題干
對于一個（不對稱的）隨機游走過程
，其中
為離散的獨立同分布隨機變量，服從以下變化：
假設(shè)過程初始在零點筒愚，即
；假設(shè)兩個邊界
菩浙，若過程在某一時刻
接觸到任意一條邊界則停止锨能，請問過程停止于邊界
的概率)
是多少扯再。
注意： 區(qū)分隨機過程的上升概率
以及停止于邊界的概率
。
題解
針對賭徒破產(chǎn)問題有許多種不同的求解方法址遇，這里我們將介紹其中一種使用鞅（Martingale）的方法。對于題干所述的隨機過程
斋竞，很明顯由于限定
倔约，自身并不是一個鞅。對于此類非對稱隨機游走過程而言坝初，我們發(fā)現(xiàn)%5E%7BS_n%7D)
是一個期望為
的鞅浸剩，具體證明過程如下：
![\begin{aligned} \mathbb{E}[M_{n+1}|\mathcal{F}_n] &= \mathbb{E}\left[ \left( \frac{q}{p} \right)^{S_{n+1}} |\mathcal{F}_n \right] \\ \\ &= \mathbb{E}\left[ \left( \frac{q}{p} \right)^{S_{n}}\left( \frac{q}{p} \right)^{X_{n+1}} |\mathcal{F}_n \right] \\ \\ &= \left( \frac{q}{p} \right)^{S_{n}}\mathbb{E}\left[ \left( \frac{q}{p} \right)^{X_{n+1}} |\mathcal{F}_n \right],&\text{在可測集$\mathcal{F}_n$的信息下，$S_n$為已知量} \\ \\ &= \left( \frac{q}{p} \right)^{S_{n}} \left[ p\left( \frac{q}{p} \right)^{+1}+q\left( \frac{q}{p} \right)^{-1} \right] \\ \\ &= \left( \frac{q}{p} \right)^{S_{n}}\underset{=1}{\left[ q+p \right]} \\ \\ &= \left( \frac{q}{p} \right)^{S_{n}} =: M_n&\hfill\square \end{aligned}](https://math.jianshu.com/math?formula=%5Cbegin%7Baligned%7D%20%5Cmathbb%7BE%7D%5BM_%7Bn%2B1%7D%7C%5Cmathcal%7BF%7D_n%5D%20%26%3D%20%5Cmathbb%7BE%7D%5Cleft%5B%20%5Cleft(%20%5Cfrac%7Bq%7D%7Bp%7D%20%5Cright)%5E%7BS_%7Bn%2B1%7D%7D%20%7C%5Cmathcal%7BF%7D_n%20%5Cright%5D%20%5C%5C%20%5C%5C%20%26%3D%20%5Cmathbb%7BE%7D%5Cleft%5B%20%5Cleft(%20%5Cfrac%7Bq%7D%7Bp%7D%20%5Cright)%5E%7BS_%7Bn%7D%7D%5Cleft(%20%5Cfrac%7Bq%7D%7Bp%7D%20%5Cright)%5E%7BX_%7Bn%2B1%7D%7D%20%7C%5Cmathcal%7BF%7D_n%20%5Cright%5D%20%5C%5C%20%5C%5C%20%26%3D%20%5Cleft(%20%5Cfrac%7Bq%7D%7Bp%7D%20%5Cright)%5E%7BS_%7Bn%7D%7D%5Cmathbb%7BE%7D%5Cleft%5B%20%5Cleft(%20%5Cfrac%7Bq%7D%7Bp%7D%20%5Cright)%5E%7BX_%7Bn%2B1%7D%7D%20%7C%5Cmathcal%7BF%7D_n%20%5Cright%5D%2C%26%5Ctext%7B%E5%9C%A8%E5%8F%AF%E6%B5%8B%E9%9B%86%24%5Cmathcal%7BF%7D_n%24%E7%9A%84%E4%BF%A1%E6%81%AF%E4%B8%8B%EF%BC%8C%24S_n%24%E4%B8%BA%E5%B7%B2%E7%9F%A5%E9%87%8F%7D%20%5C%5C%20%5C%5C%20%26%3D%20%5Cleft(%20%5Cfrac%7Bq%7D%7Bp%7D%20%5Cright)%5E%7BS_%7Bn%7D%7D%20%5Cleft%5B%20p%5Cleft(%20%5Cfrac%7Bq%7D%7Bp%7D%20%5Cright)%5E%7B%2B1%7D%2Bq%5Cleft(%20%5Cfrac%7Bq%7D%7Bp%7D%20%5