-幾種不同模型概括

????? * 線性模型（Classical Linear Model）：結(jié)局變量為連續(xù)變量撩鹿，服從正態(tài)分布（殘差~）浪读，滿足獨(dú)立性流译、等方差性（方差為常量）封字。自變量也為連續(xù)變量黔州。即線性回歸。

?????* 一般線性模型（General Linear Model）：線性模型的擴(kuò)展阔籽。在其基礎(chǔ)上流妻，自變量可以是連續(xù)變量，也可以是分類變量笆制。比如線性回歸绅这、方差分析、協(xié)方差分析等在辆。對(duì)應(yīng)SAS中的Proc GLM過程证薇。

?????* 線性混合效應(yīng)模型（Linear Mixed Model ）：一般線性模型的擴(kuò)展度苔。允許數(shù)據(jù)不滿足獨(dú)立性和等方差性，但是結(jié)局變量仍為連續(xù)變量浑度，仍需符合線性假設(shè)寇窑。可以同時(shí)包含固定效應(yīng)和隨機(jī)效應(yīng)箩张。對(duì)應(yīng)SAS中的Proc MIXED過程甩骏。

????? * 廣義線性模型（Generalized Linear Model ）：一般線性模型的擴(kuò)展。模型左側(cè)結(jié)局變量為指數(shù)分布族中的一種伏钠，不要求服從正態(tài)分布横漏，可以是連續(xù)變量，也可以是分類變量熟掂。模型右側(cè)仍為線性組合缎浇，通過連接函數(shù)進(jìn)行連接。對(duì)應(yīng)SAS中的Proc GENMOD過程赴肚。

?????* 廣義線性混合效應(yīng)模型（Generalized Linear Mixed Model）：相當(dāng)于廣義線性模型和線性混合效應(yīng)模型的綜合素跺。對(duì)應(yīng)SAS中的Proc GLIMMIX過程。

- 廣義線性模型（Generalized linear model）

?????廣義線性模型的因變量需要為指數(shù)分布族中的一種誉券。正態(tài)分布指厌、二項(xiàng)分布、泊松分布等都可以轉(zhuǎn)換成指數(shù)分布族的形式踊跟。

不同文獻(xiàn)中的標(biāo)注不太一樣踩验，SAS中的ai(Φ)有些文獻(xiàn)中直接標(biāo)注為Φ

SAS help

幾個(gè)參數(shù)的含義如下，分布族中的其他分布對(duì)應(yīng)參數(shù)的不同形式商玫。
大概看一下幫助理解箕憾。
?????Φ：dispersion parameter/scale parameter。常量拳昌，已知或待估計(jì)袭异。
?????θ：Canonical form of the location parameter【嫣伲可以表示均值μ的函數(shù)
?????b(θ)：θ的函數(shù)御铃。
?????y：已知的因變量。

e.g. 正態(tài)分布

Applying Generalized Linear Models

?

SAS Help

????? ????? ?????SAS中的沈矿，

e.g.伽馬分布

Applying Generalized Linear Models

SAS help

SAS Help中不同分布對(duì)應(yīng)的Scale

模型的3個(gè)要素:

1. 因變量（Random component），服從指數(shù)分布族羹膳。e.g. 正態(tài)分布谷羞、泊松分布。
2. 線性預(yù)測(cè)組合（Systematic component）。由協(xié)變量組成的線性預(yù)測(cè) 湃缎。β待估計(jì)犀填。
3. 連接函數(shù)（Link Function）：連接因變量均值和線性預(yù)測(cè)組合之間的單調(diào)可微函數(shù)g(.)，使因變量符合線性組合的范圍嗓违。

。

一般線性模型中（1）為正態(tài)分布蹂季，（3）的連接函數(shù)為恒等函數(shù)（identity function）冕广。
廣義線性模型允許（1）為非正態(tài)分布，（3）可以是任何單調(diào)可微的函數(shù)偿洁。

**

模型中涉及到canonical link function的概念撒汉。SAS中描述為：
The canonical link function is that function which transforms the mean to a canonical location parameter of the exponential dispersion family member。
一個(gè)模型對(duì)應(yīng)的Link function可能有多個(gè)涕滋，如二項(xiàng)分布對(duì)應(yīng)的link function可以是probit或者logit睬辐，都可以將(0,1)范圍內(nèi)的概率轉(zhuǎn)換至線性組合的范圍，使g(μ)∈(-∞,+∞)宾肺。 但只有連接均值μ和Canonical parameter-θ的函數(shù)g被稱之為Canonical Link function溯饵。即g(μ)=θ。
因?yàn)?img class="math-inline" src="https://math.jianshu.com/math?formula=%CE%BC%3Db'(%CE%B8)" alt="μ=b'(θ)" mathimg="1">锨用，則 丰刊，。

二項(xiàng)分布的例子：

對(duì)應(yīng), 即Canonical link function為增拥，即為logit變換啄巧。掌栅，

參考了以下的視頻和書秩仆，幫助理解：
B站的視頻：https://b23.tv/igMu8hr
書：Applying Generalized Linear Models