3．實數系中無理數的表示和幾個特殊的無理數．
? (1)用連分數表示無理數
? 我們在前面用連分數表示一個有理數，它是有限的其骄，如：57/17＝3＋1／2＋1／1＋1/5．同樣一個無理數也可用連分數表示，但它是無限的玄窝，就幾何意義是講就是有理數的可公度性和無理數的不可公度性．我們舉這樣一個例子：對于二次方程x??2＋2x－1＝0顷锰，或者寫成x＝1/(2＋x)；x＝(根2)－1是這個二次方程的一個根斑响，如果把x＝1/(2＋x)右邊的x不斷用1/(2＋x)代替菱属，就不斷得出：
x＝1／2＋1／2＋1／(2＋x)；繼續(xù)下去舰罚，那么在第n步后纽门，我們得到：
x＝1／2＋1／2＋1／2＋?1／(2＋x)。（共n步）當n趨于無窮時营罢，得(根2)的“無限連分數”為(根2)＝1＋1／2＋1／2＋?赏陵。這是一個把(根2)與整數聯(lián)系起來的絕妙公式，比(根2)的＋進位小數展式更好饲漾，因為(根2)小數展開式其數字的排列是沒有規(guī)律的蝙搔。對于形如x??2＝ax＋1，或者x＝a＋1/x的任意二次方程能颁，我們有展式
x＝a＋1／a＋1／a＋1／a＋1／a＋?杂瘸；例如，令a＝1伙菊，我們得到x＝1/2(1＋根5)＝1＋1／1＋1／1＋1／1＋?败玉；
對于兀和e，歐拉能求得幾乎同樣簡單的無窮連分數展式镜硕，我們不加證明地列舉如下：
e＝2＋1／1＋1／2＋1／1＋／1＋1／4＋1／1＋1／1＋1／6＋?运翼；e＝2＋1／1＋1／2＋2／3＋3／4＋4／5＋?；
(2)歐拉數e
我們來考察序列｛an｝兴枯，an＝1＋1/1Ｑ省＋1/2！＋?＋1/n２破省＝(1＋1/n)??n悠夯，因為a(n＋1)＞an，所以｛an｝是一個單調遞增序列躺坟，再者沦补，an＜B＝3是有上界的，這是因為：1/n＿涑取＜1/n(n－1)＝1/n－1)－1/n夕膀，所以an＜1＋1＋1－1/2＋1/2－1/3＋1/3－?＋1/(n－1)－1/n＝3－1/n＜3
又因為1/s！＝1/2·1/3·?1/s＜1/2·1/2·1/2·?1/2＝1/2??(s－1)美侦，從而an＜1＋1＋1/2＋1/2??2＋1/2??3＋?＋1/2??(n－1)＝1＋［1－(1/2)??n］/(1－1/2)＝1＋2［1－(1/2)??n］＜3产舞，所以當n趨于無窮時，an必趨近一個極限菠剩，這個極限我們就叫做e易猫，e＝liman(n無限大)
e是無理數，我們用反證法具壮，先假設e＝p/q擦囊，p违霞，q為互質的整數
因為2＜e＜3嘴办，e不能是整數瞬场，所以q＞＝2，q＝Ы肌＝2·3·4·?·q
那么eq９岜弧＝q！(1＋1/1Ｗ彼摇＋1/2Ｍ睢＋?＋1/n！＋?)
p/q·qＥ＝(q；仙隆＋q！＋3·4·?q＋4·5?q＋?＋(q－1)q＋q＋1＋1/(q＋1)＋1/(q＋1)(q＋2)＋?
即p·2·3?(q－1)＝(qＦ蟆＋q２ā＋?＋q＋1＋1/(q＋1)＋?
顯然上式左右為一整數，右邊從q暇赤！加到(q＋1)是整數心例，而1/(q＋1)＋1/(q＋1)(q＋2)＋?＜1/3＋1/3??2＋1/3??3＋?＝1/3［1/(1－1/3)］＝1/2不是整數．因此推出矛盾，所以e不是有理數鞋囊。
