本章內(nèi)容
- 條件概率
- 乘法定理
- 全概率公式
- 貝葉斯公式托酸、先驗(yàn)與后驗(yàn)
- 相互獨(dú)立褒颈、互斥柒巫、對(duì)立（互逆）
一、條件概率
已知某個(gè)事件A發(fā)生的條件下谷丸，另一個(gè)事件B發(fā)生的概率稱為條件概率堡掏，記為P(B|A)。
引例：
甲乙兩人各拋一顆骰子刨疼，點(diǎn)數(shù)大的贏泉唁。如果甲先拋骰子，得到點(diǎn)數(shù)4揩慕，那么乙獲勝的概率是多少亭畜？
記A={甲得到點(diǎn)數(shù)為4}，B={乙獲勝} 迎卤，P(A)=1/6拴鸵；P(AB)=2/36=1/18；P(B|A)2/6=1/3
看一下P(B|A)與P(A)蜗搔、P(B)的關(guān)系：P(B|A)=P(AB)/P(A)
條件概率也是概率的一種劲藐，同樣滿足前一章所說的概率定義的條件與性質(zhì)
舉例：
某公司年終決定丼行抽獎(jiǎng)活動(dòng)，從全部員工中選取一名特等獎(jiǎng)碍扔。公司人事架構(gòu)如下：
（1）若被抽中的人是銷售部的瘩燥，問該員工是女性的概率？
（2）若被抽中的人是女生的不同，問該員工是銷售部的概率是厉膀？
解題上來要設(shè)事件！二拐！
解：設(shè)A={被抽中的是銷售部的}服鹅，B={被抽中的是女生}
(1)P(B|A)=P(AB)/P(A)=(10/100)/(30/100)=1/3
(2)P(A|B)=P(AB)/P(B)=(10/100)/(40/100)=1/4
著名的三門問題：到底換了的概率變大了沒有
將3個(gè)門記為1,2,3號(hào)，假設(shè)參賽者先選擇的是1號(hào)門百新。
記Ａ＝｛1號(hào)門是汽車};B={2號(hào)門 是汽車}企软；C={3號(hào)門是汽車}，則P(A)=P(B)=P(C)=1/3饭望。原來的選擇有1/3的機(jī)會(huì)獲得 汽車仗哨。
假設(shè)主持人開啟了2號(hào)門，這個(gè)事件記為D铅辞。那么參賽者堅(jiān)持選擇或是改變選擇而贏得 汽車的概率又是多少厌漂？
從圖中的第一列看出，當(dāng)參賽者選擇了1號(hào)門斟珊， 2號(hào)門被打開的概率P(D)=1.5/3苇倡；汽車在1號(hào)門 并且主持人打開了2號(hào)門的概率P(AD)=0.5/3 。
- 堅(jiān)持選擇：P(A|D)=P(AD)/P(D)=1/3
- 改變選擇：P(CD)=1/3 P(C|D)=P(CD)/P(D)=2/3
所以，改變選擇將有更大的幾率獲得汽車旨椒。
二晓褪、乘法定理
由條件概率的定義，很容易得到P(AB)=P(B|A)P(A)综慎，其中P(A)>0涣仿。這條公式很容易推廣到P(ABC)=P(C|AB)P(B|A)P(A)=P(A|BC)P(B|C)P(C)
例1：設(shè)某光學(xué)儀器廠 制造的透鏡,第一次落下時(shí)打破的概率為1/2,若 第一次落 下未打破,第二次落下打破的概率為7/10,若前兩次落下未打破,第三次落下打破的概率為9/10.試求透鏡落下三次而未打破的概率.
例2：某行業(yè)進(jìn)行專業(yè)勞動(dòng)技能考核，一個(gè)月安排一次 ,每人最多參加3次;某人第一次參加能通過的概率為60% ;如果第一次未通過就去參加第二次,這時(shí)能通過的概率為80% ;如果第二次再未通過,則去參加第三E次,此時(shí)能通過的概率為90%寥粹。求這人能通過考核的概率变过。
三、全概率公式
劃分：
全概率公式：
舉例：
例1: 假設(shè)在某時(shí)期內(nèi)影響股票價(jià)格變化的因素只有銀行存折利率的變化涝涤。經(jīng)分析媚狰，該時(shí)期內(nèi)利率下調(diào)的概率為60% ,利率不變的概率為40%。根據(jù)經(jīng)驗(yàn),在利率下調(diào)時(shí)某支股票上漲的概率為80% ,在利率不變時(shí),這支股票上漲的概率為40%阔拳。求這支股票上漲的概率崭孤。
三、貝葉斯公式
引例：
病樹的主人外出,委托鄰居澆水,設(shè)已知如果不澆水,樹死去的概率為0.8.若澆水則樹死去的概率為0.15.有0.9的把握確定鄰居會(huì)記得澆水.
(1)求主人回來樹還活著的概率.
