數(shù)學(xué)寫作漫談
李文威
中國科學(xué)院數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)研究院
轉(zhuǎn)載說明:
本文系李文威教授在其主頁的一篇關(guān)于數(shù)學(xué)寫作的文章, 其主頁處系PDF格式,不便于流傳,但本確系好文,因此在此使用Markdown重新進(jìn)行排版后進(jìn)行轉(zhuǎn)載, 當(dāng)然想觀其原文者可訪問其主頁 https://www.wwli.asia/index.php/zh/.
下面我將李文威教授的簡歷也置與此;想必讀者應(yīng)該會注意到作者李文威教授至少精通中,英,法三國語言的.其他的可以去其主頁閱讀其書與文章體會.
李文威教授的簡歷
基本信息
李文威（Wen-Wei Li 翔忽； Lǐwénwēi ； ㄌㄧˇ ㄨㄣˊ ㄨㄟ ）：數(shù)學(xué)工作者、城鄉(xiāng)結(jié)合部大叔≈采樱現(xiàn)為北京大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院教員。
電子郵件：wwli [ατ] bicmr.pku.edu.cn 或 wwli [ατ] pku.edu.cn
目前地址：北京市海淀區(qū)頤和園路 5 號北京大學(xué)北京國際數(shù)學(xué)研究中心钱磅，郵編：100871
民族：未識別
政治面貌：不詳**
學(xué)歷
- 1982年：出生于臺北市
- 1988-1994年：就讀于國立臺北教育大學(xué)附設(shè)實(shí)驗(yàn)小學(xué)（原省立臺北師院附設(shè)實(shí)驗(yàn)小學(xué)）
- 1994-1997年：就讀于臺北市立金華國民中學(xué)
- 1997-2000年：就讀于臺北市立建國高級中學(xué)
- 2000-2004年：就讀于國立臺灣大學(xué)數(shù)學(xué)系
- 2004-2005年：義務(wù)役預(yù)備軍官54期1梯，陸軍政戰(zhàn)少尉退伍
- 2006-2007年：巴黎第十一大學(xué)，基礎(chǔ)數(shù)學(xué)碩士世舰；師從 Jean-Beno?t Bost
- 2007-2008年：萊頓大學(xué)，基礎(chǔ)數(shù)學(xué)碩士槽卫；師從 Jean-Loup Waldspurger（2006-2008年間參加歐盟 ALGANT 獎(jiǎng)學(xué)金項(xiàng)目）
- 2008年-2011年：巴黎第七大學(xué)跟压，基礎(chǔ)數(shù)學(xué)博士；師從 Jean-Loup Waldspurger
碩士論文：The Weil Representation and Its Character (Leiden, 2008)
此文較為枯燥歼培，旨在介紹亞辛覆蓋群 Sp~(2n)Sp(2n) 及 Weil 表示的構(gòu)造震蒋，然后描述 Maslov 上鏈并由此導(dǎo)出 Weil 表示的特征標(biāo)公式，后者是 Maktouf 及 Thomas 的工作躲庄。
博士論文：Vers une formule des traces stable pour le groupe métaplectique (Jussieu, 2011)
此論文有兩個(gè)大目標(biāo)查剖，一是為 Sp~(2n) 的內(nèi)窺理論奠下基礎(chǔ)寥枝，二是著手為一大類覆蓋群 G~G(A) 建立 Arthur 的不變跡公式尸折。第二個(gè)目標(biāo)在我后來的文章中完成了一部分。最后的勘誤表不全惰许，尚有些小錯(cuò)倔监，請讀者留心之直砂。
工作經(jīng)歷
僅供參考，一切以人事檔案為準(zhǔn)浩习。
- 2011年8月 - 2012年2月：中國科學(xué)院晨興數(shù)學(xué)中心静暂，訪問學(xué)者（？）
- 2012年3月 - 2013年3月：中國科學(xué)院數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)研究院谱秽，副研究員
- 2013年4月 - 2018年6月：中國科學(xué)院數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)研究院洽蛀，研究員
- 2015年3月 - 2018年6月：中國科學(xué)院大學(xué)，崗位教師
- 2018年7月迄今：北京大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院疟赊，教授郊供。
說明：本文基于筆者 2014 年 10 月 24 日在中國科學(xué)院大學(xué)中關(guān)村教學(xué)樓做的同名報(bào)告， 主要對象是數(shù)學(xué)方向的研究生近哟，事后依據(jù)錄音和投影片整理成篇驮审。內(nèi)容上經(jīng)過一些必要的修改，并稍做潤飾椅挣。謹(jǐn)在此感謝科學(xué)院諸師長头岔、同學(xué)和行政人員在過程中的協(xié)助與鼓勵(lì)。
定稿于 2015 年 4 月 24 日鼠证。
一峡竣、釋題
今天和各位談的主題是“數(shù)學(xué)寫作”×烤牛科技寫作的教程在市面上可謂汗牛充棟适掰，科學(xué)院里也辦了不少講座颂碧。“科技寫作”一詞类浪，據(jù)我所知在國外相對少用载城，一般稱之為“學(xué)科寫作”，突出的是對于不同的學(xué)科费就，寫作相應(yīng)地具有不同的特質(zhì)诉瓦。所謂科技寫作，可以歸入“科技力细、工程與數(shù)學(xué)”寫作項(xiàng)下睬澡，而數(shù)學(xué)寫作是后者的真子集；
各個(gè)學(xué)科面貌各異眠蚂，能否混為一談煞聪？在我看來，這在研究生階段恐怕是不合適的逝慧。我認(rèn)為多數(shù)相關(guān)書籍或講座或多或少有些偏差昔脯，這里點(diǎn)出四條以資區(qū)別：
無視學(xué)科差異，具如上述笛臣。
定位不明云稚。諸如選題和投稿這類問題，雖然和寫作有自然的聯(lián)系捐祠，但不宜相提并論碱鳞。
大處含糊，小處生硬踱蛀。講原理時(shí)籠統(tǒng)帶過，講實(shí)踐贵白、講細(xì)節(jié)時(shí)就一變而為作文批改率拒；然而數(shù)學(xué)寫作的重點(diǎn)并不在此。
商業(yè)性重禁荒。譬如許多出版商贊助的講座猬膨，費(fèi)盡口舌，不外是叫人投他們的期刊呛伴，購買他們的服務(wù)勃痴。
學(xué)科差異還可以從兩個(gè)面向考慮。第一是對內(nèi)比較热康，在此我無意提出一套適合所有數(shù)學(xué)分支的模式沛申，應(yīng)用數(shù)學(xué)與基礎(chǔ)數(shù)學(xué)的風(fēng)格迥異。本人迄今一直從事基礎(chǔ)數(shù)學(xué)研究姐军，這里也只能依個(gè)人的體會來發(fā)揮铁材。局限是難免的尖淘。
第二是對外比較。雖說數(shù)學(xué)與科技寫作不同著觉，然而理論物理學(xué)和計(jì)算機(jī)科學(xué)的學(xué)科文化和數(shù)學(xué)比較貼近村生，表現(xiàn)在寫作上，同屬于自由而富于彈性的一類饼丘，我們之后也會適時(shí)引用他們的看法趁桃。
本講不探討科技寫作或曰學(xué)科寫作的一般原理。各位如有意深入肄鸽，網(wǎng)上有不少資源镇辉，英文方面較著名的網(wǎng)站有：
哈佛大學(xué)寫作中心 http://writingcenter.fas.harvard.edu
普度大學(xué)線上寫作實(shí)驗(yàn)室 https://owl.english.purdue.edu
關(guān)于我們的題目，還必須強(qiáng)調(diào)一點(diǎn)：數(shù)學(xué)寫作≠數(shù)學(xué)的英文寫作
對于后者贴捡，大家應(yīng)該知道不少書籍忽肛，例如湯濤和丁玖老師的《數(shù)學(xué)之英文寫作》便十分出色，但篇幅也長烂斋。倘若各位需要一本即查即用的小冊子屹逛，這里推薦
