【數(shù)學(xué)競賽解答】2020年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽浙江賽區(qū)初賽試題(填空)

本文為2020年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽浙江賽區(qū)初賽試題填空部分的解答吼鳞，大部分為關(guān)耳叔原創(chuàng)看蚜，解法雖多，但有雷同之處可以理解赔桌。
本文解答亮點：
1供炎、題1之解法2，方法巧妙疾党，可謂神來之筆音诫，多謝朋友吳正提供；
2雪位、題5使用向量法解立體幾何問題竭钝；
3、題6轉(zhuǎn)化為復(fù)向量茧泪，使計算更自然蜓氨；
4、題7引入倒數(shù)多項式的概念队伟；
5穴吹、題8、題9的解法2中嗜侮，引入母函數(shù)計數(shù)方法港令，并編寫計算機(jī)程序驗證其正確性；
6锈颗、題10使用了配對計數(shù)原理顷霹。

以下，通過考題击吱，詳細(xì)解析各個知識點與技巧淋淀，希望能有所奉獻(xiàn)。

題1 設(shè) $r$ 為方程 $x^3-x+3=0$ 的解覆醇，則以 $r^2$ 為其解的首項系數(shù)為1的整系數(shù)一元三次方程為______
解法1(韋達(dá)定理) 設(shè) $x^3-x+3=0$ 的三個根為 $r_1,r_2,r_3$ 朵纷，根據(jù)韋達(dá)定理有如下關(guān)系式：
$r_1+r_2+r_3=0$
$r_1r_2+r_2r_3+r_3r_1=-1$
$r_1r_2r_3=-3$

上三式可以推導(dǎo)如下三式。
$r_1^2+r_2^2+r_3^2$
$=(r_1+r_2+r_3)^2-2(r_1r_2+r_2r_3+r_3r_1)$
$=2$ (1.1)

$(r_1r_2)^2+(r_2r_3)^2+(r_3r_1)^2$
$=(r_1r_2+r_2r_3+r_3r_1)^2-2r_1r_2r_3(r_1+r_2+r_3)$
$=1$ (1.2)

$r_1^2r_2^2r_3^2=9$ (1.3)

根據(jù)(1.1)(1.2)(1.3)可得永脓， $r_1^2,r_2^2,r_3^2$ 為方程
$x^3-2x^2+x-9=0$ (1.4)
的三個根袍辞，方程(1.4)即所求。 $\blacksquare$

解法2(多項式理論常摧，吳正提供) 0= $(r^3-r+3)(ar^3+br^2+cr+d)$
$=ar^6+br^5+(c-a)r^4+(d-b+3a)r^3+(3b-c)r^2+(3c-d)r+3d$ (1.5)

上式令 $a=1$ ,且關(guān)于 $r$ 的奇數(shù)次項系數(shù)為零搅吁，得：
$a=1,b=0,d=-3,c=-1$
方程變?yōu)椋?br> $r^6-2r^4+r^2-9=0$
所以威创，方程 (1.4)有根為 $r^2$
$\blacksquare$

評注 (1.5)的構(gòu)造乃神來之筆，謝謝吳正提供谎懦。

題2 已知 $f(a)=\min_{\substack{x\in [a,a+1]}} \{x^2-2x-1\}$ 肚豺，則 $f(a)在[-1,1]$ 的最大值________
解令 $g(x)=x^2-2x-1,f(a)$ 是一個分段函數(shù)，如下：
$f(a)=\begin{cases} g(a+1) \space \space (a\le{0})\\ g(1)\space \space(0<a \le {1}) \\ g(a) \space\space(a>1) \end{cases}$

經(jīng)計算得：
$f(a)=\begin{cases} a^2-2 \space \space (a\le{0})\\ -2\space\space(0<a \le {1}) \\ a^2-2a-1 \space\space(a>1) \end{cases}$

分段代入計算得：
$\max_{\substack{a\in [-1,1]}}{f(a)} = -1$
$\blacksquare$

題3 某竹竿長為24米界拦，一端靠在墻上详炬，另一端落在地面上。若竹竿上某一節(jié)點到墻的垂直距離和到地面的垂直距離都是7米寞奸，則此時竹竿靠在墻上的端點到地面的垂直距離為______米，或_____米在跳。

