簡述
暑假期間赶掖，為了幫助家中小朋友拓展個(gè)人能力竿裂，讓他學(xué)著去完成一些奧數(shù)題目许帐，發(fā)現(xiàn)其中有一類題型特別常見，示例見下：
- 1 x 2 + 2 x 3 + . . . + 99 x 100 = 99 x 100 x 101 / 3
- 1 x 2 x 3 + 2 x 3 x 4 + . . . + 98 x 99 x 100 = 98 x 99 x 100 x 101 / 4
- 1 x 3 + 3 x 5 + . . . + 97 x 99 = (1 x 3 + 97 x 99 x 101) / 6
- 1 x 4 + 4 x 7 + . . . + 96 x 99 = (1 x 4 x 2 + 96 x 99 x 102) / 9
思考
粗看之下主经，會(huì)感覺上面的公式?jīng)]有通用型 荣暮，完全不是一個(gè)類型。但是罩驻，如果你仔細(xì)看完成 穗酥，并了解其中的公式推導(dǎo)流程的話，其實(shí)你會(huì)發(fā)現(xiàn)一些東西：
- 每個(gè)公式中的每一個(gè)累加項(xiàng)之間都是存在相同的等差關(guān)系
- 公式中的子項(xiàng)乘積項(xiàng)的多少惠遏，以及等差值砾跃，會(huì)直接體現(xiàn)在后面的結(jié)果公式中
推導(dǎo)
通過上面的一些思考慮與觀察，我們能直接把上面的問題推導(dǎo)為以下問題的一個(gè)子集：
a1 x a2 x a3 x . . . x am + a2 x a3 x a4 x . . . x am+1 + . . . + am+k x am+k+1 x . . . x a2m+k
其中{a1a2. . .a2m+k}是一個(gè)等差數(shù)列节吮，每一項(xiàng)均為整數(shù)抽高，其中a1暫規(guī)定值為1，其他值大于等于2透绩，等差標(biāo)識(shí)為d.
通過對(duì)之前示例公式推導(dǎo)過程及其結(jié)果翘骂，我們大膽假設(shè)它的值求導(dǎo)公式會(huì)與幾個(gè)值相關(guān)：
- 初項(xiàng)公式
- 終項(xiàng)公式
- 等差值
- 因式長度
最后的結(jié)果通用公式應(yīng)該為：
a1 x a2 x a3 x . . . x am + a2 x a3 x a4 x . . . x am+1 + . . . + am+k x am+k+1 x . . . x a2m+k = (a1 x a2 x a3 x . . . x am x (d - 1) + am+k x am+k+1 x . . . x a2m+k x a2m+k + 1) / ((m + 1) x d)
當(dāng)d值為1的時(shí)候壁熄，結(jié)果公式退化為:
a1 x a2 x a3 x . . . x am + a2 x a3 x a4 x . . . x am+1 + . . . + am+k x am+k+1 x . . . x a2m+k = am+k x am+k+1 x . . . x a2m+k x a2m+k + 1 / ((m + 1) x d)
詳細(xì)推導(dǎo)公式見下：
- a1 x a2 x a3 x . . . x am = a1 x a2 x a3 x . . . x am x (d * (m + 1)) / (d * (m + 1))
- a2 x a3 x a4 x . . . x am+1 = (a2 x a3 x a4 x . . . x am+1 x am+2 -- a1 x a2 x a3 x . . . x am+1) / (d * (m + 1))
以此類推因式項(xiàng)，把所有因式項(xiàng)相加碳竟，因此有：
a1 x a2 x a3 x . . . x am + a2 x a3 x a4 x . . . x am+1 + . . . + am+k x am+k+1 x . . . x a2m+k = (a1 x a2 x a3 x . . . x am x (d - 1) + am+k x am+k+1 x . . . x a2m+k x a2m+k + 1) / ((m + 1) x d)
推論得以證明是對(duì)的草丧。
求證
按照上面的公式我們可以來求證一些其他例子：
- 1 x 5 + 5 x 9 + 9 x 13 = (1 x 5 x (4 - 1) + 9 x 13 x 17) / (4 x (2+1)) = 167 (其中差值為4，因式項(xiàng)數(shù)為2)
- 1 x 3 x 5 + 3 x 5 x 7 + 5 x 7 x 9 = (1 x 3 x 5 x (2 - 1) + 5 x 7 x 9 x 11) / ( 2 x (3 + 1)) = 435 (其中差值為2莹桅， 因式數(shù)為3）
經(jīng)驗(yàn)證昌执，使用通項(xiàng)公式得出的結(jié)果與原式結(jié)果相同。