Trzeciak 的 Writing Mathematical Papers in English （歐洲數(shù)學(xué)學(xué)會出版），全書僅 7汛骂、80 頁左右罕模，不外是列出各種句型，毫無廢話帘瞭。另有一本著名計(jì)算機(jī)科學(xué)家 Knuth寫的 Mathematical Writing淑掌，網(wǎng)上有全文。這是一本極有趣的小冊子蝶念，本講也借鑒不少抛腕，但原作者寫到后面就跑題了。關(guān)于英文寫作的常用句型和字句鍛煉媒殉，上述書籍都是不錯(cuò)的參考担敌。
為什么說數(shù)學(xué)寫作不等于數(shù)學(xué)的英文寫作呢？
數(shù)學(xué)寫作僅需要基本的英文能力廷蓉。當(dāng)然這不是說不懂英文也無妨全封，但相信語言對于在座諸位都不是大問題。舉例來說桃犬，大家如讀過日本數(shù)學(xué)家的文章刹悴， 特別是那些常年在日本本土工作的，會發(fā)現(xiàn)他們盡管英文文法精準(zhǔn)攒暇，下筆卻毫無“表情”可言土匀；我們不提倡這種文風(fēng)，但要注意到這并不妨礙日本人發(fā) 表高質(zhì)量的工作扯饶。
過度雕飾適得其反恒削。曹丕《典論?論文》謂“文以氣為主”池颈。精雕細(xì)琢過了度便顯做作，何況雕飾時(shí)很難顧及全局钓丰。譬如有些人的論文前言請人捉刀躯砰，
但證明部分只能自己寫；有時(shí)見到這種文章携丁，仿佛看到一個(gè)人化妝只化了半 邊臉琢歇，極不協(xié)調(diào)，還不如不化妝梦鉴。我建議大家如有意在數(shù)學(xué)寫作方面下工夫李茫， 應(yīng)該全面精進(jìn)自身的數(shù)學(xué)修養(yǎng)、文字修養(yǎng)肥橙。
話雖如此魄宏，相信未來各位發(fā)表論文還是依靠英文為主，所以以下也以英文寫作為例存筏，然而寫作的基本原理是共通的宠互。論文寫作的要點(diǎn)不在語言關(guān)，個(gè)人認(rèn)為：國人論文文句之混亂椭坚，主要源于觀念混亂予跌。
我們接著從正面考察寫作方法。劉勰的《文心雕龍?知音》有這么一段話：“操千曲而后曉聲善茎，觀千劍而后識器券册。”書里談的是為文之道垂涯，若我們大膽地引申到數(shù)學(xué)寫作上烁焙，不妨再細(xì)分為兩層，一是廣泛閱讀集币，亦即“觀劍”考阱；二是親身的寫作實(shí)踐，亦即“操曲”鞠苟。相信各位在研究生階段的學(xué)習(xí)中，對兩方面都已經(jīng)有相當(dāng)充分的練習(xí)秽之。所以對研究生專門地談數(shù)學(xué)寫作是一件頗吊詭的事情当娱，相當(dāng)于教魚游泳。在信息通暢的今日考榨，何以大量的閱讀及寫作仍不能有效提升寫作水平跨细？在此粗列出三個(gè)觀點(diǎn)，供各位指正：
失卻初心河质，錯(cuò)認(rèn)根柢：一些人在圈子里消磨日久冀惭，談起引用數(shù)量震叙、雜志分區(qū)、影響因子以及種種學(xué)界花邊新聞可謂如數(shù)家珍散休，而對數(shù)學(xué)工作者的本務(wù)反倒棄之如敝履媒楼，則寫出低劣作品也算是求仁得仁了。
風(fēng)氣所染戚丸，無意求工：粗制濫造划址、得過且過的毛病并非數(shù)學(xué)界獨(dú)有，追求完美者反倒被目為異數(shù)限府。各位身為未來的科研主力夺颤，應(yīng)該明白工作的品質(zhì)是我們追求的基本價(jià)值，絕不是拿來討價(jià)還價(jià)的籌碼胁勺。
陳規(guī)陋俗世澜，師徒相因：榜樣的力量是無窮的，包括壞榜樣署穗。種種陳規(guī)陋俗既體現(xiàn)在寫作的模式中寥裂，其氣味也不免滲入寫作成品。沉悶因循被動(dòng)的氛圍一定程度上是師生共同營造的結(jié)果蛇捌，破舊立新需要一定的膽識抚恒。
相應(yīng)地，我們將從原理络拌、細(xì)節(jié)和例子來闡述數(shù)學(xué)寫作的方法俭驮，并探討排版與報(bào)告時(shí)的一些要點(diǎn)。
二春贸、原道
不妨把寫作之道概括為一個(gè)中心混萝、兩個(gè)基本點(diǎn)。一個(gè)中心：寫作的目的是交流思想萍恕。
再顯然不過逸嘀，寫作的宗旨是數(shù)學(xué)思想的傳遞與交流，而不是讓文章出現(xiàn)在某本SCI 期刊上允粤≌柑龋或許有人暗笑我陳義過高，畢竟發(fā)表 SCI 文章是現(xiàn)實(shí)的要求类垫；但同樣現(xiàn)實(shí)的是：如果這個(gè)中心抓不牢司光，文章恐怕很難找到好歸宿。
兩個(gè)基本點(diǎn)：
體貼：簡言之悉患，體貼就是為讀者著想残家，設(shè)身處地揣摩該如何寫作，如此的作品自然具有一種“人情味”售躁。關(guān)于溝通和體貼的重要坞淮，在國內(nèi)外許多談數(shù)學(xué)寫作 的文章中都有言及茴晋；對于國內(nèi)同學(xué)們，我更希望強(qiáng)調(diào)以下第二個(gè)基本點(diǎn)回窘。
自信：寫作前先自問能否道人所不能道诺擅。《文心雕龍?神思》描述作者從構(gòu)思到篇成的心路歷程毫玖，其中動(dòng)筆前的自信近乎狂妄：“我才之多少掀虎，將與風(fēng)云而
并驅(qū)矣「斗悖”這種高揚(yáng)的自信對寫作其實(shí)大有益處烹玉。而原文接著就說當(dāng)作品寫成， 作者的氣焰隨之折去大半阐滩，這其實(shí)也是寫作中的自然體驗(yàn)二打。綜觀《文心雕龍》
全書，“神思”一篇或許是文采飛揚(yáng)之最掂榔，劉勰將身為文人的欣喜與挫折全部寓于篇中继效；盡管他談的是詩、賦之類文體装获，我認(rèn)為書中許多看法也適用于其它寫作瑞信，包括數(shù)學(xué)聂渊。
自信至少體現(xiàn)于兩方面欢顷，一是“氣魄”，二是“責(zé)任”呀闻。何謂氣魄精肃？我們已說到寫作的目的是交流思想秤涩。正常情形下，數(shù)學(xué)家有了發(fā)現(xiàn)司抱，繼而透過文章與同行商榷筐眷，一切順理成章，不必言氣魄而氣魄自在其中习柠。然而有些人自己研究做不好也罷匀谣，還向別人灌輸失敗主義；須知精神勝利法能否勝利固有疑問资溃，精神失敗法引向失敗則是毫無懸念的振定。我在這里談氣魄的目的之一在于提醒各位，應(yīng)該堅(jiān)決同這種不戰(zhàn)先降的失敗主義作斗爭肉拓。
何謂責(zé)任？如前所述梳庆，有人寫文章只為發(fā)表暖途，由于缺乏自信卑惜，他們從不覺得自己有何本領(lǐng)可授人，相應(yīng)地也不負(fù)文責(zé)驻售，于是乎率爾操觚露久。舉例明之，在我們這一行欺栗，有很多結(jié)果乍看稀松平常毫痕，但大家不得不用。前人寫文章如果漫不經(jīng)心迟几，文
章就此沉入故紙堆里也罷消请，萬一這些結(jié)果有點(diǎn)用呢？那么后人或者重新證明之类腮， 這種工作實(shí)在是吃力不討好臊泰；或者后人引用，但得費(fèi)心讀懂并將結(jié)果翻譯成合用的形式蚜枢，而往后的讀者還得再讀原來那篇坑坑洼洼的論文缸逃，那可真是被釘在歷史的恥辱柱上了，別人讀一次罵一次厂抽。這種例子并不少見需频。
抽象原則且說到這，下面談?wù)劸唧w的操作筷凤。
三昭殉、辨體
此所謂“體”，包括文體嵌施、風(fēng)格饲化、結(jié)構(gòu)等面向。
數(shù)學(xué)寫作的形態(tài)眾多吗伤，略舉數(shù)端吃靠，則有期刊論文、預(yù)印本足淆、博士論文巢块、綜述、專著巧号、教材族奢、投影片等。劃界本是為了分類方便丹鸿，但人的思維卻常常反過來受制于界限越走。其實(shí)上述類型往往是同一篇文章中的不同要素，調(diào)配比例不同罷了。譬如
稍長的期刊論文既要包含新結(jié)果廊敌，又具有相當(dāng)?shù)木C述性質(zhì)铜跑，而專著常可兼作教材骡澈。我們重在會通锅纺，不在辨異。
相信各位在學(xué)習(xí)過程中已經(jīng)體會過肋殴，讀一篇好論文往往比讀課本能更快進(jìn)入一個(gè)研究領(lǐng)域的核心囤锉。這里教大家的不是怎么讀文獻(xiàn)，而是一件更偉大的事护锤，就是怎
么寫出好文獻(xiàn)讓人獲益官地。上述類型的論文之所以能優(yōu)于課本，便是緣于其中成果蔽豺、綜述区丑、教材三要素的調(diào)和。
隨著技術(shù)的發(fā)展修陡，數(shù)學(xué)“文體”的形態(tài)還在不斷增加沧侥，例如報(bào)告視頻、百科條目魄鸦、 博文宴杀、論壇帖子等等；作為廣義的數(shù)學(xué)寫作拾因，其間原理相通旺罢。以常見的投影片而
論，過去投影片在國外往往只是報(bào)告的輔助绢记，而現(xiàn)在許多機(jī)構(gòu)或個(gè)人將投影片放上網(wǎng)供人自由下載研讀扁达，于是投影片遂獨(dú)立于報(bào)告本身，功能和體裁都逐漸與講義重疊蠢熄。另一方面跪解，投影片（主要是 Beamer 和Power Point）在中國很早就承擔(dān)了課件功能，關(guān)于此法的利弊签孔，我們最后還會討論叉讥。
