo)函數(shù)可導(dǎo)浓瞪，該問(wèn)題轉(zhuǎn)換為訓(xùn)練函數(shù)駐點(diǎn)求解問(wèn)題渣慕。通常情況下無(wú)法得到駐點(diǎn)的解析解氮兵，因此只能采用數(shù)值優(yōu)化算法裂逐，如梯度下降法，牛頓法泣栈，擬牛頓法卜高。這些數(shù)值優(yōu)化算法都依賴(lài)于函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)值或二階導(dǎo)數(shù)值，包括梯度與Hessian矩陣南片。因此需要解決如何求一個(gè)復(fù)雜函數(shù)的導(dǎo)數(shù)問(wèn)題掺涛，本文講述的自動(dòng)微分技術(shù)是解決此問(wèn)題的一種通用方法，目前基本所有主流的深度學(xué)習(xí)框架都支持自動(dòng)微分疼进，如Tensorflo,Pytorch等薪缆。
??在介紹自動(dòng)微分之前，先介紹一下目前使用編程計(jì)算函數(shù)導(dǎo)數(shù)值的幾種方法：
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手動(dòng)微分
??手動(dòng)微分伞广，顧名思義就是在使用程序計(jì)算導(dǎo)函數(shù)值之前拣帽，手動(dòng)計(jì)算目標(biāo)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，對(duì)于表達(dá)式比較復(fù)雜的函數(shù)嚼锄，這顯然是比較容易出錯(cuò)的减拭，并且通用性和靈活性都較差，現(xiàn)在較少使用区丑。
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符號(hào)微分
??符號(hào)微分（Symbolic Differentiation）屬于符號(hào)計(jì)算的范疇拧粪，基于初等函數(shù)的求導(dǎo)公式和四則運(yùn)算法則及鏈?zhǔn)椒▌t搭建在計(jì)算搭建求導(dǎo)系統(tǒng)求出導(dǎo)函數(shù)再代入變量，即可求出某點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值沧侥。顯然可霎，只是將人工計(jì)算導(dǎo)數(shù)的過(guò)程進(jìn)行程序化。符號(hào)微分計(jì)算出的表達(dá)式需要用字符串或其他數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)存儲(chǔ)宴杀，如表達(dá)式樹(shù)癣朗。常用數(shù)學(xué)軟件Mathematica，Maple旺罢，Matlab都使用了這種技術(shù)斯棒。對(duì)于深層復(fù)合函數(shù)，如神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的映射函數(shù)主经，符號(hào)微分算法得到的導(dǎo)數(shù)計(jì)算公式將會(huì)非常冗長(zhǎng)荣暮。稱(chēng)為表達(dá)式膨脹（expression swell）。對(duì)于機(jī)器學(xué)習(xí)中的應(yīng)用罩驻，不需要得到導(dǎo)數(shù)的表達(dá)式穗酥，而只需計(jì)算函數(shù)在某一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值。因此存在計(jì)算上的冗余且成本高昂。
??以深度學(xué)習(xí)中最為常見(jiàn)的Sigmoid激活函數(shù)為例：
,則有
,神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)本質(zhì)上他是一個(gè)函數(shù)逼近器砾跃，理論上可以以任意精度逼近任何函數(shù)骏啰。對(duì)于一個(gè)含有三個(gè)隱層的網(wǎng)絡(luò)，假設(shè)三個(gè)隱層的激活函數(shù)都是Sigmoid激活函數(shù)抽高，網(wǎng)絡(luò)的輸入為
,輸入對(duì)應(yīng)標(biāo)簽為y,輸出為
,則有
,損失函數(shù)