解法1 如圖3-1枪萄， $AB$ 為墻， $AC=24(米)$ 為竹竿猫妙， $DE=DF=7$ 瓷翻，且 $\angle ABC = \angle AFD = \angle DEC = Rt\angle$ 。

圖3-1

設(shè)竹竿靠墻的端點到地面的垂直距離 $AB=x$ ,觸地點到墻的距離為 $BC=y$
根據(jù)勾股定理有：
$(x+y)^2-2xy=x^2+y^2=24^2=576$ (3.1)
根據(jù)面積關(guān)系：
$\frac{xy}2=S_{ABC}=S_{DEBF}+S_{ADF}+S_{DCE}=49+\frac{7(x-7)}2+\frac{7(y-7)}2$
整理得：
$xy=7(x+y)$ (3.2)

令 $u=x+y>0,v=xy>0$ 代入(3.1)(3.2)得：
$u^2-2v=576$ (3.3)
$v=7u$ (3.4)

$(3.3)(3.4)\Rightarrow u=32,v=224$
即 $x+y=32,xy=224$
所以割坠， $x,y$ 為關(guān)于 $t$ 的方程
$t^2-32t+224=0$
的兩根齐帚。

即：
$x=16+4\sqrt{2},y=16-4\sqrt{2}$
或
$x=16-4\sqrt{2},y=16+4\sqrt{2}$

綜上所述， $AB=16\pm 4\sqrt2$
$\blacksquare$

解法2 如圖3-1彼哼，令 $\angle CAB=\theta,$ 对妄，則：
$S_{ABC}=\frac{1}{2}\times (24 \times \cos\theta)\times (24 \times\sin\theta)=144\sin2\theta$ (3.5)
另：
$S_{ABC}=S_{DEBF}+S_{ADF}+S_{DCE}$
$=7\times 7+\frac{7\times 7\tan\theta}2+\frac{7\times 7\cot\theta}2$
$=49+\frac{49}{\sin2\theta}$ (3.6)

由(3.5)、(3.6)得：
$144\sin2\theta=49+\frac{49}{\sin2\theta}$
令 $\sin2\theta=t$ 整理得：
$144t^2-49t-49=0$
解得：
$t_1=\frac{7}{9},t_2=-\frac{7}{16}$
因 $\theta$ 為銳角, $0<2\theta<180^\circ$ 敢朱，所以：
$\sin2\theta = \frac{7}{9}$
解得：
$\cos\theta=\frac{4\pm \sqrt{2} }6$
所以：
$AB=AC\times \cos\theta=24\times \frac{4\pm \sqrt{2} }6=16\pm 4\sqrt2$
$\blacksquare$

題4 $x\in \mathbb R$ 剪菱，則 $y=\frac{sinx}{2-\cos x}$ 的最大值為______
解法1 y求導(dǎo)得：
$y'=\frac{2\cos x-1}{(2-\cos x)^2}$
令 $y'=0$ ，解得 $y$ 的極值點為：
$x=2k\pi \pm \frac{\pi}{3},k\in \mathbb Z$
為討論方便拴签，令 $k=0$ 孝常，得兩個極值點為：
$x=\pm \frac{\pi}{3}$
通過單調(diào)性討論（從略），可以驗證蚓哩，當(dāng) $x=\pi/3$ 時构灸， $y_{max}=\frac{\sqrt3/2}{2-1/2}=\frac{\sqrt 3}{3}$
$\blacksquare$

解法2
$y=\frac{\sin x}{2-\cos x}$
$=\frac{2\tan \frac{x}{2}}{3\tan^2\frac{x}{2}+1}$ (4.1)

當(dāng) $\tan\frac{x}{2} \le 0$ 時， $y \le{0}$

當(dāng) $\tan\frac{x}{2} >0$ 時岸梨，有：
$3\tan\frac{x}2+\frac{1}{\tan\frac{x}2} \ge 2 \sqrt{3\tan\frac{x}2 \times \frac{1}{\tan\frac{x}2}}=2\sqrt3$
所以：
$y=\frac{2}{3\tan\frac{x}2+\frac{1}{\tan\frac{x}2}} \le {\frac{\sqrt3}{3}}$
當(dāng) $3\tan\frac{x}2=\frac{1}{\tan\frac{x}2}$ 喜颁，即 $x=60^\circ$ 時，等號成立盛嘿。
所以： $y_{max}=\frac{\sqrt 3}{3}$
$\blacksquare$