接著談?wù)勶L(fēng)格與內(nèi)容的聯(lián)系。以下表格純屬個(gè)人見解饥追，很可能經(jīng)不起推敲图仓。
| 長文 | 短文 | |
|---|---|---|
| 偏技術(shù) | 精密 | 直接 |
| 偏概念 | 和緩 | 痛快 |
我個(gè)人一直夢想能寫出右下角那種論文，但寫著寫著總是向左上漂移但绕，這還是在寫得好的情形下救崔。表格中“短文”一列和“概念”一行相信大家容易接受，但是對左上角或許有些異議：一篇技術(shù)性文章既長又精密，還讓人怎么讀帚豪？癥結(jié)在于技術(shù)性長文其本質(zhì)上就是難讀的碳竟，不該讓讀者有不切實(shí)際的期待；相反狸臣，作者應(yīng)該在這類文章中加入足夠多的交叉參照、索引和圖表一類的指引昌执，使得讀者踏入概念叢林時(shí)能有好的裝備烛亦、好的向?qū)А＿@是所謂精密的含義懂拾。
至于風(fēng)格的具體例子煤禽，學(xué)識所限，我只能舉基礎(chǔ)數(shù)學(xué)為例岖赋。學(xué)代數(shù)幾何或數(shù)論的都知道一位數(shù)學(xué)家叫 Jean-Pierre Serre檬果，他的寫作風(fēng)格在業(yè)內(nèi)被尊為典范；寫數(shù)學(xué)分析的 Walter Rudin 大家應(yīng)該也不陌生唐断，兩者都可以歸入“精準(zhǔn)”一類选脊，而精準(zhǔn)對初學(xué)者常常與“冷峻”同義。相對地脸甘，另有一位數(shù)學(xué)家叫David A. Cox恳啥，他寫過些Galois 理論和環(huán)面簇的課本，風(fēng)格屬于和煦丹诀、親切一路钝的，但一些讀者可能嫌他嘮叨。這兩類風(fēng)格難辨優(yōu)劣铆遭。希望大家在選擇時(shí)能結(jié)合自身長處硝桩，并堅(jiān)持與內(nèi)容相聯(lián)系。
一方水土養(yǎng)一方人枚荣，數(shù)學(xué)寫作的風(fēng)格也是殊方異俗碗脊。所謂的國外文章，其內(nèi)部風(fēng)格實(shí)則差異巨大棍弄，不可一概而論望薄。略舉數(shù)端如下：
日本：詳盡、單調(diào)
美國：流暢呼畸、張揚(yáng)
英國：流暢痕支、節(jié)制
德國：精準(zhǔn)、節(jié)制
法國：精準(zhǔn)蛮原、明快
這些形容詞都出于本人直接感受卧须，只能請各位模糊地理解。日本風(fēng)格之前已經(jīng)談過。美國風(fēng)格往好處說是易讀花嘶，而往壞處說就是吹牛笋籽；比如有些論文讀其導(dǎo)言令
人嘆服，通篇讀完便覺得不過爾爾椭员。相較之下车海，我認(rèn)為英國數(shù)學(xué)家的文章更怡人， 其中既有風(fēng)格的因素隘击，也有語文修養(yǎng)的因素侍芝。
德國、法國的文章總體上都偏重精確埋同。所謂節(jié)制州叠、明快等，倒也不盡然凶赁，我一時(shí)沒有更合適的形容詞咧栗。通觀之，我以為歐洲風(fēng)格更值得取法虱肄。至于俄國或前蘇聯(lián)則又自成一家致板，在此存而不論。
數(shù)學(xué)寫作的體裁和風(fēng)格萬殊浩峡，現(xiàn)在我們看些極端的例子可岂。首先是數(shù)論界稍有名氣的一篇論文：
此文目的是證明 Fermat 的定理：任何模 4 余 1 的素?cái)?shù)皆可表成兩個(gè)平方數(shù)的和。顧題思義翰灾，此文主體僅有一句話缕粹，后面都是關(guān)于文獻(xiàn)的注記。同樣風(fēng)格的短文還不少纸淮，此處只舉一例平斩。
第二個(gè)例子：
這位 Frederick J. Almgren 是一位研究極小曲面的數(shù)學(xué)家，原來這份手稿據(jù)說有1700 頁咽块，電腦重新排版后壓縮到 900 余頁绘面，仍稱“paper”。兩者都是極端形式侈沪。走極端未嘗不可揭璃，重點(diǎn)在于符應(yīng)內(nèi)容的要求。請留意亭罪，這并不是說文章體裁無可無不可瘦馍，那就無從措手了。大家寫作時(shí)若對文章的形制有所疑慮应役，一般以采取詳盡情组、友善的風(fēng)格最為穩(wěn)妥燥筷，這就相當(dāng)于上面所說的和煦、親切一路院崇。
至于文章結(jié)構(gòu)肆氓，數(shù)學(xué)思維未必是直線的，不幸的是由于書面語言的限制底瓣，數(shù)學(xué)寫作只能鑲嵌在直線的結(jié)構(gòu)里谢揪。對于稍具規(guī)模，大約 15濒持、20 頁以上的文章键耕，比較保險(xiǎn)的安排是：
- 摘要
- 目錄
- 導(dǎo)言
- 符號
- 主干部分
- 參考文獻(xiàn)
- 附錄、索引等
如果文章少于 10 頁就不必這么多儀式柑营，直接干活即可；某些短文甚至連摘要都不必村视。而書籍等更長的文體還需要其它構(gòu)件官套，這里不深入討論。下面我們先討論摘要蚁孔、導(dǎo)言等輔助構(gòu)件的寫作要領(lǐng)奶赔，主干部分的寫法留待稍后討論。
關(guān)于摘要：“重在達(dá)意杠氢，精煉為宗”站刑。摘要里應(yīng)該盡量節(jié)制公式與數(shù)學(xué)的使用，而且一般不許在摘要里引用其它文章鼻百。
目錄可以由 LaTeX 等軟件自動(dòng)生成绞旅，唯一要操心的是目錄深度的設(shè)定，這里不必深究温艇。
導(dǎo)言可說是一篇論文的靈魂因悲，恐怕也是最難寫的，它決定讀者對文章的總體觀感勺爱。我個(gè)人認(rèn)為導(dǎo)言寫作有下述要點(diǎn)：
標(biāo)定受眾的背景知識晃琳，防低估，更防高估琐鲁。為何要防高估卫旱？這是中國學(xué)生的通病。各位寫文章首先要有自信围段，就你自己這篇文章涉及的內(nèi)容而言顾翼，你就是世界第一的專家，別虛張聲勢或畏畏縮縮蒜撮；相應(yīng)地暴构，身為一位專家也必須多些耐心祝拯，多做點(diǎn)解釋抱冷，不宜假設(shè)讀者什么都懂。
鋪墊精簡。中國學(xué)者有個(gè)普遍習(xí)慣剑梳，劈頭就強(qiáng)調(diào)“我做的這個(gè)問題如何如何重要……”，我本人有時(shí)也不免俗宣渗；這類鋪墊必須掌握一個(gè)度嘶是。另一個(gè)問題偶見于文章，但在講座中更普遍晴埂，就是言必稱歐高黎嘉陳等等究反；再往大處說，是著迷于數(shù)學(xué)家的各種帽子儒洛，如院士精耐、會士、菲爾茲獎(jiǎng)得主等等琅锻。這都是毫無必要的卦停。
簡述淵源與精神，不必強(qiáng)求精確恼蓬。這里謹(jǐn)引用一位杰出的計(jì)算機(jī)科學(xué)家惊完、數(shù)學(xué)家兼段子手 Donald Knuth 的話，他同時(shí)也是 TeX 程序的發(fā)明者处硬；Knuth 的 The TeXbook 這本書既是 TeX 的源碼小槐，又是它的操作手冊，他在前言里這么說： “Another noteworthy characteristic of this manual is that it doesn't always tell the truth.”有些國人有某種潔癖荷辕，見到這種說法簡直要跳起來—寫數(shù)學(xué)怎能不精確呢凿跳？其實(shí)一些理論作為第一眼印象寫得太精確反構(gòu)成窒礙，甚至在一些情形下桐腌，特意寫得有點(diǎn)錯(cuò)才好拄显。我推薦大家翻翻 The TeXbook 這本書，至少讀他的前言案站。
文獻(xiàn)綜述的重點(diǎn)在于摘錄要旨躬审，不在于按號點(diǎn)名。根本目的是讓讀者曉得什么人做了什么事蟆盐。
導(dǎo)言的必要任務(wù)之一是勾勒文章結(jié)構(gòu)承边，一般采取逐章節(jié)簡介的方式。對于較長石挂、較復(fù)雜的論文或書籍博助，宜圖示各章節(jié)或主要結(jié)果之間的邏輯聯(lián)系，使人一目了 然痹愚。實(shí)踐中愿意繪圖的作者不多富岳，或是因?yàn)榍啡奔夹g(shù)蛔糯？
所謂符號列表，意指在論文開頭集中列出用到的符號和假設(shè)等窖式，對讀者和作者雙方都有好處蚁飒。制作符號列表倒不必特別的技術(shù)，不外乎花點(diǎn)時(shí)間萝喘、占點(diǎn)版面淮逻。我發(fā)覺中國人似乎在某些方面喜歡節(jié)約紙張？在制作符號列表這種事情上阁簸，大概沒必要講求環(huán)保爬早。
