概述

• 層次分析法是指將一個復(fù)雜的多目標決策問題作為一個系統(tǒng)傀顾，將目標分解為多個目標或準則骗灶，進而分解為多指標（或準則友多、約束）的若干層次攀隔，通過定性指標模糊量化方法算出層次單排序（權(quán)數(shù)）和總排序刻炒，以作為目標（多指標）决采、多方案優(yōu)化決策的系統(tǒng)方法。
• 層次分析法是將決策問題按總目標坟奥、各層子目標树瞭、評價準則直至具體的備投方案的順序分解為不同的層次結(jié)構(gòu)，然后用求解判斷矩陣特征向量的辦法爱谁，求得每一層次的各元素對上一層次某元素的優(yōu)先權(quán)重晒喷，最后再加權(quán)和的方法遞階歸并各備擇方案對總目標的最終權(quán)重，此最終權(quán)重最大者即為最優(yōu)方案访敌。
• 層次分析法比較適合于具有分層交錯評價指標的目標系統(tǒng)凉敲，而且目標值又難于定量描述的決策問題。

基本步驟

1.建立層次結(jié)構(gòu)模型

• 將問題包含的因素分層：最高層（解決問題的目的）；中間層（選擇為實現(xiàn)總目標而采取的各種措施爷抓、方案所必須遵循的準則势决。也可稱策略層、約束層蓝撇、準則層等）果复；最低層（用于解決問題的各種措施、方案等）唉地。把各種所要考慮的因素放在適當(dāng)?shù)膶哟蝺?nèi)据悔。用層次結(jié)構(gòu)圖清晰地表達這些因素的關(guān)系。
• 以干部選拔模型為具體實例展開論述耘沼。

• 對三個干部候選人y1极颓、y2 、y3群嗤，按選拔干部的五個標準：品德菠隆、才能、資歷狂秘、年齡和群眾關(guān)系骇径，構(gòu)成如下層次分析模型： 假設(shè)有三個干部候選人y1、y2 者春、y3破衔，按選拔干部的五個標準：品德，才能钱烟，資歷晰筛，年齡和群眾關(guān)系，構(gòu)成如下層次分析模型：

  
  
  選拔干部層次分析模型.png

2.構(gòu)造成對比較矩陣

• 比較第i個元素與第j個元素相對于上一層某個因素的重要性時拴袭，使用數(shù)量化的相對權(quán)重來描述读第。設(shè)共有n個元素參與比較，則稱為成對比較矩陣拥刻。

標度	含義
	i與同樣重要性
	i比j稍微重要
	i比j明顯重要
	i比j強烈重要
	i比j極端重要
2怜瞒，4，6般哼，8	上述兩相鄰判斷的中值
倒數(shù)	A和B相比如果標度為3吴汪，則B和A相比就是1/3

• 選拔干部考慮5個條件：品德x1，才能x2蒸眠，資歷x3漾橙，年齡x4，群眾關(guān)系x5黔宛。某決策人用成對比較法近刘，得到成對比較矩陣如下：
  

3.一致性檢驗

• 一致矩陣
  
  一致矩陣.jpg
  
  如果A是完全一致的成對比較矩陣擒贸，應(yīng)該有
• 實際上，在構(gòu)造成對比較矩陣時并不一定能滿足一致矩陣的要求觉渴。因此介劫，退而要求成對比較矩陣具有一定的一致性，即可以允許成對比較矩陣存在一定程度的不一致性案淋。

• 對一致矩陣座韵，其絕對值最大的特征值等于該矩陣的維數(shù)。對成對比較矩陣的一致性要求轉(zhuǎn)化為：其絕對值最大的特征值和該矩陣的維數(shù)相差不大踢京。

  
  
  一致性檢驗步驟.png
• 上述對比矩陣A的絕對值最大的特征值為5.141誉碴，則查表值，故瓣距。
  所以對比矩陣A的一致性可以接受黔帕。

4.權(quán)重的計算

• 上述對比矩陣A的絕對值最大的特征值所對應(yīng)的特征向量為：
• 將該向量標準化，使得它的各分量都大于零蹈丸，各分量之和等于 1成黄。該特征向量標準化后為：
• 經(jīng)過標準化后向量稱為權(quán)向量。這里權(quán)向量反映了決策者選拔干部時逻杖，視品德條件最重要奋岁，其次是才能，再次是群眾關(guān)系荸百，年齡因素闻伶，最后才是資歷。各因素的相對重要性由權(quán)向量的各分量所確定够话。

5.層次總排序及決策

• 要從三個候選人y1蓝翰，y2，y3中選一個總體上最適合上述五個條件的候選人更鲁。對此霎箍，對三個候選人y1奇钞，y2，y3分別比較他們的品德(x1)景埃，才能(x2)媒至，資歷(x3)，年齡(x4)拒啰，群眾關(guān)系(x5)甲捏。
• 先成對比較三個候選人的品德，得成對比較陣
  
• 對B1進行一致性檢驗，然后求得B1的權(quán)向量
• 分別比較三個候選人的才能获三，資歷，年齡理疙，群眾關(guān)系得成對比較陣：
  
  
• 相應(yīng)的權(quán)向量為
  
• 由上述數(shù)據(jù)巷折，我們可以得到如下的一張表格：

其中芯丧，總分的計算為，其中代表第j個指標的權(quán)重波附，代表第i個候選人的第j個指標的得分艺晴。

• 從三個候選人的得分情況看，y3的得分最高叶雹，故y3是第一干部候選人财饥。

總結(jié)