判耕，將
的函數(shù)表達(dá)式帶入上式由鏈?zhǔn)椒▌t即可計(jì)算出導(dǎo)函數(shù),顯然，因?yàn)?img class="math-block" src="https://math.jianshu.com/math?formula=%5Cfrac%7Bdy'%7D%7Bdx%7D%3D%5Cfrac%7BdS(S(S(x)))%7D%7BdS(S(x))%7D%5Cfrac%7BdS(S(x))%7D%7Bd%7BS(x)%7D%7D%5Cfrac%7BdS(x)%7D%7Bd(wx%2Bb)%7D" alt="\frac{dy'}{dx}=\frac{dS(S(S(x)))}{dS(S(x))}\frac{dS(S(x))}{d{S(x)}}\frac{dS(x)}{d(wx+b)}" mathimg="1">可以預(yù)見(jiàn)的是翘骂，這個(gè)導(dǎo)函數(shù)一定不是一個(gè)形式比較簡(jiǎn)潔的函數(shù)壁熄，在此就不展開(kāi)計(jì)算，有興趣的讀者可以自行驗(yàn)證,而這也就是上文所說(shuō)的表達(dá)式膨脹碳竟。當(dāng)然草丧，可能有讀者會(huì)覺(jué)得，因?yàn)镾igmoid函數(shù)的表達(dá)式本身就不太簡(jiǎn)潔莹桅，復(fù)合之后的表達(dá)式肯定會(huì)更為復(fù)雜昌执，如果激活函數(shù)為三角函數(shù)和冪函數(shù)這類(lèi)函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)還是較為簡(jiǎn)潔的诈泼。那為什么不能使用這類(lèi)函數(shù)作為激活函數(shù)呢懂拾，原因有二，首先铐达，一般來(lái)說(shuō)三角函數(shù)和冪函數(shù)這類(lèi)函數(shù)是不能用于網(wǎng)絡(luò)的激活函數(shù)的（這一點(diǎn)目前仍有爭(zhēng)議岖赋，不過(guò)在實(shí)際應(yīng)用中基本不會(huì)使用非單調(diào)非有界的函數(shù)作為單調(diào)函數(shù)，這里有讀者肯定以Google的新型激活函數(shù)Swish反駁娶桦，但是不可否認(rèn)的是贾节，Swish目前仍有很大爭(zhēng)議并且被使用的較少）汁汗，這涉及到深度學(xué)習(xí)激活函數(shù)的深入討論衷畦，這里只簡(jiǎn)單提及一點(diǎn)：三角函數(shù)不是單調(diào)函數(shù)，冪函數(shù)不是有界函數(shù)知牌。其次祈争，對(duì)于一些有成千上萬(wàn)隱層的大型神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，因?yàn)檫M(jìn)行了成千上萬(wàn)次的迭代角寸，其導(dǎo)函數(shù)必然會(huì)出現(xiàn)表達(dá)式膨脹（需要注意的是菩混，隱層的激活函數(shù)一般不可能取同一個(gè)函數(shù)）。
Swish是谷歌大腦團(tuán)隊(duì)提出的一種新型激活方法數(shù):
扁藕，并通過(guò)實(shí)驗(yàn)表明其在絕大多數(shù)環(huán)境中可以替代當(dāng)前比較流行的 ReLU 函數(shù)沮峡。不過(guò)在 Reddit 論壇上，該激活函數(shù)的性能與優(yōu)點(diǎn)還是有些爭(zhēng)議的亿柑，有的開(kāi)發(fā)者發(fā)現(xiàn)該激活函數(shù)很多情況下可以比標(biāo)準(zhǔn)的 ReLU 獲得更高的性能邢疙，而有些開(kāi)發(fā)者則認(rèn)為 Swish 激活函數(shù)并沒(méi)有什么新意，我們應(yīng)該關(guān)注于更加基礎(chǔ)的研究。
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數(shù)值微分