譬如上頭這篇文章（Finis, Lapid. Müller, 2011 年），它的符號一項(xiàng)項(xiàng)地列启妹，列了近三頁筛严，其實(shí)它之后仍在講解符號，另辟一節(jié)罷了饶米。這種辦法值得大家學(xué)習(xí)脑漫。試想這么多復(fù)雜的符號，倘若改成在行文時(shí)隨標(biāo)隨用咙崎，讀者恐怕會讀暈，作者寫著也是暈了吨拍。
制作參考文獻(xiàn)非但要緊褪猛，而且特別費(fèi)力。網(wǎng)上流傳各式各樣所謂的秘訣羹饰，其實(shí)科學(xué)院和各大高校都有購買數(shù)據(jù)庫伊滋，直接下載是最省時(shí)的。如何下載呢队秩？首先笑旺，我建議各位無論引用多少文獻(xiàn)，都使用 BibTeX 管理并自動(dòng)生成馍资，各位在網(wǎng)上或相關(guān)書籍里都能找到教程筒主。其次，對于數(shù)學(xué)論文鸟蟹，獲取正規(guī)乌妙、完整的文獻(xiàn)信息的渠道一是德國的 zbMATH，二是美國數(shù)學(xué)學(xué)會的 MathSciNet建钥；兩者都能匯出 BibTeX 格式藤韵，可以直接復(fù)制貼上。據(jù)個(gè)人經(jīng)驗(yàn)熊经，正常網(wǎng)速下獲取一篇論文的信息耗時(shí)不超過半分鐘泽艘。手工編輯一則耗時(shí)長欲险，二則很難像 zbMATH 或MathSciNet 那么規(guī)范； 后兩者出錯(cuò)的情形是很少的匹涮。偶爾我們也必須引用預(yù)印本或私人通信等天试，不得不手工錄入，因此上述辦法并不是萬靈丹焕盟。
經(jīng)常被忽略的是“索引”的角色秋秤。很多人認(rèn)為書籍才需要索引，這種流行看法完全錯(cuò)誤脚翘。我忘記在哪讀過一句話：“凡是 50 頁以上的文章都應(yīng)該有索引灼卢。”各位
不妨證諸個(gè)人體驗(yàn)：由于記憶的局限来农，閱讀 50 頁以上的論文時(shí)很容易顧此失彼鞋真， 特別是符號部分。其實(shí)即便是近百頁的長文也鮮有附索引者沃于，這表明數(shù)學(xué)界對索引的功能雖有體認(rèn)涩咖，但是期刊或?qū)徃迦似毡椴蛔饕螅撐淖髡咭矡o此習(xí)慣繁莹。這里期望各位寫作時(shí)要堅(jiān)持對讀者有益的原則檩互，而不是隨著大流浮浮沉沉。
在 LaTeX 下制作索引的標(biāo)準(zhǔn)方法是使用 MakeIndex 或xindy 這些程序咨演；這些程序的使用文件很容易獲取闸昨，用法也極簡單，細(xì)講 LaTeX 的操作恐怕岔題薄风，這里點(diǎn)到為止饵较。我個(gè)人經(jīng)驗(yàn)是為一篇 80 頁的論文制作索引，需時(shí)不過二十分鐘左右遭赂，前提是自己對文章內(nèi)容還有新鮮的印象循诉；區(qū)區(qū)二十分鐘工夫，對閱讀體驗(yàn)卻有巨大的影響撇他！
上面引用的這本厚書 The LaTeX Companion茄猫，共 1090 頁，索引長而復(fù)雜逆粹。各位可看到每個(gè)條目都出現(xiàn)多次募疮，頁碼的顏色和字體各有變化，代表它們在正文里出現(xiàn)時(shí)的不同角色僻弹。書籍索引實(shí)際上是一門博大精深的技藝阿浓。
四、析用
現(xiàn)在進(jìn)入文章主干部分蹋绽，即論述和證明的鋪陳芭毙。首要原則是解釋文章的“動(dòng)機(jī)”筋蓖，在展開論證前盡量提示問題的背景和想法；這是數(shù)學(xué)寫作的特殊要求退敦，但也得斟
酌文章性質(zhì)和論證本身的長度粘咖，畢竟冗長的評注總不如一個(gè)透徹的證明。若不確定需不需要這套工序侈百，那么按照前述的友善原則瓮下，還是仔細(xì)說明動(dòng)機(jī)為佳。
第二條原則是控制“節(jié)奏”钝域，指的是所謂文氣讽坏。從反面考察，我認(rèn)為中國學(xué)生在節(jié)奏上兼有拖沓與急促兩種毛病例证。這里所謂的拖沓還包括重復(fù)路呜，亦即同一句型屢屢重出，如通篇都是 thus… so 等等织咧。難怪許多寫作教程的重點(diǎn)在教人怎么簡省文
句胀葱；其實(shí)除非文章超過 60 頁，一般無須特地改短笙蒙。事實(shí)上這里得留意另一個(gè)陷阱： 數(shù)學(xué)寫作的根本價(jià)值在于易讀易懂抵屿，而非簡省字句，后者是為前者服務(wù)的捅位。很多時(shí)候甚且必須在過渡處插入虛詞晌该、虛句，以增加流暢度绿渣。一句話累贅與否系于全局；根本標(biāo)準(zhǔn)在于讀者的閱讀體驗(yàn)燕耿。
相較之下中符，急促恐怕是更深入骨髓的毛病，主要表現(xiàn)為短促誉帅、結(jié)巴淀散、擁擠；重復(fù)問題在此亦有體現(xiàn)蚜锨。急促不僅表現(xiàn)在文句上档插，還表現(xiàn)于數(shù)學(xué)公式，例如濫用行內(nèi)公式就是一個(gè)很常見的毛病亚再。顯示公式雖然多占一行郭膛，然而對讀者更舒緩，編排時(shí)也更能游刃有余氛悬。局促的公式加上局促的語句造成局促的節(jié)奏则剃，繼而是難受的閱讀體驗(yàn)耘柱。
附帶一提，不少人不只文氣局促棍现，口頭報(bào)告時(shí)也有同樣毛病调煎，兩種現(xiàn)象興許是同源的。
第三個(gè)要點(diǎn)是關(guān)于引用己肮。不少人習(xí)慣于極簡作風(fēng)士袄，譬如我行文中需用到某個(gè)性質(zhì)， 就寫個(gè)“[3]” 引用某文獻(xiàn)谎僻，那么問題來了：除非文獻(xiàn) [3] 很短娄柳，或者 [3] 的宗旨即所引結(jié)果（例如吳寶珠證明“基本引理”，全文 269 頁）戈稿，否則讀者極難萃取有效信息西土。設(shè)想讀者上網(wǎng)或到圖書館翻出文獻(xiàn) [3]，結(jié)果發(fā)現(xiàn)它有 300 頁……鞍盗。各位有沒有這種經(jīng)驗(yàn)?zāi)兀?/p>
正確做法是引用時(shí)盡量給出所引的定理編號或頁碼需了，文獻(xiàn)綜述除外；譬如寫 [3,Theorem 6.5.4] 或[3, p.129]般甲。如果各位確切了解自己引的是什么肋乍，那么這些僅是舉手之勞。這里順便提另一種毛病敷存，我稱之為“假引用”墓造，意謂虛晃一槍，所引非所需锚烦。且說個(gè)親身經(jīng)驗(yàn)：我審過某篇文章里用了一個(gè)上同調(diào)的性質(zhì)觅闽，說：請看某論文的第幾個(gè)定理。一般審稿人多不深究涮俄，但碰巧我還真讀過那篇論文蛉拙，其中對該性質(zhì)的說法是“well known”—確乎如此，他自己也寫個(gè) well known 了事便罷彻亲， 又何必引用呢孕锄？我確信作者讀過引文，那么他明白這個(gè)性質(zhì)眾所周知苞尝，但非得借大牛之筆來背書畸肆。這種心態(tài)頗堪玩味。
第四個(gè)重點(diǎn)宙址，興許也是最緊要的一點(diǎn)轴脐，是善用“交叉參照”。各位必須意識到一 個(gè)基本矛盾：讀者的精力和注意力有限，而論文則是環(huán)環(huán)相扣豁辉、經(jīng)緯萬端的令野。大家都明白自己作為讀者的局限，而對于面貌模糊的大牛們往往有不切實(shí)際的想象徽级， 認(rèn)為他們能三兩下收拾掉一篇論文气破。在此正告諸君：放棄幻想！多數(shù)情況下讀者的時(shí)間都是零碎的餐抢。因此现使，我們需要一些技巧以來幫助讀者。狹義的交叉參照指的是引用文章其它地方的定義旷痕、定理等碳锈，這也可以說是定義、定理之所以需要編號的原因欺抗；至于說廣義的交叉參照售碳，其實(shí)小說、電影乃至于評書里的敘事技巧在此大有用處绞呈，我僅講三點(diǎn)：
伏筆：提示所證結(jié)果在全文中的地位贸人、用處，及其和其它結(jié)果的聯(lián)系等佃声。
閃回：常見于電影藝術(shù)艺智；相對于伏筆，其作用是前情提要圾亏，或回顧稍早的理論框架和已證結(jié)果等十拣。
直入正題（in medias res）：在導(dǎo)言部分即勾勒文章的核心要旨，例如主定理的某些重要推論等志鹃，而省去種種鋪墊夭问。當(dāng)然，這樣的預(yù)覽必然要犧牲精確性作為代價(jià)曹铃。
我們說過數(shù)學(xué)論文的結(jié)構(gòu)是直線的甲喝。透過交叉參照，我們在直線結(jié)構(gòu)中可以變些花樣，使之更易讀。既然敘事技巧通于各種文體族购，這里且再引用一句劉勰的話：