解法3 令 $t=tan (x/2)$ 代入(4.1)得：
$y=\frac{2t}{3t^2+1},t\in \mathbb R$
變形得：
$3yt^2-2t+y=0$ (4.2)
當(dāng)y=0時洛巢，方程(4.2)有實根t=0；
當(dāng) $y\ne 0$ 時次兆，方程(4.2)有實根當(dāng)且僅當(dāng)：
$\Delta =(-2)^2-12y^2 \ge 0$
解得：
$-\frac{\sqrt3}{3} \le {y} \le \frac{\sqrt3}{3}$
經(jīng)驗證稿茉，當(dāng) $y= \frac{\sqrt3}{3}$ 時， $t= \frac{\sqrt3}{3}$ ，
所以 $y_{max}=\frac{\sqrt 3}{3}$

題5 在四面體 $P-ABC$ 中漓库，棱 $PA,AB,AC$ 兩兩垂直恃慧，且 $PA=AB=AC,E,F$ 分別為線
段 $AB,PC$ 的中點，則直線 $EF$ 與平面 $PBC$ 所成角的正弦值為________

解(向量法) 不妨設(shè) $PA=AB=AC=1$ 渺蒿，把 $P-ABC$ 置于空間坐標(biāo)系中痢士，令各點的坐標(biāo)為：
$A(0,0,0),P(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,1)$

則 $E,F$ 的坐標(biāo)分別為：
$E(0,0.5,0),F(0.5,0,0.5)$
向量 $\overrightarrow{EF}=(0.5,-0.5,0.5)$

取平面 $PBC$ 的法向量 $\overrightarrow{n}=(1,1,1)$
問題轉(zhuǎn)化為求 $\overrightarrow{EF},\overrightarrow{n}$ 夾角 $\theta$ （銳角）的余弦值，如下：
$\cos \theta = \lvert \frac{0.5\times1+(-0.5)\times1+0.5\times 1}{\sqrt{[0.5^2+(-0.5)^2+0.5^2](1^2+1^2+1^2)}} \rvert$
$=\frac{1}{3}$

所以茂装，直線 $EF$ 與平面 $PBC$ 所成角的正弦值為 $=\frac{1}{3}\blacksquare$ 怠蹂。

評注本題使用平面法向量與空間兩射線角的余弦公式。
1.法向量：垂直于平面的向量少态，稱為平面的法向量城侧。
2.空間兩向量夾角公式：
空間原點為 $O(0,0,0)，$ 有兩點 $A(x_1,y_1,z_1),B(x_2,y_2,z_2)$ 彼妻，那么向量 $\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB}$ 的夾角余弦公式為：
$\cos\angle AOB=\frac{x_1 x_2+y_1 y_2+z_1 z_2}{\sqrt{x_1^2+y_1^2 +z_1^2} \sqrt{x_2^2+y_2^2 +z_2^2}}$

題6 設(shè)平面上不共線的三個單位向量 $\overrightarrow a,\overrightarrow b,\overrightarrow c$ 滿足 $\overrightarrow a+\overrightarrow b+\overrightarrow c=0$ 嫌佑。若 $0≤t≤1$ ，則 $|-2\overrightarrow a+t\overrightarrow b+(1-t)\overrightarrow c|$ 的取值范圍為______

解把向量轉(zhuǎn)化為復(fù)向量：
$\overrightarrow a=1,\overrightarrow b=\omega,\overrightarrow c=\overline{\omega}$
其中 $\omega=e^{\frac{2\pi i}3}$
這樣構(gòu)造的向量滿足條件侨歉，且不妨礙一般性屋摇。