??符號(hào)微分用于求解數(shù)學(xué)中的公式解（也稱(chēng)解析解）疟游，得到解的表達(dá)式而非具體的數(shù)值呼畸。在實(shí)際應(yīng)用中還需進(jìn)一步代入數(shù)值得到數(shù)值解，需要經(jīng)過(guò)一次轉(zhuǎn)換颁虐。那么蛮原，有沒(méi)有一種方法能直接求出目標(biāo)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，而不是求出導(dǎo)函數(shù)之后再帶入數(shù)值得到導(dǎo)數(shù)另绩。這種方法就是數(shù)值微分儒陨，我們先來(lái)看一下導(dǎo)數(shù)的定義：
當(dāng)
足夠小時(shí)，可將該點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)可以近似為
,在實(shí)際計(jì)算時(shí)板熊，一般使用它的變式
,有著更小的誤差和更好的穩(wěn)定性框全。當(dāng)然，由于進(jìn)行了近似操作干签，得到的導(dǎo)數(shù)值肯定是有誤差的津辩，所幸誤差還在能接受的范圍內(nèi)。按上面推導(dǎo)的式子計(jì)算導(dǎo)數(shù)容劳，對(duì)每個(gè)自變量求導(dǎo)時(shí)都需要計(jì)算兩次函數(shù)值喘沿，因此也會(huì)導(dǎo)致計(jì)算量的問(wèn)題。所以竭贩，數(shù)值微分通常只用于檢驗(yàn)其他算法的結(jié)果的正確性蚜印，例如在實(shí)現(xiàn)反向傳播算法的時(shí)候用數(shù)值微分算法檢驗(yàn)反向傳播算法所求導(dǎo)數(shù)的正確性。
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自動(dòng)微分??自動(dòng)微分是介于數(shù)值微分和符號(hào)微分之間的一種折中方案：數(shù)值微分直接帶入數(shù)值得到近似解留量，符號(hào)微分先求出解析式再帶入數(shù)值得到導(dǎo)數(shù)窄赋。而自動(dòng)微分將符號(hào)微分應(yīng)用于最基本的運(yùn)算（或稱(chēng)原子操作），如常數(shù)楼熄，冪函數(shù)忆绰，指數(shù)函數(shù)，對(duì)數(shù)函數(shù)可岂，三角函數(shù)等基本初等函數(shù)错敢，代入自變量的值得到其導(dǎo)數(shù)值，作為中間結(jié)果進(jìn)行保留缕粹。然后再根據(jù)這些基本運(yùn)算單元的求導(dǎo)結(jié)果計(jì)算出整個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)值稚茅。
??自動(dòng)微分的靈活性強(qiáng)，可實(shí)現(xiàn)完全向用戶(hù)隱藏求導(dǎo)過(guò)程平斩，由于它只對(duì)基本函數(shù)或常數(shù)運(yùn)用符號(hào)微分法則亚享，因此可以靈活地結(jié)合編程語(yǔ)言的循環(huán)、分支等結(jié)構(gòu)绘面，根據(jù)鏈?zhǔn)椒▌t欺税，借助于計(jì)算圖計(jì)算出任意復(fù)雜函數(shù)的導(dǎo)數(shù)值糜芳。由于存在上述優(yōu)點(diǎn)，該方法在現(xiàn)代深度學(xué)習(xí)庫(kù)中得到廣泛使用魄衅。自動(dòng)微分在實(shí)現(xiàn)時(shí)有前向模式和反向模式兩種實(shí)現(xiàn)方案峭竣，下面分別進(jìn)行介紹。
前向模式（forward model）：前向模式從計(jì)算圖的起點(diǎn)開(kāi)始晃虫，沿著計(jì)算圖邊的方向依次向前計(jì)算皆撩，直到到達(dá)計(jì)算圖的終點(diǎn)。它根據(jù)自變量的值計(jì)算出計(jì)算圖中每個(gè)節(jié)點(diǎn)的值 以及導(dǎo)數(shù)值 哲银，并保留中間結(jié)果扛吞。直到得到整個(gè)函數(shù)的值和其導(dǎo)數(shù)值。整個(gè)過(guò)程對(duì)應(yīng)于一元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)時(shí)從最內(nèi)層逐步向外層求導(dǎo)荆责。
反向模式（reverse model）：
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Tensorflow使用自動(dòng)微分搭建模型
待續(xù)