“啟行之詞旁瘫，逆萌中篇之意；絕筆之言非竿，追媵前句之旨蜕着；故能外文綺交，內(nèi)義脈 注，跗萼相銜承匣，首尾一體蓖乘。”《文心雕龍?章句》
我還希望提示一點(diǎn)：數(shù)學(xué)家在很多方面應(yīng)該向程序員學(xué)習(xí)韧骗；實(shí)際上計(jì)算機(jī)科學(xué)與數(shù)學(xué)本是一家嘉抒。軟件工程的若干原理可通于數(shù)學(xué)寫作，當(dāng)然其詞義不免稍有變化袍暴， 茲舉數(shù)例如下些侍。
模塊化設(shè)計(jì)：抽離可以反復(fù)調(diào)用的結(jié)果，并保持其間的獨(dú)立性政模；事后修改時(shí)就不必傷筋動(dòng)骨岗宣。這些模塊（或當(dāng)稱作“組件”）應(yīng)當(dāng)透過簡單、穩(wěn)定的界面來運(yùn)用淋样。
封裝：一如編程耗式，鋪陳一套理論時(shí)要注意隔離其技術(shù)或計(jì)算細(xì)節(jié)及其“界面”，后者是一套理論得以被使用的窗口趁猴。論文作者好比是制造精密儀器的工程師刊咳， 應(yīng)該讓客戶不必拆掉面板就能使用大部分的功能。
通變：何謂通變躲叼？例如在 C 語言里使用 goto芦缰，編程上一般不鼓勵(lì)這種用法。數(shù)學(xué)中對應(yīng)的情況則是引用證明枫慷，或引用后頭的結(jié)果让蕾。我們也不鼓勵(lì)在論文里搞這些伎倆，但有些結(jié)構(gòu)若不如此處理或听，就顯得十分別扭探孝， Bourbaki 的書就有類似毛病。
我們隱然將編程與寫作混同了誉裆，方才提到的段子手 Knuth 早有此說顿颅，稱之為“文學(xué)編程”：
“The practitioner of literate programming can be regarded as an essayist, whose main concern is with exposition and excellence of style. Such an author, with thesaurus in hand, chooses the names of variables carefully and explains what each variable means. He or she strives for a program that is comprehensible because its concepts have been introduced in an order that is best for human understanding, using a mixture of formal and informal methods that reinforce each other.”
D. Knuth, Literate Programming, The Computer Journal 27(2):97–111, 1984.
準(zhǔn)此，一些計(jì)算機(jī)科學(xué)家已經(jīng)意識到：程序員有如散文家足丢，程序應(yīng)當(dāng)結(jié)合形式與非形式的方法粱腻，做到“以人為本”。而我們數(shù)學(xué)工作者從來都是為了有血有肉的 人而寫作的斩跌，焉能不警醒绍些？
Knuth 甚至還說：“I look forward to the day when a Pulitzer Prize will be given for the best computer program of the year.”（D. Knuth, Mathematical Writings, §10）
假如連程序都能得普利策獎(jiǎng)，那么數(shù)學(xué)論文是否更有資格搶先一步耀鸦？我也盼望有這么一天柬批，也許拿個(gè)茅盾文學(xué)獎(jiǎng)也挺好啸澡。
關(guān)于文章主干部分，謹(jǐn)補(bǔ)充數(shù)個(gè)建議作結(jié)氮帐。
- 細(xì)選符號：對于數(shù)學(xué)寫作嗅虏，符號的選擇甚至比文句更重要，最早意識到這一點(diǎn)的先賢大概是 Leibniz上沐。他和 Newton 在歷史上有過微積分的發(fā)明權(quán)之爭皮服，現(xiàn)代人大多是偏袒 Newton 的，但實(shí)際運(yùn)算時(shí)幾乎一邊倒地采用 Leibniz 的符號奄容，例如微分的
和積分符號
冰更。與對好符號的意識并存，甚至是互補(bǔ)的是對于渣符號的意識昂勒，有個(gè)經(jīng)典例子蜀细，是數(shù)學(xué)家 Barry Mazur 有一回為了逗 Serge Lang 特地發(fā)明的：
$$
\begin{align}
Ξ\
Ξ
\end{align}
$$
其中 是一個(gè)復(fù)數(shù)，取共軛再作商戈盈；這式子如果寫在黑板上就是八條杠奠衔。
檢查韻律：Halmos 說過一句話“最好的公式是能夠念出來的公式”，這倒不是絕對準(zhǔn)則塘娶，但希望各位能仔細(xì)體會 Halmos 的意思归斤。
-
避開抄襲嫌疑：抄襲是一個(gè)嚴(yán)肅的議題，各位固然不會犯刁岸，關(guān)鍵在于避嫌脏里。舉預(yù)印本平臺arXiv 為例，它對提交的文章有一套自動(dòng)檢查機(jī)制虹曙，一旦和數(shù)據(jù)庫里它人文章的重復(fù)度越過某個(gè)門檻迫横，文章頁面上就會顯示：
arXiv
對此arXiv 網(wǎng)頁上倒有些辯解，曰這類信息純供參考云云酝碳，其實(shí)欲蓋彌彰矾踱，它干的事就是查重。中國作者出現(xiàn)重復(fù)的比率高于平均疏哗，觸發(fā)重復(fù)標(biāo)識的門檻據(jù)說是很高的呛讲，嫌疑何來？我曾嘗試分析過幾個(gè)例子返奉，有些重復(fù)可謂是善意的或不自覺的贝搁。譬如別人文章里定下公理 (A1)、(A2) 等等芽偏，如果沿用其體系雷逆，表述時(shí)有所重復(fù)也是題中之義；但有的人重述公理時(shí)逐字照抄哮针，那當(dāng)然會被辨識出大段的重復(fù)。這里并不是叫大家把 (A1)、(A2) 改成 (B1)十厢、(B2)等太；假如你確實(shí)理解原文的意思，再以自己的風(fēng)格寫下蛮放，那么越過查重門檻的概率應(yīng)該是很低的缩抡。
學(xué)習(xí)“講人話”：莫忘寫作的目的是交流思想，交流的對象和自己一樣都是人包颁；學(xué)術(shù)機(jī)構(gòu)里容易積蓄一種強(qiáng)大的無意識的慣性瞻想，造成大家往往不知如何講人話。許多老師反對學(xué)生讀閑書（指其它數(shù)學(xué)領(lǐng)域書籍）娩嚼，我的看法則正好相反：就 該多讀閑書蘑险，開拓眼界的同時(shí)學(xué)著寫富有人情味的綜述文章。茲舉美國數(shù)學(xué)學(xué) 會的兩份期刊為例岳悟，一是 Notices of the American Mathematical Society佃迄，二是Bulletin of the American Mathemtatical Society。前者 Notices 既有優(yōu)秀的綜述文章贵少， 兼有大量行政呵俏、招聘和數(shù)學(xué)教育的報(bào)道，受眾略龐雜滔灶；而 Bulletin 則以深入的綜述和書評為主普碎，我認(rèn)為是比較適合研究生學(xué)習(xí)或賞玩的，兩種期刊皆可自由下載录平。此外麻车，法國數(shù)學(xué)會的 Gazette des mathématiciens、德國數(shù)學(xué)會的 Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung 以及日本數(shù)學(xué)會/巖波書店的《數(shù)學(xué)》等都是同類刊物中的佼佼者萄涯。
五绪氛、論形
“Typography is what language looks like.”（Ellen Lupton, Thinking with Type, 2nd Ed.）
“排版是語言的樣貌±杂埃”過去談數(shù)學(xué)寫作的的文章或教程不提排版枣察，覺得那是期 刊方面的責(zé)任；甚至國內(nèi)一些主流期刊對排版也不甚上心燃逻。這是因?yàn)樵趥鹘y(tǒng)模式下序目，數(shù)學(xué)文章系以
作者→（期刊編輯、審稿人）→讀者
的方式傳遞伯襟。作者向期刊提交手稿猿涨，接受后依序由文字編輯和排版師傅處理，便成為正式的期刊論文姆怪。期刊這個(gè)中介倒也不是無法跨越叛赚，例如透過油印稿澡绩，乃至
