為什么?
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這個(gè)問(wèn)題涉及到離散傅里葉變換(DFT)的性質(zhì)威创。首先落午,我們來(lái)解釋一下公式中的符號(hào):
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是一個(gè)離散信號(hào)。
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是 DFT 的基底肚豺,定義為
溃斋。
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和
分別是
的
次冪和
次冪。
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我們需要計(jì)算的是以下表達(dá)式:
我們可以將這個(gè)雙重求和表達(dá)式重寫為:
這是因?yàn)?( x(m) ) 與 ( n ) 無(wú)關(guān)吸申,所以可以將 ( x(m) ) 提出內(nèi)層求和」=伲現(xiàn)在寞奸,我們關(guān)注內(nèi)層求和:
根據(jù) DFT 的性質(zhì),我們知道 ( W_N{nm}W_N{nk} = W_N^{n(m+k)} )在跳。因此,內(nèi)層求和可以寫為:
這個(gè)求和是一個(gè)幾何級(jí)數(shù)隐岛,其和為:
由于 猫妙,所以
。因此聚凹,求和結(jié)果為:
如果 ( m+k \equiv 0 \mod N )割坠,則 ( W_N^{m+k} = 1 ),求和結(jié)果為:
因此妒牙,內(nèi)層求和的結(jié)果是:
其中 ( \delta_{m+k, 0 \mod N} ) 是克羅內(nèi)克函數(shù)彼哼,當(dāng) ( m+k \equiv 0 \mod N ) 時(shí)為 1,否則為 0湘今。
將這個(gè)結(jié)果代入外層求和敢朱,我們得到:
這個(gè)求和只在 時(shí)有貢獻(xiàn),即
摩瞎。因此拴签,最終結(jié)果為:
所以,原表達(dá)式的結(jié)果是:
- 這是因?yàn)?x ( m ) x(m) 與 n n 無(wú)關(guān)旗们,所以可以將 x ( m ) x(m) 提出內(nèi)層求和蚓哩。詳細(xì)解釋?一開(kāi)始的順序是
上渴,但是現(xiàn)在順序變成了先
后
岸梨,這是為什么?
- 在數(shù)學(xué)中稠氮,雙重求和的順序可以互換曹阔,只要求和的范圍和條件保持不變。這是因?yàn)榍蠛筒僮魇强山粨Q的括袒,即對(duì)于任意的
次兆,都有:
在我們的問(wèn)題中,锹锰。由于
與
無(wú)關(guān)芥炭,我們可以將
提出內(nèi)層求和,即:
這樣的變換是合法的恃慧,因?yàn)榍蠛偷捻樞蚩梢曰Q园蝠,且 (x(m)) 與 (n) 無(wú)關(guān),所以可以將其提出內(nèi)層求和痢士。這種變換在數(shù)學(xué)中是常見(jiàn)的彪薛,可以簡(jiǎn)化計(jì)算過(guò)程茂装。
- 那么二重積分的順序可以隨意互換嗎
- 在數(shù)學(xué)中,二重積分的順序在一定條件下可以互換善延。這個(gè)條件是被積函數(shù)在積分區(qū)域內(nèi)連續(xù)少态,且積分區(qū)域是矩形區(qū)域或者可以表示為兩個(gè)變量的函數(shù)的交集。如果滿足這些條件易遣,那么二重積分的順序可以互換彼妻,即:
如果積分區(qū)域不是矩形區(qū)域侨歉,或者被積函數(shù)在積分區(qū)域內(nèi)不連續(xù),那么二重積分的順序可能不能互換揩魂,或者互換后結(jié)果不同幽邓。在這種情況下,需要使用其他方法來(lái)計(jì)算二重積分火脉,例如使用極坐標(biāo)變換或者格林公式等牵舵。
因此,二重積分的順序在一定條件下可以互換倦挂,但需要滿足一定的條件棋枕。在實(shí)際應(yīng)用中,需要根據(jù)具體問(wèn)題來(lái)確定是否可以互換積分順序妒峦。
也就是說(shuō)重斑,二重積分的互換與二重求和的互換不同,二重求和的互換更為隨意肯骇,對(duì)嗎
是的窥浪,二重積分的互換與二重求和的互換確實(shí)有所不同。二重求和的互換通常更為隨意笛丙,因?yàn)榍蠛筒僮魇请x散的漾脂,且求和的順序不會(huì)影響求和的結(jié)果。只要求和的范圍和條件保持不變胚鸯,求和的順序可以互換骨稿。
而二重積分的互換則需要滿足一定的條件,例如被積函數(shù)在積分區(qū)域內(nèi)連續(xù)姜钳,且積分區(qū)域是矩形區(qū)域或者可以表示為兩個(gè)變量的函數(shù)的交集坦冠。如果滿足這些條件,那么二重積分的順序可以互換哥桥。如果積分區(qū)域不是矩形區(qū)域辙浑,或者被積函數(shù)在積分區(qū)域內(nèi)不連續(xù),那么二重積分的順序可能不能互換拟糕,或者互換后結(jié)果不同判呕。
因此倦踢,二重積分的互換比二重求和的互換更為復(fù)雜,需要更多的條件和考慮侠草。在實(shí)際應(yīng)用中辱挥,需要根據(jù)具體問(wèn)題來(lái)確定是否可以互換積分順序。