又：
$\omega+\overline{\omega}=-1$
$\omega^2+\overline{\omega}^2=-1$
$|\omega|^2=\omega\overline\omega=1$
利用上三式，可以做如下運算：
$|-2\overrightarrow a+t\overrightarrow b+(1-t)\overrightarrow c|^2$
$=|-2+t\omega+(1-t)\overline\omega|^2$
$=[-2+t\omega+(1-t)\overline\omega]\overline{[-2+t\omega+(1-t)\overline\omega]}$
$=[-2+t\omega+(1-t)\overline\omega][-2+t\overline\omega+(1-t)\omega]$
$=3(t-\frac{1}{2})^2+\frac{25}{4}$

由 $0≤t≤1$ 及二次實函數(shù)的性質(zhì)幽邓，可得：
$\frac{25}4 \le |-2\overrightarrow a+t\overrightarrow b+(1-t)\overrightarrow c|^2 \le {7}$
所以：
$\frac{5}2 \le |-2\overrightarrow a+t\overrightarrow b+(1-t)\overrightarrow c| \le \sqrt7$
$\blacksquare$

題7 設(shè) $z$ 為復(fù)數(shù)炮温，且 $|z|=1$ 。當(dāng) $|1+z+3z^2+z^3+z^4|$ 取得最小值時牵舵，則此時復(fù)數(shù)z=______或______

解依題意可設(shè) $z=\cos {\theta} + i\sin {\theta}$ ,則：
$\frac{1}z=\overline z$
$z+\overline z=2\cos \theta$
于是：
$|1+z+3z^2+z^3+z^4|$
$=|z^2|\cdot | \frac{1}{z^2}+\frac{1}{z}+3+z+z^2|$
$=|(z+\overline z)^2+(z+\overline z)+1|$
$=|4\cos^2\theta+2\cos\theta+1|$
$=|4(\cos\theta+\frac{1}4)^2+\frac{3}4| \ge \frac{3}{4}$
以上當(dāng) $\cos\theta = -\frac{1}4$ 時等號成立茅特，取得最小值 $\frac{3}{4}$
得 $\sin\theta = \pm \frac{\sqrt{15}}4$
所以 $z=-\frac{1}4 \pm \frac{\sqrt{15}}4 i\blacksquare$

評注多項式 $1+z+3z^2+z^3+z^4$ 為倒數(shù)多項式，這是解本題的快速突破口棋枕。什么是倒數(shù)多項式白修？定義如下：
定義7.1 若方程 $f(x)=0$ 的所有根兩兩互為倒數(shù)，那么多項式 $f(x)$ 稱為倒數(shù)多項式重斑，方程 $f(x)=0$ 稱為倒數(shù)方程兵睛。

可以證明， $n$ 次倒數(shù)多項式的系數(shù)是對稱的窥浪，也就是 $a_0=a_n,a_1=a_{n-1},...$

本題中祖很，利用倒數(shù)多項式系數(shù)對稱性，提取最中間的項 $z^2$ 漾脂，則另一個因式為： $\frac{1}{z^2}+\frac{1}{z}+3+z+z^2$ 假颇，其對稱位置互為倒數(shù)，這樣就可以利用共軛關(guān)系進(jìn)一步變形骨稿。

題8 已知由6個正整數(shù)組成的六位十進(jìn)制數(shù)中笨鸡，其個位上的數(shù)字是4的倍數(shù)姜钳，十位和百位上的數(shù)字都是3的倍數(shù)，且六位數(shù)的數(shù)碼和為21,則滿足上述條件的六位數(shù)的個數(shù)為__________
解法1 設(shè)六位數(shù)為 $\overline{abcdef}$ 形耗， $a,b,c,d,e$ 是不為0的十進(jìn)制數(shù)字哥桥， $f$ 為4的倍數(shù)， $d,e$ 為3的倍數(shù)激涤，且滿足：
$a+b+c+d+e+f=21$ (8.1)
對倍數(shù)的條件拟糕，分如下情況討論：
(1) 若(d,e,f)=(3,3,4)， $a+b+c=11$ 倦踢，有 $C_{10}^2$ 組滿足條件解送滞；
(2) 若(d,e,f)=(3,6,4)或(6,3,4)， $a+b+c=8$ 辱挥，有 $2C_{7}^2$ 組滿足條件解累澡；
(3) 若(d,e,f)=(3,9,4)或(9,3,4)或(6,6,4)， $a+b+c=5$ 般贼，有 $3C_{4}^2$ 組滿足條件解；
(4) 若(d,e,f)=(9,9,4)奥吩， $a+b+c=-1$ ,有0組滿足條件解哼蛆；
(5) 若(d,e,f)=(3,3,8)， $a+b+c=7$ ,有 $C_{6}^2$ 組滿足條件解霞赫；
(6) 若(d,e,f)=(3,6,8)或(6,3,8)腮介， $a+b+c=4$ ，有 $2C_{3}^2$ 組滿足條件解端衰；
(7) 若(d,e,f)=(3,9,8)或(9,3,8)或(6,6,8)或(9,9,8)叠洗， $a+b+c<0$ ，有0組滿足條件解旅东；
上述7種情況無重復(fù)無漏算灭抑，故本題答案為：
$C_{10}^2+2C_{7}^2+3C_{4}^2+C_{6}^2+2C_{3}^2=126$
$\blacksquare$

