認識一種運算阳柔，就像認識一位朋友，從陌生到熟悉舀患，到一起游戲徽级，在兒童眼中它可能就是一位
一、帶余數(shù)的除法的準(zhǔn)確表達
學(xué)完表內(nèi)除法之后聊浅，小貝殼已經(jīng)能夠解決100以內(nèi)徹底的平均分問題餐抢，但若出現(xiàn)了剩余现使，又該如何處理呢？
我們來看看一個小貝殼是如何將10本書平均分給3個人的旷痕。
他的回答立馬在班里激起了熱烈的討論碳锈。有人認為這樣分沒有任何問題，每個人得到的書的數(shù)量是一樣多的欺抗，保證了平均分售碳；有人認為雖然是平均分，但卻沒有將10本書徹底分完绞呈，所以不能叫把“10”本書平均分給3個人贸人。最終大家一致認為把10本書平均分給3個人，每人有3本書佃声，還剩下1本書艺智，這1本書不能再分給3個人了，這才叫對10本書的平均分圾亏。
對10本書到底該如何分打成共識之后十拣，孩子們結(jié)合剛才的討論寫出了相應(yīng)的圖形語言和符號語言。
既然是平均分活動志鹃，能用除法表示嗎夭问？
1號算式?jīng)]有把剩余的1本書表示出來，這也是平均分活動的結(jié)果芭甲喝！2號算式雖然把每人得到的書的數(shù)量和剩余的書的數(shù)量表示了，但是等號兩邊并不成立铛只；3號算式中最合理埠胖，但是數(shù)學(xué)符號語言中有文字總是感覺怪怪的，我們最好發(fā)明一個數(shù)學(xué)符號來代替“還蚀就妫”兩個字直撤。
于是我們發(fā)明了專門用來表示“剩余”的符號“……”。除法的橫式終于可以成為我們的符號語言的一種了蜕着。
既然有了橫式谋竖，能不能發(fā)明一個豎式來表示帶余數(shù)的除法呢！孩子們做了各種各樣的嘗試承匣。
豎式表達與橫式表達不同的地方就是蓖乘，豎式更能夠清楚地告訴別人計算的過程。這幾個豎式雖然都說清楚了每份的數(shù)量和剩余的數(shù)量韧骗，但不熟悉的人嘉抒，會不懂這里的余數(shù)1到底是怎么來的，“1”與前面的這些數(shù)字又有什么關(guān)系袍暴。于是我們最終發(fā)明了這樣一個帆船豎式些侍，并結(jié)合具體情境解釋了除法豎式中每個量的含義隶症。
至此，帶余數(shù)的除法運算岗宣，我們已經(jīng)初步學(xué)會了用準(zhǔn)確的文字語言蚂会，圖形語言和符號語言來表示它的含義了。
當(dāng)然新的運算表達方式必然會引起新的認知沖突耗式！在是小貝殼們第一次書寫除法豎式時的樣子胁住。
孩子們需要再次回到具體情境中，結(jié)合圖形語言和文字語言的描述刊咳，像講故事一樣措嵌，理解除法的運算本質(zhì)。在這個過程中他們自己就會笑起來：原來這格“帆船”就是除號芦缰，我不用再寫一個了；沒有拿走的部分我沒有辦法表示清楚剩余量枫慷；分給結(jié)果人是寫在“帆船”外面的让蕾，就像開船的舵手；剩余量是0或听，也就是正好分完了探孝，整除的問題也是可以用除法豎式表示的。
討論的過程就是明晰的過程誉裆，是理解的過程顿颅，是重新喚醒已有觀念，打破平衡并重組的過程足丢，這樣的“正確”才是有意義的粱腻。
二、帶余數(shù)的除法算式中量之間的關(guān)系
作為新朋友斩跌，余數(shù)總要和其他量搞好關(guān)系绍些。在數(shù)字盤中，小貝殼們發(fā)現(xiàn)了大秘密耀鸦。
我們是要將一定數(shù)量的糖平均分給3個人柬批，怎么還能剩下3顆糖呢？這不還可以繼續(xù)平均分嗎袖订？
是啊氮帐，只要剩余的糖數(shù)比3顆多就可以繼續(xù)平均分。
說明余數(shù)不能比除數(shù)大的洛姑。
如果把數(shù)字圓盤的中心變成“30÷上沐？”你又有哪些新發(fā)現(xiàn)呢首昔？
我發(fā)現(xiàn)總糖數(shù)不變哮内，要分的人數(shù)越多蝠咆，每個人分得的糖數(shù)就越少啡邑！
我覺得這兩個算式也是有關(guān)系的，但還具體說不清楚昂勒。
不管是將30根小棒平均分成7份蜀细，還是平均分成4份，其實都會從整體中分走28根小棒戈盈，還剩下兩根小棒奠衔，可以用同一個乘法算式——7×4＋2=30表示。
還可以用這樣的集合圖表示塘娶。
這樣看帶余數(shù)的除法運算就更清楚了归斤，我們可以看成是將總數(shù)這個大集合拆分成兩個小集合，一個集合表示分走的部分刁岸，一個集合表示剩余的部分脏里。除數(shù)和商的乘積就是分走的部分。
一副數(shù)字樹作品就可以清晰的表示帶余數(shù)的除法中不同的量之間的關(guān)系虹曙。
三迫横、帶余數(shù)的除法觀念應(yīng)用
下面我們將要玩一個躲貓貓游戲：
余數(shù)躲起來了，我們該怎么找到它呢酝碳？
通過集合圖可以更快的找到線索——
大集合減去分走的部分就是剩余的量——19－3×6
我們還可以玩其他量躲起來的游戲矾踱。
如果現(xiàn)在有兩個量躲起來了，該怎么辦疏哗？
我還是先看看集合圖中的哪部分丟失了——總數(shù)不見了呛讲，分走的量只知道每份有幾個，還知道剩余的量返奉。
有兩個未知量贝搁，我還是先確定其中一個量。如果先確定總數(shù)芽偏，并不能保證減去剩余的量之后一定能被6整除徘公；如果先確定分給了幾個人，我就可以先確定分走的量哮针，這樣加上剩余的量就可以唯一確定一個總數(shù)关面。
哇！我忘記了十厢，除數(shù)和商是住在一個家里的等太，這真的是一個重大發(fā)現(xiàn)啊蛮放！
我們還可以玩任意其他兩個量躲起來的游戲缩抡。
當(dāng)然創(chuàng)造一個三個量躲起來的游戲也是沒有問題的。
帶余數(shù)的除法在生活中有應(yīng)用嗎包颁？
當(dāng)然有啦瞻想！租船時压真，并不能保證人數(shù)正好坐滿幾條船，可以會余下幾個人蘑险，那就需要再租一條船滴肿；
買東西時，并不能保證錢數(shù)正好可以花完佃迄，可能會剩下一些錢不夠再買一件東西了泼差；
按照一定的規(guī)律擺小旗也是一個帶余數(shù)的除法問題；
還有這種搭配組合題呵俏，也可以用帶余數(shù)的除法解決堆缘，到底能包幾束花是由能包最少花束的花決定的，我們把這種題叫做木桶題普碎。
你們千萬不要被這么多題搞得煙花繚亂吼肥，其實它們都是關(guān)于除法的包含除問題。
最后請欣賞一下我們的腦圖制作吧麻车！是不是比剛開學(xué)那會進步了少扒甭佟！