(2)若主任回來樹還活著糊肠，求鄰居忘了澆水的概率.
先驗(yàn)概率與后驗(yàn)概率：
例1：對(duì)以往數(shù)據(jù)分析結(jié)果 表明,當(dāng)機(jī)器調(diào)整得良好時(shí),產(chǎn)品的合格率為98% ,而當(dāng)機(jī)器發(fā)生某種故障時(shí),其合格率為55%.每天早上機(jī)器開動(dòng)時(shí),機(jī)器調(diào)整良好的概率為95%.試求已知某日早上第一件產(chǎn)品是合格品時(shí),機(jī)器調(diào)整良好的概率是多少?
這就是說,當(dāng)生產(chǎn)出第一件產(chǎn)品是合格品時(shí),此時(shí)機(jī)器調(diào)整良好的概率為0. 97.這里,概率0.95是由以往的數(shù)據(jù)分析得到的,叫做先驗(yàn)概率.而在得到信息(即生產(chǎn)出的第一件產(chǎn)品是合格品)之后再重新加以修正的概率(即0,97)叫做后驗(yàn)概率辨宠。有了后驗(yàn)概率我們就能對(duì)機(jī)器的情況有進(jìn)一步的了解。
例2：根據(jù)以往 的臨床記錄,某種診斷癌癥的試驗(yàn)具有如下的效果:若以A表示事件“試驗(yàn)反應(yīng)為陽性”货裹，以C表示事件“被診斷者患有癌癥”,則有P(A|C)=0.95,P(A|C)=0.95.現(xiàn)在對(duì)自然人群進(jìn)行普查,設(shè)被試驗(yàn)的人患有癌癥的概率為0.005,即P(C)==0.005,試求P(C|A).
本題的結(jié)果表明,雖然P(A|C)=0.95,P(A|C)=0.95,這兩個(gè)概率都比較高.但若將此試驗(yàn)用于普查,則有P(C|A)=0.087,亦即其正確性只有8. 7%(平均1000個(gè)具有陽性反應(yīng)的人中大約只有87人確患有癌癥).如果不注意到這一點(diǎn),將會(huì)得出錯(cuò)誤的診斷,這也說明,若將P(A|C)和P(C|A)混淆了會(huì)造成不良的后果.
公式比較：
乘法公式嗤形、全概率公式與貝葉斯公式
1 乘法公式是求“幾個(gè)事件同時(shí)發(fā)生”的概率；
2 全概率公式是求“最后結(jié)果”的概率弧圆；
3 貝葉斯公式是已知“最后結(jié)果” 赋兵，求“某個(gè)事件”的概率.
先驗(yàn)概率與后驗(yàn)概率
1 P(Bj|A)是在事件A發(fā)生的條件下, 某個(gè)事件Bj發(fā)生的概率, 稱為 “后驗(yàn)概率”;
2 Bayes公式又稱為“后驗(yàn)概率公式”或“逆概公式”;
3 稱P(Bj) 為“先驗(yàn)概率”.
五、相互獨(dú)立搔预、互斥霹期、對(duì)立
P(B|A)=P(B), P(B|A)=P(B)表示事件A的發(fā)生與否對(duì)事件B發(fā)生的概率都沒有影響,這時(shí)我們可以說A、B相互獨(dú)立拯田。
多個(gè)事件相互獨(dú)立與多個(gè)事件兩兩獨(dú)立不是一回事
相互獨(dú)立事件：風(fēng)馬牛丌相及历造。兩個(gè)事件沒有一點(diǎn)關(guān)系。例如船庇，A吭产、Ｂ分別表示甲、乙 兩人患感冒鸭轮，丏甲乙兩人的活動(dòng)范圍相距甚進(jìn)垮刹，那么甲是否患感冒跟乙沒什么關(guān)系， 所以可以認(rèn)為A张弛、B獨(dú)立。
互斥事件：要么只有其中一個(gè)事件發(fā)生，要么兩個(gè)事件都不發(fā)生吞鸭。在某次抽獎(jiǎng)活動(dòng)中寺董， 一等獎(jiǎng)只有一個(gè)名額，A={甲中一等獎(jiǎng)}刻剥，B={乙中一等獎(jiǎng)}遮咖。那么A、B互為互斥事件造虏， 實(shí)際情況可能是甲中一等獎(jiǎng)御吞，可能是乙中一等獎(jiǎng)，當(dāng)然漓藕，更有可能甲乙都沒中獎(jiǎng)陶珠。
對(duì)立事件：兩個(gè)只能活一個(gè)，不是你死就是我亡享钞。跟互斥事件相比揍诽，對(duì)立事件必然會(huì) 有一個(gè)事件發(fā)生。例如在上述的抽獎(jiǎng)活動(dòng)中栗竖，C={甲沒中一等獎(jiǎng)}暑脆，那么Ａ與Ｃ是對(duì)立事件。
互斥事件不對(duì)立事件都不是相互獨(dú)立事件狐肢！