評注1 注意，以上計數(shù)利用以下命題：
命題8.1 $m,n$ 是正整數(shù)抵代，那么關(guān)于 $x_1,x_2,...,x_m$ 方程
$x_1+x_2+...+x_m=n$
的正整數(shù)解有 $C_{n-1}^{m-1}$
證明從略

解法2 (母函數(shù)結(jié)合計算機(jī)) 該問題的組合母函數(shù)為：
$f(x) = (x^4+x^8)(x^3+x^6+x^9)^2(x+x^2+x^3+x^4+...+x^9)^3$
$=x^{13}(1+x^4)(1+x^3+x^6)^2(1+x+x^2+...+x^8)^3$
$f(x)$ 展開后腾节， $x^{21}$ 的系數(shù)即為所求的答案。

令
$g(x)=(1+x^4)(1+x^3+x^6)^2(1+x+x^2+...+x^8)^3$ (8.1)
$g(x)$ 展開后荤牍， $x^{8}$ 的系數(shù)即為所求的答案案腺。經(jīng)電腦計算（用python之sympy計算）， $x^{8}$ 的系數(shù)為126康吵。 $\blacksquare$

根據(jù)式(8.1)劈榨，編寫sympy程序，計算 $x^8$ 的系數(shù)晦嵌，結(jié)果為126同辣，符合預(yù)測拷姿。

# sympy是個符號運算包，可以作代數(shù)運算邑闺。
from sympy import *

#定義自變量
x = symbols('x')

#定義函數(shù)
y = (1+x**4) * sum([x**(3*i) for i in range(3)])**2 \
    * sum([x**i for i in range(9)])**3
#求8階導(dǎo)數(shù)
y_8 = diff(y,x,8)

#求y_8(0)
y_8_0 = y_8.subs(x,0)

#求y_8(0)/8!是多項式y(tǒng)的x^8的系數(shù)
a_8 = y_8_0 / gamma(9)

print(a_8)

評注2 解法2最后計算量大跌前，要用到電腦，在此用它來驗算解法1陡舅。組合母函數(shù)是比較常用的計數(shù)方法抵乓，其法始于大數(shù)學(xué)家歐拉，在組合數(shù)學(xué)中占據(jù)重要地位靶衍。一個最簡單的計算組合數(shù)的母函數(shù)是二項式 $f(x)=(1+x)^n$ 灾炭，通過二項展開，容易證明如下組合恒等式： $2^n=f(1)=C_n^0+C_n^1+...+C_n^n$

題9 一個正整數(shù)若能寫成 $20a+8b+27c(a,b,c為非負(fù)整數(shù))$ 形式颅眶，則稱它為“好數(shù)”蜈出。則集合{1,2,…，200}中好數(shù)的個數(shù)為______

解法1 本題使用如下命題：
命題9.1 $r,s,t\in \mathbb Z,d$ 為 $r,s$ 的最大公約數(shù)涛酗，則關(guān)于 $x,y$ 的不定方程 $rx+sy=t$ 有整數(shù)解的充分必要條件為 $d|t$ 铡原。
命題9.1的證明可以參考一般數(shù)論教材，在此只利用它的結(jié)論商叹。

題9的關(guān)鍵在于求所有在 $\{1,2,3,...,200 \}$ 中的整數(shù) $n$ ,使關(guān)于 $x,y,z$ 的方程
$20x+8y+27z=n$ (9.1)
有非負(fù)整數(shù)解燕刻。