使用層次分析法换吧，

• 首先折晦，要分析系統(tǒng)中各因素之間的關(guān)系，建立系統(tǒng)的遞階層次結(jié)構(gòu)沾瓦；
• 其次满着，對于同一層次的各元素關(guān)于上一層某一準則的重要性進行兩兩比較谦炒，構(gòu)造兩兩比較矩陣；
• 接著风喇，由判斷矩陣計算被比較元素對于該準則的相對權(quán)重宁改，并進行一致性檢驗；
• 最后魂莫，計算各層元素對系統(tǒng)目標的合成權(quán)重还蹲，并進行排序。

參考文獻

https://wiki.mbalib.com/wiki/%E5%B1%82%E6%AC%A1%E5%88%86%E6%9E%90%E6%B3%95

附python代碼

import numpy as np
'''
@Description:
    求解矩陣的權(quán)向量
@para：
    成對比較矩陣
@return:
    權(quán)向量
'''
def abhWeightVector(Mat):
    sizeMat = Mat.shape[0]
    #print(Mat)
    #print(sizeMat)

    # 計算矩陣A的特征值耙考，特征向量
    eigenvalueMat, eigenvectorMat = np.linalg.eig(Mat)
    #print("特征值：", eigenvalueMat)
    #print("特征向量：", eigenvectorMat)
    
    # 將所有特征值取絕對值
    absEigenvalueMat = map(abs, eigenvalueMat)
    absEigenvalueMat = list(absEigenvalueMat)  
    #print(absEigenvalueMat)
    
    # 絕對值最大的特征值
    maxEigenvalueMat = max(absEigenvalueMat)
    #print("絕對值最大的特征值：", maxEigenvalueMat)
    
    # 絕對值最大的特征值的索引
    maxEigenvalueIndexMat = absEigenvalueMat.index(maxEigenvalueMat)
    #print(maxEigenvalueIndexMat)
    
    # 絕對值最大的特征值對應(yīng)的特征向量
    maxEigenvectorMat = eigenvectorMat[:, maxEigenvalueIndexMat]
    #print("絕對值最大的特征值對應(yīng)的特征向量：", maxEigenvectorMat)
    
    # 將上述特征向量標準化谜喊，即權(quán)向量   
    standardizeVectorMat = list(map(abs, maxEigenvectorMat)) / sum(list(map(abs, maxEigenvectorMat)))
    #print(standardizeVectorMat)
    
    # 計算不一致程度CI
    CI = (maxEigenvalueMat - sizeMat) / (sizeMat - 1)
    #print(CI)
    
    # 平均隨機一致性指標RI
    listRI = [0, 0, 0.58, 0.90, 1.12, 1.24, 1.32, 1.41, 1.45]
    
    #計算隨機一致性比率
    CR = CI / listRI[sizeMat - 1]
    #print(CR)
    
    return standardizeVectorMat
   

MatA = np.array([[1, 2, 7, 5 ,5],
                 [1/2, 1, 4, 3, 3],
                 [1/7, 1/4, 1, 1/2, 1/2],
                 [1/5, 1/3, 2, 1, 1],
                 [1/5, 1/3, 3, 1, 1]])
standardizeVectorMatA = abhWeightVector(MatA)
print(standardizeVectorMatA)

MatB1 = np.array([[1, 1/3, 1/8],
                  [3, 1, 1/3],
                  [8, 3, 1]])
standardizeVectorMatB1 = abhWeightVector(MatB1)
print(standardizeVectorMatB1)

MatB2 = np.array([[1, 2, 5],
                  [1/2, 1, 2],
                  [1/5, 1/2, 1]])
standardizeVectorMatB2 = abhWeightVector(MatB2)
print(standardizeVectorMatB2)

MatB3 = np.array([[1, 1, 3],
                  [1, 1, 3],
                  [1/3, 1/3, 1]])
standardizeVectorMatB3 = abhWeightVector(MatB3)
print(standardizeVectorMatB3)

MatB4 = np.array([[1, 3, 4],
                  [1/3, 1, 1],
                  [1/4, 1, 1]])
standardizeVectorMatB4 = abhWeightVector(MatB4)
print(standardizeVectorMatB4)

MatB5 = np.array([[1, 4, 1/4],
                  [1, 1, 1/4],
                  [4, 1, 1]])
standardizeVectorMatB5 = abhWeightVector(MatB5)
print(standardizeVectorMatB5)

MatB = np.array([standardizeVectorMatB1, 
                 standardizeVectorMatB2, 
                 standardizeVectorMatB3, 
                 standardizeVectorMatB4, 
                 standardizeVectorMatB5])
print(MatB)

sumY1 = 0
sumY2 = 0
sumY3 = 0
for i in range(0, MatA.shape[0]):
    sumY1 += standardizeVectorMatA[i] * MatB[i][0]
    sumY2 += standardizeVectorMatA[i] * MatB[i][1]
    sumY3 += standardizeVectorMatA[i] * MatB[i][2]
    
sumY = [sumY1, sumY2, sumY3]
print(sumY)
maxY = max(sumY)
theBestIndex = sumY.index(maxY)
print(theBestIndex)