于手抄本的傳播，但是論規(guī)模俺附、品質(zhì)或便利性肥卡，這些渠道都無法和正規(guī)期刊相比。此外事镣，即使作者自己具有一定的排版手段步鉴，也絕不可能追上專業(yè)水平。因此可以
說排版是期刊方面的事璃哟，作者只要取悅審稿人即可氛琢；許多人為此還聘請專業(yè)的打字員代勞。
形勢正在起變化随闪。隨著 LaTeX 等軟件和網(wǎng)際網(wǎng)絡(luò)的持續(xù)發(fā)展阳似，特別是預(yù)印本平臺
（如 arXiv）的建立，現(xiàn)在作者可以在自己電腦上完成文章排版蕴掏，向期刊投稿的同時(shí)兼以預(yù)印本方式在 arXiv 流通障般。從讀者角度觀之，期刊版本一般比較規(guī)范盛杰、美觀挽荡，然而單位未必有訂閱，何況預(yù)印本往往更早面世即供。是以 arXiv 已經(jīng)成為數(shù)學(xué)工作者獲取論文的重要渠道定拟。
透過預(yù)印本直接同讀者溝通，也意味排版的責(zé)任與樂趣同時(shí)落在作者肩上逗嫡。排版水平直接決定文章觀感青自。別人見到排版雜亂，便聯(lián)想到人不靠譜驱证，連帶覺得這人的文章內(nèi)容也不靠譜延窜，后果可想而知。
請容我稍稍岔題抹锄，侃幾句西方書籍排版的歷史逆瑞。在漫長的中世紀(jì)里，歐洲大陸保存下來的書籍主要是宗教用途的手抄本伙单，如1：
各位看到頁邊畫了一位僧侶获高，他一手抓著繩子，一手指著一行字吻育，而繩子尾端的頁腳還有一行文字念秧。這些插畫不消說是十分精美的。為何而畫呢布疼？其實(shí)是因?yàn)槌瓕憰r(shí)抄錯(cuò)了一行摊趾，于是插畫者添上這么一位僧侶币狠，仿佛在說：請改正，而頁腳那行才是正確的句子砾层∽苎埃可見在制作這本手抄本時(shí)，古人同時(shí)注入了宗教的虔敬梢为、高超的審美水平、以及溫潤的幽默感轰坊。
手抄本之后是鉛字排版的興起铸董，這套技術(shù)一直沿用到二十世紀(jì)后期，才逐漸被數(shù)字排版取代肴沫。這里舉一本二十世紀(jì)初的名著粟害，Watson 和Whittaker 的 A Course in Modern Analysis 為例2。
鉛字排印的書籍帶有一種特殊的質(zhì)感颤芬，用現(xiàn)在流行的話講叫“溫度”悲幅，屬于逝去的靜好舊時(shí)光，一經(jīng)掃描就失去味道站蝠。請大家仔細(xì)品味它與數(shù)字排版的差異汰具。
下面這幅照片3是鉛字排版全套家當(dāng)?shù)囊徊糠郑鹤謳欤袼庝伆阌幸桓褚桓竦男〕?/p>
屜菱魔，擺放鑄好的鉛字留荔。英文里管大寫叫做“upper case”，小寫叫做“l(fā)ower case”澜倦，其實(shí)就緣于排版的古老實(shí)踐聚蝶，大小寫字母分別放置在上下層抽屜之故。時(shí)至今日藻治， 許多專業(yè)排版術(shù)語都還帶著鉛字時(shí)代的印記碘勉，如 kerning（字間減位）等等。
進(jìn)入數(shù)字排版普及的時(shí)代桩卵，全套工作都可以在家用電腦上完成验靡。對于數(shù)學(xué)工作者， 主流軟件無非是 LaTeX 或ConTeXt 等系統(tǒng)吸占。然而在整個(gè)五十到八十年代間晴叨，有大量的數(shù)學(xué)文獻(xiàn)既不是正式的鉛字排版，更不是數(shù)字排版矾屯，而是出自一種偉大但業(yè)
已過時(shí)的發(fā)明：打字機(jī)兼蕊。
打字機(jī)（1981）對決 LaTeX（2014）
各位或許要嘀咕：打字機(jī)跟 LaTeX 有什么好對決的，不是高下立判嗎件蚕？你看上邊打字機(jī)的等距字體那么丑孙技，有些打字機(jī)沒有的數(shù)學(xué)字體得靠手寫产禾，連那些橫杠也是手繪的，尺還沒拿穩(wěn)呢牵啦。但是請各位再仔細(xì)看看亚情，上圖的文章排版其實(shí)非常講究，比如公式的縮進(jìn)哈雏、符號之間的空格等等楞件，字體單調(diào)卻相當(dāng)耐讀，可謂在打字機(jī)的技術(shù)限制下發(fā)揮得淋漓盡致裳瘪。反觀下邊這篇 2014 年arXiv 上的文章土浸，乍看還湊合，TeX 自帶的 Computer Modern 字體也堪稱美觀彭羹，但是編排毫無節(jié)奏黄伊，簡直糟透了！
從優(yōu)美的手抄本到鉛字排版派殷，再到打字機(jī)乃至于 LaTeX还最，我的表述似乎暗示著歷史就是一部從高妙向平庸退化的序列，這一則是因?yàn)槲胰悠H毡惜，再者拓轻，一個(gè)人
是否與時(shí)代同進(jìn)退，歸根結(jié)底還是以他自身的排版修養(yǎng)為最終防線经伙。不妨這么說： 排版在過去是屬于一小撮專業(yè)人士的工作悦即，現(xiàn)在則隨著生產(chǎn)力發(fā)展而擴(kuò)及大眾，
趨勢不可避免橱乱。是故隨著排版手段進(jìn)入千家萬戶辜梳，這是一個(gè)最好的時(shí)代，也是一個(gè)最壞的時(shí)代泳叠。
各位若對論文排版的種種瑣碎規(guī)矩有疑問作瞄，終極的參考書是 The Chicago Manual of Style：
此書搜羅大量的論文排版準(zhǔn)則，不細(xì)述危纫。以下僅點(diǎn)評國人在數(shù)學(xué)排版上最常見的幾個(gè)缺陷：
數(shù)學(xué)公式的括號高度不足宗挥。
符號忌置句首；必要時(shí)可插入贅詞來避免种蝶。
慎用下劃線：使用下劃線是在打字機(jī)和黑板上的無奈之舉契耿，如果條件許可，盡量利用字體本身的變化來突出重點(diǎn)螃征，如粗體搪桂、意大利斜體、無襯線字體和小型大寫字母等找都。
使用 LaTeX 等軟件排版是一項(xiàng)復(fù)雜的系統(tǒng)工程鳍悠，至少需要一門短期課程來討論， 此處謹(jǐn)以幾條泛泛之論作結(jié)典徊。
養(yǎng)成良好的代碼習(xí)慣内列，使用縮排撵术、注解等技巧；這和編程并無二致话瞧。
選擇合宜的編寫環(huán)境嫩与，如WinEdt、TeXmaker交排、TeXstudio蕴纳、vim、Emacs 等个粱。
使用自動(dòng)拼字檢查。
廣識宏包翻翩。在 CTAN 網(wǎng)站上有齊全的 TeX 宏包目錄都许，其數(shù)量之多、功能之雜嫂冻， 遠(yuǎn)超一般使用者的想象胶征。
慎選模板。網(wǎng)上很多履歷桨仿、研究計(jì)劃等各種用途的 LaTeX 模板睛低。重點(diǎn)在于“慎選”。有些模板不夠皮實(shí)服傍，比方說原來用 12 點(diǎn)字看著挺漂亮钱雷，一旦換成10 點(diǎn)或多打了幾個(gè)字就亂套；按理說編寫 LaTeX 文檔時(shí)只需要照顧文章的結(jié)構(gòu)吹零，外觀當(dāng)由模板作者來操心罩抗，因此這反映出原作者設(shè)計(jì)時(shí)考慮不周。希望大家下載模板時(shí)盡量選擇來路可靠灿椅、文件周詳者套蒂。
熟習(xí) LaTeX 上繪圖、制表的相關(guān)技術(shù)茫蛹。這方面的宏包選擇極多操刀，我個(gè)人特別推薦 TikZ 宏包。
拒絕急就章婴洼。這里主要指網(wǎng)上《N分鐘學(xué)會XXX》之類的攻略骨坑；這么復(fù)雜的系統(tǒng)，哪有花幾個(gè)小時(shí)就能玩轉(zhuǎn)的道理柬采？我們教師或研究人員有無窮無盡的臨時(shí)交辦事項(xiàng)卡啰，往往得在短短兩三天內(nèi)交出一份計(jì)劃静稻、簡報(bào)或推薦信，求助于急就章也是不得不為匈辱。然而諸位大多還是學(xué)生振湾，應(yīng)該抓緊這段寶貴時(shí)光，從基礎(chǔ)學(xué)好數(shù)學(xué)排版軟件及各種宏包的用法亡脸。
多方交流押搪。主要信息源是相關(guān)的網(wǎng)絡(luò)論壇，如 TeX-LaTeX StackExchange浅碾，這些專業(yè)論壇至今保持著良好的討論風(fēng)氣大州，也沒沾染營銷。此外垂谢，很多人不曉得在arXiv 也能下載預(yù)印本源碼厦画，其中大多數(shù)其實(shí)是反面教材。
歸根結(jié)底滥朱，精進(jìn)排版修養(yǎng)的關(guān)鍵在于四個(gè)字：樂在排版根暑。
精進(jìn)也蘊(yùn)含了一定程度的辛勞。19 世紀(jì)美國小說家 Nathaniel Hawthorne 說過：
“Easy reading is damn hard writing.”
