2012年文數(shù)全國(guó)卷題19
（19）（本小題滿分 12 分）
如圖，三棱柱 中杨凑，側(cè)棱垂直底面，
是棱
的中點(diǎn).
（I）證明∶平面 平面
;
（Ⅱ）平面 分此棱柱為兩部分，求這兩部分體積的比.
【分析】
先觀察一下模型的特點(diǎn)扯键。
由題設(shè)條件可知： 三者間存在兩兩垂直的關(guān)系。
棱柱的上下兩個(gè)底面是等腰直角三角形：.
棱柱的側(cè)面是三個(gè)矩形珊肃。其中有兩個(gè)矩形的長(zhǎng)寬比為 . 這樣的矩形可以拆成兩個(gè)正方形荣刑。這兩個(gè)矩形就是：
.
掌握了以上特征，再來(lái)解答問(wèn)題伦乔，就不困難了厉亏。
【解答第1問(wèn)】
∵ 面
, ∴
.
∵
∴ 面
, ∴
∵ 側(cè)棱垂直底面，∴ 是矩形烈和，
又∵ ,
是棱
的中點(diǎn), ∴
是等腰直角三角形.
∴ .
∵ ,
∴ 面
.
而 面
, ∴ 面
面
.
【解答第2問(wèn)】
由題設(shè)條件和第1問(wèn)結(jié)論可知： 面
,
,
令 , 則
,
.
四棱錐體積
棱柱體積
這兩部分體積的比
【提煉與提高】
本題第1問(wèn)用了一個(gè)常見(jiàn)的套路爱只，可簡(jiǎn)要概括如下：由「線面垂直」推出「線線垂直」；由「線線垂直」推出新的「線面垂直」招刹；再由「線面垂直」推出「面面垂直」恬试。這種轉(zhuǎn)化策略是立體幾何的基本套路，經(jīng)常使用疯暑。
對(duì)初學(xué)者來(lái)說(shuō)训柴，本題第2問(wèn)會(huì)有一些難度。主要的障礙在于：平面 是一個(gè)不太規(guī)則的面妇拯，它既不水平的也不是豎直的幻馁，而且還被棱柱的三個(gè)側(cè)面檔住了。這樣的平面乖阵，對(duì)于解題人的空間想象力是一種挑戰(zhàn)宣赔。所以，成功地解答本題后瞪浸，空間想象力也會(huì)得到鍛煉和提高儒将。
在平面幾何中，三角形是基本的对蒲、核心的研究對(duì)象钩蚊。把多邊形拆分為多個(gè)三角形，是基本的策略蹈矮。在立體幾何中四面體是基本的砰逻、核心的對(duì)象。把多面體拆分為四面體泛鸟，是立體幾何的基本策略蝠咆。本題即體現(xiàn)了這一策略。
概括一下本題中的要點(diǎn)：
如何證明兩平面垂直？
常用對(duì)象「鱉臑」 《九章算術(shù)》中闸翅，將四個(gè)面都為直角三角形的四面體稱之為鱉臑。本題中的
就是一個(gè)鱉臑菊霜。
三直線間是兩兩垂直的關(guān)系坚冀。