因 $(9.1)\Leftrightarrow 20x+8y=n-27z$ ，根據(jù)命題9.1剖笙，方程(9.1)有非負(fù)整數(shù)解
$\Rightarrow 4 | (n-27c)$

因 $0\le y \le 7$ ,以下對 $y$ 進(jìn)行討論：
當(dāng) $y=0$ 時卵洗， $4|n$ ，經(jīng)驗證弥咪， $n=4k (2\le {k} \le {50}, k\ne 3)$ 能使方程(9.1)有非負(fù)整數(shù)解过蹂， $n$ 總共有 $48$ 個；

當(dāng) $y=1$ 時聚至， $4|(n-27)$ 酷勺，經(jīng)驗證， $n=4k+27 (0 \le k \le {43}, k\ne 1,3)$ 能使方程(9.1)有非負(fù)整數(shù)解扳躬， $n$ 總共有 $42$ 個鸥印；

當(dāng) $y=2$ 時， $4|(n-54)$ 坦报，經(jīng)驗證库说， $n=4k+54 (0 \le {k} \le {36}, k\ne 1,3)$ 能使方程(9.1)有非負(fù)整數(shù)解， $n$ 總共有 $35$ 個片择；

當(dāng) $y=3$ 時潜的， $4|(n-81)$ ，經(jīng)驗證字管， $n=4k+81 (0 \le {k} \le {29}, k\ne 1,3)$ 能使方程(9.1)有非負(fù)整數(shù)解啰挪， $n$ 總共有 $28$ 個信不；

容易驗證，當(dāng) $c=4,5,6,7$ 時亡呵，滿足條件的 $n$ 已經(jīng)包含在上述四種討論中抽活。

綜上所述，使方程(9.1)有非負(fù)整數(shù)解的整數(shù) $n\in [1,200]$ 有：48+42+35+28=153個锰什，這也是本題要求的答案下硕。 $\blacksquare$

解法2 (母函數(shù)結(jié)合計算機(jī)) 該問題的組合母函數(shù)為：
$f(x)=(1+x^{20}+x^{40}+...+x^{200})(1+x^8+x^{16}+...x^{200})(1+x^{27}+x^{54}+..++x^{189})$
$=\frac{1-x^{220}}{1-x^{20}}\times\frac{1-x^{208}}{1-x^{8}}\times \frac{1-x^{216}}{1-x^{27}}$
問題轉(zhuǎn)化為求 $f(x)$ 的 $x$ 次數(shù)為1~200的單項式的個數(shù)，經(jīng)電腦計算（用python之sympy計算）汁胆，其值為153梭姓。 $\blacksquare$

以下程序根據(jù)母函數(shù) $f(x)$ 編制，目的計算 $f(x)$ 系數(shù)不為零且次數(shù)在 $1~200$ 的單項式的個數(shù)嫩码，計算出來的值為153誉尖，與預(yù)測值一致。

# sympy是個符號運算包铸题，可以作代數(shù)運算铡恕。
from sympy import *

#定義自變量
x = symbols('x')

#定義函數(shù)
y = sum([x**(20*i) for i in range(12)]) * sum([x**(8*i) for i in range(25)])**2 \
    * sum([x**(i*27) for i in range(8)])**3
#展開多項式
y=y.expand()
#計算1~200不為零的單項式個數(shù)：
n = sum([ 0 if y.coeff(x,i)==0 else 1 for i in range(1,201)])

print(n)
# EOF

題10 .設(shè) $i_1,i_2…，i_n$ 是集合 $\{1,2,…丢间，n \}$ 的一個排列探熔。如果存在 $k<l$ 且 $i_k>i_l$ ，則稱數(shù)對 $i_k,i_l$ 為一個逆序千劈，排列中所有逆序數(shù)對的數(shù)目稱為此排列的逆序數(shù)。比如牌捷，排列1432的逆序為43,42,32,此排列的逆序數(shù)就是3墙牌。則當(dāng) $n=6,i_3=4$ 的所有排列的逆序數(shù)為________