旨哉斯言徙邻。
六排嫌、補(bǔ)遺
我們的主旨固然是數(shù)學(xué)寫作，然而之前已經(jīng)反復(fù)強(qiáng)調(diào)過缰犁，論文應(yīng)該作為眾多敘事方式的一員來考察淳地。口頭報(bào)告是數(shù)學(xué)工作者的另一種敘事手段帅容，與論文互補(bǔ)颇象。如同論文的情形，我認(rèn)為學(xué)生對口頭報(bào)告的原理普遍存在誤區(qū)并徘，故在此就報(bào)告的一般要領(lǐng)略作些補(bǔ)充夯到。
確定受眾。與寫作同理饮亏，主要是防止高估聽眾的背景知識耍贾。同學(xué)們應(yīng)該有這種經(jīng)驗(yàn)：導(dǎo)師叫你去聽一場報(bào)告，結(jié)果啥也聽不懂路幸，只能坐在下頭死撐荐开。這種情況究竟是聽者的錯(cuò)，還是講者的錯(cuò)简肴？也許兩個(gè)人都沒有錯(cuò)晃听，只是彼此相遇在錯(cuò)誤的時(shí)間、錯(cuò)誤的地點(diǎn)罷了。但假若講得讓臺下像一排排死魚一樣能扒，那么講者顯然要自我檢討佣渴。
克制沖動(dòng)。更明確地說初斑，要克制講述細(xì)節(jié)的沖動(dòng)辛润。除非是專為搞懂某個(gè)證明而組織的系列報(bào)告，否則別糾纏細(xì)節(jié)见秤。自己的證明或結(jié)果是特別難割舍的砂竖，如放任自流，就會出現(xiàn)大家很熟悉的一種風(fēng)格：喋喋不休地條列本人證明了什么定理鹃答，于哪一年發(fā)在哪個(gè)期刊等等乎澄。很多時(shí)候，一位教授之所以坐在你臺下测摔，無非是無意間見到海報(bào)置济，產(chǎn)生興趣，想學(xué)點(diǎn)新的數(shù)學(xué)罷了锋八， 至于定理是誰證的浙于、發(fā)在哪里，純屬枝微末節(jié)查库；這類聽眾才是你最應(yīng)當(dāng)珍視的。
大而化之黄琼，保持善意的含混樊销。小細(xì)節(jié)無礙于報(bào)告的基本思想；即便勉強(qiáng)說清了脏款，聽眾未必愿意聽围苫，聽了未必懂，懂了也記不住撤师。
由淺入深剂府。實(shí)踐表明，“低起點(diǎn)剃盾，高坡度”是一種特別適用于數(shù)學(xué)報(bào)告的模式腺占。比方說一個(gè)小時(shí)的報(bào)告，開始十分鐘交代背景痒谴，本科生也能聽懂衰伯， 直到前三十分鐘也不太難，講到第四十积蔚、五十分鐘左右突入前沿意鲸；這在國際上是很常見的風(fēng)格，適用范圍相當(dāng)廣。
掌控節(jié)奏怎顾。這是比較微妙的一點(diǎn)读慎。報(bào)告節(jié)奏忌倉促，尤忌拖沓槐雾；我觀察到中國人的報(bào)告易犯后一種毛病夭委，講到后來拖死貓、拖死狗蚜退，聽者痛苦闰靴，講者憋屈，主持人也表情復(fù)雜钻注。
掌控節(jié)奏的要訣在于“統(tǒng)籌設(shè)計(jì)”蚂且，安排其中的鋪墊、高潮幅恋、間奏與段子杏死，這是報(bào)告前的一道工序。然而講報(bào)告時(shí)放不開也罷捆交，就怕一放放過頭淑翼，尤其是段子。聽眾對段子普遍是喜聞樂見的品追，但也很容易被段子惹惱玄括；現(xiàn)在媒體或網(wǎng)絡(luò)上時(shí)興的段子多有特定的諷刺對象。希望各位了解到：真正練達(dá)而近乎藝術(shù)的黑乃是“自黑”肉瓦，在報(bào)告中也是如此遭京。
總結(jié)以上討論，怎樣才是一位優(yōu)秀的講者呢泞莉？這里斗膽提出一條公式：
優(yōu)秀的講者= Grothendieck + 郭德綱
提 Grothendieck哪雕，自然是強(qiáng)調(diào)講者須具備學(xué)術(shù)上的識力。提郭德綱則是呼應(yīng)之前
講到的節(jié)奏設(shè)計(jì)鲫趁，特別是段子斯嚎，這與中國的相聲、評書等傳統(tǒng)藝術(shù)可謂同氣連枝挨厚。使段子相當(dāng)于相聲里所謂的“抖包袱”堡僻，須拿捏分寸，你不能從頭到尾都在抖包
袱疫剃。另一個(gè)重點(diǎn)也是上頭提到的：忌講尖刻過分的段子苦始。根據(jù)我對網(wǎng)上年輕人的觀察，各位在幽默和創(chuàng)意方面絕對不落人后慌申，此風(fēng)刮到學(xué)術(shù)領(lǐng)域只是時(shí)間問題陌选， 是以我更愿意強(qiáng)調(diào)在制造幽默時(shí)的“度”理郑，以及溫厚的品格。對此咨油，我謹(jǐn)引用清代詞人陳廷焯的一段文字：
“無論作詩作詞您炉，不可有腐儒氣，不可有俗人氣役电，不可有才子氣……尖巧新穎赚爵， 病在輕薄，發(fā)揚(yáng)暴露法瑟，病在淺盡冀膝。腐儒氣、俗人氣霎挟，人猶望而厭之窝剖；若才子氣， 則無不望而悅之矣酥夭，故得病最深赐纱。”（《白雨齋詞話?卷五》）
以上可謂報(bào)告之“道”熬北，含結(jié)構(gòu)疙描、風(fēng)格和講述技巧等面向，然而現(xiàn)代人作報(bào)告也離不開形而下之“器”：投影片或板書讶隐。
黑板是數(shù)學(xué)家的傳統(tǒng)家當(dāng)起胰；至于所謂的投影片，現(xiàn)在普遍以 Beamer巫延、Keynote 或Power Point 制作效五，后者頗不便于數(shù)學(xué)排版，但在中國應(yīng)用仍廣烈评。板書和投影篇的優(yōu)劣是個(gè)饒富興味的話題火俄，我們下面就若干面向進(jìn)行比較犯建，供各位參考讲冠、取舍。
| Beamer/Power Point | 板書 |
|---|---|
| 信息密度高 | 信息密度低 |
| 便于再利用和傳播 | 難以再利用 |
| 單線敘述 | 多線程适瓦、多“罅隙” |
| 欠生動(dòng)竿开，可搭配多媒體 | 富表演性 |
| 極不適合演示證明 | 較適于演示證明 |
所謂信息密度，主要是以時(shí)間為分母來計(jì)算玻熙。一般用投影片能在同樣時(shí)間內(nèi)覆蓋更多內(nèi)容否彩，這種計(jì)算不考慮聽眾的反應(yīng)時(shí)間和報(bào)告節(jié)奏，而后兩種因素對數(shù)學(xué)報(bào)告格外重要嗦随。所以用投影片容易有速度過快列荔、節(jié)奏單調(diào)之弊敬尺。
關(guān)于投影片的再利用和傳播，過去使用幻燈片的時(shí)代是直接復(fù)印膠片贴浙，現(xiàn)在則是在網(wǎng)上流通 PDF 或 PPT 檔案砂吞，而板書根本無法用這些方式保存或流通，除非對整場報(bào)告做錄像∑槔＃現(xiàn)在很多人喜歡給黑板拍照蜻直，算是一種無可奈何的辦法。
