這是去年研究生剛開學(xué)遇到的一個(gè)問(wèn)題，現(xiàn)在上傳來(lái)備忘冷守。
關(guān)于百度經(jīng)驗(yàn)“任意正多邊形的畫法”的幾點(diǎn)思考
大家記得上周五寶哥在課上提了一個(gè)問(wèn)題：“如何用尺規(guī)做出正多邊形根悼？”有同學(xué)就在百度經(jīng)驗(yàn)上看到一條“任意正多邊形的畫法”，鏈接貼在這里https://jingyan.baidu.com/article/4f7d5712e1df2c1a2019272b.html
我們就一起思考這種方法能做出正多邊形的原理改抡。經(jīng)過(guò)我與同學(xué)的討論與探究售淡，得出的結(jié)論是：因?yàn)樗缅e(cuò)誤的方法（精確地講是不精確的方法）來(lái)糊弄我們斤葱。下面我想把我的證明過(guò)程與大家分享和探討慷垮。
大概就是上圖這個(gè)樣子。百度經(jīng)驗(yàn)是用AutoCAD作圖揍堕，前四步的目的就是把小圓的直徑8等分料身。因?yàn)锳utoCAD是無(wú)法將任意一條線段八等分的，要是你拉的這條線段長(zhǎng)是個(gè)無(wú)理數(shù)呢……
后面幾步的目的說(shuō)白了就是畫了一條線段OH衩茸，再連接各點(diǎn)就行了芹血。假設(shè)小圓半徑是1，不難得出楞慈，OH=幔烛。也就是說(shuō)，找到這個(gè)H點(diǎn)就搞定囊蓝！如何證明畫出的是正多邊形饿悬？我采用反證法，即已知是正多邊形聚霜，求證OH的長(zhǎng)度是否為狡恬。
假設(shè)是正多邊形，則∠BOA=45°蝎宇。設(shè)∠OBA=x傲宜，∠OAH=y。用正弦定理列幾個(gè)方程夫啊。已知OA=1/2，OB=1辆憔，∠HOA=90°撇眯。得到，∠OHA=90°-y虱咧，∠OAB=180°-y熊榛。
在三角形AOB中，
在三角形AOH中腕巡，
并且玄坦，
將上述已知條件帶入三個(gè)公式，得到
與
矛盾绘沉，所以這作圖方法錯(cuò)誤煎楣。
很有趣的事情是，這兩個(gè)值只相差了約0.02车伞。所以择懂，百度經(jīng)驗(yàn)的做法只是一種粗略的作圖方法，根本不嚴(yán)謹(jǐn)另玖。
擴(kuò)展延伸
按照上面的思路困曙，我們只要求出OH的長(zhǎng)度就能畫出正多邊形了表伦。然而有兩個(gè)遺留的問(wèn)題。
第一慷丽，不同多邊形所要找的OH長(zhǎng)度相同嗎蹦哼？按照上述方法，你很快能找到答案要糊，并且還能推出一個(gè)萬(wàn)能公式纲熏。
第二，[endif]我們這是用反證法證明的杨耙，也就是說(shuō)這證明了充分性赤套，還未證明必要性。認(rèn)真思考我們的充分條件珊膜，看似是已知一個(gè)正多邊形容握，其實(shí)是已知∠BOA的數(shù)值。我們并沒(méi)有證明已知OH的情況下能畫出對(duì)應(yīng)的正多邊形车柠。如何證明呢剔氏？感興趣的朋友可以去試一下，我用的還是反證法竹祷。如果你證明出來(lái)不能谈跛，那么恭喜你，你又找出了那個(gè)百度經(jīng)驗(yàn)的一個(gè)錯(cuò)誤塑陵，而且這個(gè)結(jié)果對(duì)于你前面的所有思考將是一個(gè)災(zāi)難感憾；如果你證明出來(lái)能，那就太棒了令花，這將成為畫多邊形的一個(gè)萬(wàn)能方法阻桅，任意多邊形理論上都可以畫出。
總之兼都，這篇百度經(jīng)驗(yàn)在我看來(lái)是錯(cuò)的嫂沉，目前至少有兩處錯(cuò)，誤人子弟鞍绫獭趟章！歡迎大家找我討論，一起進(jìn)步慎王。