解先證明命題10.1：
命題10.1 設(shè) $n \ge 2$ ，則集合 $\{1,2,3,...,n\}$ 的所有排列中暗甥，逆序?qū)Φ臄?shù)量和為 $\frac{C_n^2P_n^n}{2}$ 喜滨。

命題10.1的證明 為了敘述方便，我們稱：一個排列中撤防，不是逆序?qū)Φ臄?shù)對為順序?qū)?/strong>虽风。
考察集合
$A_n=\{P|P為\{1,2,3,...,n\}的排列 \}$
設(shè) $P=(i_1,i_2…，i_n)\in A_n$ 寄月， $P^{-1}=(i_n,i_{n-1},...,1)$
顯然 $P^{-1}\in A_n$ 辜膝，稱排列 $P^{-1}$ 為 $P$ 的逆排列。

顯然漾肮，當(dāng) $n \ge 2$ 時厂抖，一個排列與它的逆排列是不同的排列，且 $(P^{-1})^{-1}=P$ 克懊。
并且命題10.1等價于：
$\sum_{\substack{P\in A_n}}{f(P)}=\frac{P_n^nC_n^2}{2}$
其中 $f(P)$ 為排列 $P$ 的逆序?qū)?shù)量忱辅。

設(shè)排列 $P\in A_n$ 的逆序?qū)εc順序?qū)Φ臄?shù)目分別為 $f(P),g(P)$ 七蜘。
顯然，逆序?qū)?shù)與順序?qū)?shù)的和等于組合數(shù) $C_n^2$ 墙懂，即：
$f(P)+g(P)=C_n^2$ (10.1)

另外橡卤，關(guān)鍵的一點， $P$ 的逆序?qū)εc $P^{-1}$ 中的順序?qū)σ灰粚?yīng)损搬，反之亦然碧库，所以：
$f(P^{-1})=g(P)$ (10.2)

$(10.1),(10.2)\Rightarrow f(P)+f(P^{-1})=f(P)+g(P)=C_n^2$
所以：
$\sum_{\substack{P\in A_n}}{f(P)} + \sum_{\substack{P\in A_n}}{f(P^{-1})}$
$=\sum_{\substack{P\in A_n}}[f(P)+f(P^{-1})]$
$=P_n^nC_n^n$ (10.3)

$(10.2)\Rightarrow \sum_{\substack{P\in A_n}}{f(P)} = \sum_{\substack{P\in A_n}}{f(P^{-1})}$ (10.4)

$(10.3)(10.4)\Rightarrow \sum_{\substack{P\in A_n}}{f(P)}=\frac{P_n^nC_n^2}{2}$
這就證明了命題(10.1) $\blacksquare$

回到題10，集合 $A_6$ 滿足 $i_3=4$ 的所有排列中场躯，把逆序?qū)Ψ殖蓛深悾?br> 1類為不含有4的逆序?qū)μ肝O(shè)有 $a$ 對；
2類為逆序?qū)?img class="math-inline" src="https://math.jianshu.com/math?formula=(5%2C4)%2C(6%2C4)" alt="(5,4),(6,4)" mathimg="1">踢关，設(shè)有 $b$ 對伞鲫；
3類為逆序?qū)?img class="math-inline" src="https://math.jianshu.com/math?formula=(4%2C1)%2C(4%2C2)%2C(4%2C3)" alt="(4,1),(4,2),(4,3)" mathimg="1">，設(shè)有 $c$ 對签舞。

那么題10轉(zhuǎn)化為求上述三類逆序?qū)?shù)目之和 $(a+b+c)$ 秕脓。

第一步，先計算 $a$ 儒搭。根據(jù)命題 $10.1$ 吠架，可以得出 $a=\frac{P_5^5C_5^2}2=600(對)$

第二步，再計算 $b$ 搂鲫。為了方便計算傍药，把滿足條件的排列分為如下2個類型：
1型： $i_1,i_2$ 有且只有一個元素在{5,6}中，可以按照如下步驟生成排列：
先選 $5,6$ 之一置于 $i_1i_2$ 魂仍，有 $P_2^1C_2^1$ 中方法拐辽；
再把 $\{5,6\}$ 另一個元素置于 $i_4i_5i_6$ 中，有 $3$ 種方法擦酌；
剩余的3個位置作全排列俱诸，有 $P_3^3$ 種方法。
以上每種排列有1對要計入 $b$ 的逆序赊舶，根據(jù)乘法原理睁搭，可得逆序?qū)?img class="math-inline" src="https://math.jianshu.com/math?formula=P_2%5E1C_2%5E1%20%5Ctimes%203%20%5Ctimes%20P_3%5E3%3D72(%E5%AF%B9)" alt="P_2^1C_2^1 \times 3 \times P_3^3=72(對)" mathimg="1">