用 Beamer 或 Power Point 作的報(bào)告說穿了袁串，乃是用一個(gè)個(gè)回車鍵串起的概而，聽者很容易忘記先前內(nèi)容。必要時(shí)當(dāng)然可以倒退或使用超鏈接囱修，但效果并不理想赎瑰。這類報(bào)告要求聽眾完全遵循片子里的邏輯。至于板書蔚袍，一個(gè)合格的大教室至少會有四塊黑板乡范，透過黑板的調(diào)度和選擇性擦拭，能更貼近數(shù)學(xué)思維的結(jié)構(gòu)啤咽，聽眾還能用
停頓時(shí)間思考晋辆；而且在寫板書時(shí)可以隨意涂改、插入箭頭或注記等宇整，是謂“罅隙”瓶佳， 這在 Beamer 或 Power Point 中比較難做到。
上面已經(jīng)提過投影片的沉悶鳞青，各位在本科階段若上過用 Power Point 講的基礎(chǔ)課霸饲， 必能心領(lǐng)神會。板書本身的大幅度肢體動(dòng)作臂拓，以及寫作過程中必不可免的節(jié)奏變化厚脉，能使報(bào)告增色不少，這是我所謂“表演性”的意涵胶惰；其中的停頓時(shí)間雖然降低了前述的信息密度傻工，卻也使聽者有時(shí)間消化之前的內(nèi)容。然而 Beamer 和 Power
Point 適于嵌入多媒體內(nèi)容孵滞，例如復(fù)雜的圖表和動(dòng)畫之類中捆，這對應(yīng)用數(shù)學(xué)尤其重要。
最后一項(xiàng)是關(guān)于證明的演示坊饶。黑板是數(shù)學(xué)證明的傳統(tǒng)載體泄伪，自不待言。而基于投
影片的單線和沉悶特點(diǎn)匿级，用以講述證明絕對是個(gè)壞主意蟋滴。我所見的例子無一成功染厅。以下是使用 Beamer 準(zhǔn)備報(bào)告時(shí)的幾個(gè)要訣。
節(jié)制公式的使用津函。計(jì)算機(jī)科學(xué)家 Lance Forthnow 曾經(jīng)斷言：Power Point 使用者作的報(bào)告比 Beamer 的更好糟秘！大家知道 Beamer 的公式漂亮、功能齊備球散， 那么 Forthnow 教授何出此言尿赚？他認(rèn)為：由于 Power Point 的數(shù)學(xué)排版功能實(shí)在太糟，導(dǎo)致使用者不得不減少數(shù)學(xué)公式蕉堰，報(bào)告從而更易懂凌净。這個(gè)解釋值得各位再三揣摩。
堅(jiān)持技術(shù)流屋讶。致力探索 Beamer 的潛能冰寻，避免找現(xiàn)成的模板。
至于板書皿渗，同樣有幾點(diǎn)訣竅與各位分享斩芭。
存規(guī)矩。無口說不成報(bào)告乐疆，但板書并不是口說的注解划乖，黑板也不是你的草稿紙，應(yīng)該讓板書本身具有一定程度的理路挤土。很多人講課時(shí)的板書只是他的計(jì)算過程琴庵，因此寫得信馬由韁；聽者只要分神半分鐘仰美，回頭就無法理解黑板內(nèi)容了迷殿。這里我還想突出“網(wǎng)格”的角色。在平面設(shè)計(jì)領(lǐng)域咖杂，網(wǎng)格的重要性已是公論庆寺。在紙張或網(wǎng)頁上可以用網(wǎng)格劃出結(jié)構(gòu)，黑板亦然诉字；網(wǎng)格未必要用粉筆畫出來蜕便，但心中必須有網(wǎng)格愿吹。切忌在黑板上東寫一個(gè)媳拴、西寫一個(gè)岸售，搞得新舊間雜吏夯，寫到第二塊黑板就完全不知所云了掸刊。
重靈活琢蛤。板書不是抄書害捕。很多人在黑板上照搬書面的文句結(jié)構(gòu)鹰晨，這樣就犧牲了板書獨(dú)具的優(yōu)點(diǎn)墨叛。在黑板上止毕，我們一則不必拘泥于文法，二則是可以利用箭頭漠趁、自創(chuàng)的符號和粉筆顏色等技巧突出重點(diǎn)扁凛。簡言之，板書是一種更加直覺化的表現(xiàn)手法闯传。
精進(jìn)字體修養(yǎng)谨朝。字寫得好看與否倒是次要的，關(guān)鍵是黑板上的字和讀者心目中的字必須有一一對應(yīng)甥绿，換言之就是辨識度問題字币。以希臘字母為例，經(jīng)常見到有人寫字時(shí) ξ 和ζ 不分共缕，γ 和r 不分洗出，ω 和w 不分，更荒唐的是 σ 和數(shù)字 6 不分图谷！還有大寫的希臘字母 Θ翩活，很多人誤把襯線當(dāng)豎線，把它寫成字母H 外頭包一圈便贵，這是什么符號菠镇？這是直升機(jī)停機(jī)坪的符號。想用LaTeX 打出來還頗費(fèi)工夫呢承璃。
相關(guān)例子還有很多辟犀，就此打住。迄今我們已經(jīng)談到數(shù)學(xué)寫作的中心绸硕，即交流思想（傳遞信息）堂竟，以及信息在各種載體中比較合宜的編排形式。但信息的傳遞離不開渠道玻佩，是以我們就渠道問題簡短收尾出嘹。
渠道的要點(diǎn)在于網(wǎng)絡(luò)。先前談排版時(shí)提到的網(wǎng)站 arXiv 就是依托網(wǎng)際網(wǎng)絡(luò)而興起的重要平臺咬崔。中國人對網(wǎng)絡(luò)是非常敏感的税稼，電子商務(wù)領(lǐng)域便是一例，但中國數(shù)學(xué)家對網(wǎng)絡(luò)的運(yùn)用還稍有滯后垮斯，個(gè)人網(wǎng)頁是突出的例子郎仆。
網(wǎng)頁可謂數(shù)學(xué)工作者的名片，也是提高自己在學(xué)界能見度的重要方式兜蠕。有人覺得既然開通了博客或微博扰肌，就無須再搞個(gè)人網(wǎng)頁，殊不知博客存放的資料有時(shí)間性熊杨， 而個(gè)人網(wǎng)頁則不然曙旭；博客上發(fā)一篇文章盗舰，三年后就不知沉到哪兒去了，而數(shù)學(xué)論文三十年猶不顯老桂躏，越陳越香钻趋。中國各高校及研究單位普遍無心此道，或是多所掣肘剂习，當(dāng)然還要考慮網(wǎng)管人員的業(yè)務(wù)水平蛮位。如果各位所在單位容許則最佳，否則必須另想法子鳞绕。
花點(diǎn)小錢的辦法是租用虛擬主機(jī)土至，現(xiàn)在無論租用境內(nèi)外的主機(jī)都很方便，還包含備案服務(wù)猾昆。此外陶因，科學(xué)院旗下的“中國科技網(wǎng)”也免費(fèi)提供個(gè)人學(xué)術(shù)主頁，應(yīng)當(dāng)說個(gè)人主頁應(yīng)有的功能他們都提供了垂蜗，各位可以自行琢磨楷扬。總的說來贴见，中國學(xué)者愿意制作主頁的還不太多烘苹，我認(rèn)為有必要著力宣導(dǎo)。
今天就講到這里片部，謝謝大家镣衡。
