a004_二重積分與二重求和(DFT)


  • \sum_{n=0}^{N-1}\sum_{m=0}^{N-1}x(m)W_N^{nm}W_N^{nk} = \sum_{m=0}^{N-1}x(m)\sum_{n=0}^{N-1}W_N^{nm}W_N^{nk}, 為什么?

  • 這個(gè)問(wèn)題涉及到離散傅里葉變換(DFT)的性質(zhì)威创。首先落午,我們來(lái)解釋一下公式中的符號(hào):

    • x(m) 是一個(gè)離散信號(hào)。
    • W_N 是 DFT 的基底肚豺,定義為 W_N = e^{-j2\pi/N}溃斋。
    • W_N^{nm}W_N^{nk} 分別是 W_Nnm 次冪和 nk 次冪。

我們需要計(jì)算的是以下表達(dá)式:

\sum_{n=0}^{N-1}\sum_{m=0}^{N-1}x(m)W_N^{nm}W_N^{nk}

我們可以將這個(gè)雙重求和表達(dá)式重寫為:

\sum_{m=0}^{N-1}x(m)\sum_{n=0}^{N-1}W_N^{nm}W_N^{nk}

這是因?yàn)?( x(m) ) 與 ( n ) 無(wú)關(guān)吸申,所以可以將 ( x(m) ) 提出內(nèi)層求和」=伲現(xiàn)在寞奸,我們關(guān)注內(nèi)層求和:

\sum_{n=0}^{N-1}W_N^{nm}W_N^{nk}

根據(jù) DFT 的性質(zhì),我們知道 ( W_N{nm}W_N{nk} = W_N^{n(m+k)} )在跳。因此,內(nèi)層求和可以寫為:

\sum_{n=0}^{N-1}W_N^{n(m+k)}

這個(gè)求和是一個(gè)幾何級(jí)數(shù)隐岛,其和為:

\sum_{n=0}^{N-1}W_N^{n(m+k)} = \frac{1 - W_N^{N(m+k)}}{1 - W_N^{m+k}}
由于 W_N^N = 1猫妙,所以 W_N^{N(m+k)} = 1。因此聚凹,求和結(jié)果為:

\sum_{n=0}^{N-1}W_N^{n(m+k)} = \frac{1 - 1}{1 - W_N^{m+k}} = 0 \quad \text{if} \quad m+k \neq 0 \mod N

如果 ( m+k \equiv 0 \mod N )割坠,則 ( W_N^{m+k} = 1 ),求和結(jié)果為:

\sum_{n=0}^{N-1}W_N^{n(m+k)} = \sum_{n=0}^{N-1}1 = N

因此妒牙,內(nèi)層求和的結(jié)果是:

\sum_{n=0}^{N-1}W_N^{nm}W_N^{nk} = N \delta_{m+k, 0 \mod N}

其中 ( \delta_{m+k, 0 \mod N} ) 是克羅內(nèi)克函數(shù)彼哼,當(dāng) ( m+k \equiv 0 \mod N ) 時(shí)為 1,否則為 0湘今。

將這個(gè)結(jié)果代入外層求和敢朱,我們得到:

\sum_{m=0}^{N-1}x(m)\sum_{n=0}^{N-1}W_N^{nm}W_N^{nk} = \sum_{m=0}^{N-1}x(m) N \delta_{m+k, 0 \mod N}

這個(gè)求和只在 m+k \equiv 0 \mod N 時(shí)有貢獻(xiàn),即 m \equiv -k \mod N摩瞎。因此拴签,最終結(jié)果為:

\sum_{m=0}^{N-1}x(m) N \delta_{m+k, 0 \mod N} = N x(-k \mod N)

所以,原表達(dá)式的結(jié)果是:

\boxed{N x(-k \mod N)}


  • 這是因?yàn)?x ( m ) x(m) 與 n n 無(wú)關(guān)旗们,所以可以將 x ( m ) x(m) 提出內(nèi)層求和蚓哩。詳細(xì)解釋?一開(kāi)始的順序是 \sum_{n=0}^{N-1}\sum_{m=0}^{N-1}上渴,但是現(xiàn)在順序變成了先\sum_{m=0}^{N-1}\sum_{n=0}^{N-1}岸梨,這是為什么?
  • 在數(shù)學(xué)中稠氮,雙重求和的順序可以互換曹阔,只要求和的范圍和條件保持不變。這是因?yàn)榍蠛筒僮魇强山粨Q的括袒,即對(duì)于任意的 a_{mn}次兆,都有:

\sum_{n=0}^{N-1}\sum_{m=0}^{N-1}a_{mn} = \sum_{m=0}^{N-1}\sum_{n=0}^{N-1}a_{mn}

在我們的問(wèn)題中,a_{mn} = x(m)W_N^{nm}W_N^{nk}锹锰。由于 x(m)n 無(wú)關(guān)芥炭,我們可以將 x(m) 提出內(nèi)層求和,即:

\sum_{n=0}^{N-1}\sum_{m=0}^{N-1}x(m)W_N^{nm}W_N^{nk} = \sum_{m=0}^{N-1}x(m)\sum_{n=0}^{N-1}W_N^{nm}W_N^{nk}

這樣的變換是合法的恃慧,因?yàn)榍蠛偷捻樞蚩梢曰Q园蝠,且 (x(m)) 與 (n) 無(wú)關(guān),所以可以將其提出內(nèi)層求和痢士。這種變換在數(shù)學(xué)中是常見(jiàn)的彪薛,可以簡(jiǎn)化計(jì)算過(guò)程茂装。


  • 那么二重積分的順序可以隨意互換嗎
  • 在數(shù)學(xué)中,二重積分的順序在一定條件下可以互換善延。這個(gè)條件是被積函數(shù)在積分區(qū)域內(nèi)連續(xù)少态,且積分區(qū)域是矩形區(qū)域或者可以表示為兩個(gè)變量的函數(shù)的交集。如果滿足這些條件易遣,那么二重積分的順序可以互換彼妻,即:

\int_{a}^\int_{c}^ar6f2aof(x,y) \, dy \, dx = \int_{c}^dsvdb1r\int_{a}^豆茫f(x,y) \, dx \, dy

如果積分區(qū)域不是矩形區(qū)域侨歉,或者被積函數(shù)在積分區(qū)域內(nèi)不連續(xù),那么二重積分的順序可能不能互換揩魂,或者互換后結(jié)果不同幽邓。在這種情況下,需要使用其他方法來(lái)計(jì)算二重積分火脉,例如使用極坐標(biāo)變換或者格林公式等牵舵。

因此,二重積分的順序在一定條件下可以互換倦挂,但需要滿足一定的條件棋枕。在實(shí)際應(yīng)用中,需要根據(jù)具體問(wèn)題來(lái)確定是否可以互換積分順序妒峦。


  • 也就是說(shuō)重斑,二重積分的互換與二重求和的互換不同,二重求和的互換更為隨意肯骇,對(duì)嗎

  • 是的窥浪,二重積分的互換與二重求和的互換確實(shí)有所不同。二重求和的互換通常更為隨意笛丙,因?yàn)榍蠛筒僮魇请x散的漾脂,且求和的順序不會(huì)影響求和的結(jié)果。只要求和的范圍和條件保持不變胚鸯,求和的順序可以互換骨稿。

而二重積分的互換則需要滿足一定的條件,例如被積函數(shù)在積分區(qū)域內(nèi)連續(xù)姜钳,且積分區(qū)域是矩形區(qū)域或者可以表示為兩個(gè)變量的函數(shù)的交集坦冠。如果滿足這些條件,那么二重積分的順序可以互換哥桥。如果積分區(qū)域不是矩形區(qū)域辙浑,或者被積函數(shù)在積分區(qū)域內(nèi)不連續(xù),那么二重積分的順序可能不能互換拟糕,或者互換后結(jié)果不同判呕。

因此倦踢,二重積分的互換比二重求和的互換更為復(fù)雜,需要更多的條件和考慮侠草。在實(shí)際應(yīng)用中辱挥,需要根據(jù)具體問(wèn)題來(lái)確定是否可以互換積分順序。

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