2型： $\{i_1,i_2\}=\{5,6\}$ ，可以按照如下步驟生成排列：
先把 $5,6$ 放入 $i_1i_2$ 笼平，有 $P_2^2$ 種方法园骆；
剩余的位置 $i_4i_5i_6$ 可作全排列，有 $P_3^3$ 種方法寓调。
以上每種排列有2對要計入 $b$ 的逆序遇伞，根據(jù)乘法原理，可得逆序?qū)?img class="math-inline" src="https://math.jianshu.com/math?formula=P_2%5E2%5Ctimes%20P_3%5E3%5Ctimes%202%3D24(%E5%AF%B9)" alt="P_2^2\times P_3^3\times 2=24(對)" mathimg="1">
第二步小結(jié)： $b=72+24=96(對)$

第三步捶牢，再計算 $c$ 鸠珠。為了方便計算巍耗，把滿足條件的排列分為如下3個類型：
1型： $\{i_4,i_5,i_6\} = {1,2,3}$
這種情況下，每個排列有3對逆序要計入 $c$ 渐排，共有 $P_2^2P_3^3$ 個排列炬太，根據(jù)乘法原理，共有逆序?qū)?img class="math-inline" src="https://math.jianshu.com/math?formula=3%5Ctimes%20P_2%5E2P_3%5E3%3D36(%E5%AF%B9)" alt="3\times P_2^2P_3^3=36(對)" mathimg="1">

2型：集合 $\{i_4,i_5,i_6\}$ 與 $\{1,2,3\}$ 有且只有2個元素相等驯耻，可按如下步驟生成排列：
先選 $\{1,2,3\}$ 之一放入 $i_1i_2$ 亲族，共有 $P_3^1C_2^1$ 種方法；
再選 $\{5,6\}$ 之一放入 $i_1i_2$ 可缚，位置無可選(有一位被上一步占據(jù))霎迫，共有2種方法；
最后帘靡，剩余的3個元素作全排列知给，有 $P_3^3$ 種方法。
以上每個排列有 $2$ 對逆序要計入 $c$ 描姚，根據(jù)乘法原理涩赢，得2型逆序?qū)τ?img class="math-inline" src="https://math.jianshu.com/math?formula=P_3%5E1C_2%5E1%5Ctimes%202%5Ctimes%20P_3%5E3%5Ctimes%202%3D144(%E5%AF%B9)" alt="P_3^1C_2^1\times 2\times P_3^3\times 2=144(對)" mathimg="1">

3型：集合 $\{i_4,i_5,i_6\}$ 與 $\{1,2,3\}$ 有且只有1個元素相等，這時轩勘，可以按照如下步驟排列：
先選 $1,2,3$ 之二排入 $i_1i_2$ 筒扒，共有 $P_3^2$ 種方法；
最后绊寻，剩余的3個元素對 $i_4i_5i_6$ 做全排列花墩，共有 $P_3^3$ 種方法。
以上每種排列有1個要計入 $c$ 的逆序?qū)Τ尾剑鶕?jù)乘法原理冰蘑，得到3型的逆序?qū)灿?img class="math-inline" src="https://math.jianshu.com/math?formula=P_3%5E2%5Ctimes%20P_3%5E3%20%3D36(%E5%AF%B9)" alt="P_3^2\times P_3^3 =36(對)" mathimg="1">
第三步小結(jié)： $c=36+144+36=216(對)$

第一步到第三步是分類計數(shù)，無重復(fù)無遺漏驮俗，所以 $a+b+c=600+96+216=912(對)$

所以本題答案為912懂缕。 $\blacksquare$

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最后編輯于：2022.06.28 11:44:35

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