Cright)%5E%7B-1%7D%20%5Cright%5D%20%5C%5C%20%5C%5C%20%26%3D%20%5Cleft(%20%5Cfrac%7Bq%7D%7Bp%7D%20%5Cright)%5E%7BS_%7Bn%7D%7D%5Cunderset%7B%3D1%7D%7B%5Cleft%5B%20q%2Bp%20%5Cright%5D%7D%20%5C%5C%20%5C%5C%20%26%3D%20%5Cleft(%20%5Cfrac%7Bq%7D%7Bp%7D%20%5Cright)%5E%7BS_%7Bn%7D%7D%20%3D%3A%20M_n%26%5Chfill%5Csquare%20%5Cend%7Baligned%7D)
同樣可知%5E0%3D1)
鳄袍，即
為一個期望為的鞅绢要。根據(jù)可選停時定理（Optional Stopping Theorem），一個早停（Early Stopped）的鞅依然具有同樣的期望拗小。我們設(shè)為接觸到或
的步數(shù)重罪，則有：
![\begin{aligned} \mathbb{E}[M_\tau] = p_\alpha M_\tau|_{S_n=\alpha} + p_\beta M_\tau|_{S_n=\beta} &\overset{!}{=} 1 \\ \\ p_\alpha \left( \frac{q}{p} \right)^\alpha + (1-p_\alpha)\left( \frac{q}{p} \right)^\beta &= 1 \\ \\ p_\alpha\left( \left( \frac{q}{p} \right)^a - \left( \frac{q}{p} \right)^\beta \right) &= 1 - \left( \frac{q}{p} \right)^\beta \\ \\ p_a &= \frac{1 - \left( \frac{q}{p} \right)^\beta}{\left( \frac{q}{p} \right)^a - \left( \frac{q}{p} \right)^\beta}&\hfill\square \end{aligned}\tag{1.1}](https://math.jianshu.com/math?formula=%5Cbegin%7Baligned%7D%20%5Cmathbb%7BE%7D%5BM_%5Ctau%5D%20%3D%20p_%5Calpha%20M_%5Ctau%7C_%7BS_n%3D%5Calpha%7D%20%2B%20p_%5Cbeta%20M_%5Ctau%7C_%7BS_n%3D%5Cbeta%7D%20%26%5Coverset%7B!%7D%7B%3D%7D%201%20%5C%5C%20%5C%5C%20p_%5Calpha%20%5Cleft(%20%5Cfrac%7Bq%7D%7Bp%7D%20%5Cright)%5E%5Calpha%20%2B%20(1-p_%5Calpha)%5Cleft(%20%5Cfrac%7Bq%7D%7Bp%7D%20%5Cright)%5E%5Cbeta%20%26%3D%201%20%5C%5C%20%5C%5C%20p_%5Calpha%5Cleft(%20%5Cleft(%20%5Cfrac%7Bq%7D%7Bp%7D%20%5Cright)%5Ea%20-%20%5Cleft(%20%5Cfrac%7Bq%7D%7Bp%7D%20%5Cright)%5E%5Cbeta%20%5Cright)%20%26%3D%201%20-%20%5Cleft(%20%5Cfrac%7Bq%7D%7Bp%7D%20%5Cright)%5E%5Cbeta%20%5C%5C%20%5C%5C%20p_a%20%26%3D%20%5Cfrac%7B1%20-%20%5Cleft(%20%5Cfrac%7Bq%7D%7Bp%7D%20%5Cright)%5E%5Cbeta%7D%7B%5Cleft(%20%5Cfrac%7Bq%7D%7Bp%7D%20%5Cright)%5Ea%20-%20%5Cleft(%20%5Cfrac%7Bq%7D%7Bp%7D%20%5Cright)%5E%5Cbeta%7D%26%5Chfill%5Csquare%20%5Cend%7Baligned%7D%5Ctag%7B1.1%7D)
同理可根據(jù)
得出
。
注意： 該結(jié)論只用于非對稱隨機游走哀九，即的情況剿配。對于對稱隨機游走（
），我們發(fā)現(xiàn)公式
的結(jié)果是未定義的（分母為零）阅束。針對這種情況呼胚，直接使用為鞅的性質(zhì)，并同樣應(yīng)用可選時停定理即可得
息裸。
參考
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