回到射影幾何刻劃雙曲度量幾何军俊，在射影平面上考慮一個任意的、實(shí)的捧存、非退化的二次曲線（絕對形）粪躬，使這個二次曲線不變的（但不要求線上的點(diǎn)不變）的射影群子群稱為雙曲度量群担败，相應(yīng)幾何稱為雙曲度量幾何。其中的不變量是與迭合有關(guān)的那些量镰官。
單重橢圓幾何對應(yīng)的射影變換子群是使射影平面上一個確定的虛橢圓（絕對形）不變提前，橢圓幾何平面是實(shí)射影平面，且其不變量是與迭合有關(guān)的那些量泳唠。
即使二重橢圓幾何也能包括在這種變換觀點(diǎn)之內(nèi)狈网，從三維變換群出發(fā)刻劃二維的度量幾何，變換的子群使空間有限部分的一個定球（曲面）S變換到自身笨腥，球面S就是二重橢圓幾何的“平面”拓哺，同樣，不變量是與迭合有關(guān)的量脖母。
克萊因又考慮比射影幾何更一般的幾何币砂。1872年代數(shù)幾何作為獨(dú)立學(xué)科嶄露頭角建峭，他引入三維變換以刻劃這種幾何，用非齊次坐標(biāo)寫為x'=Φ(x,y,z),y'=ψ(x,y,z),z'=χ(x,y,z)决摧，要求函數(shù)和逆函數(shù)是單值有理函數(shù)亿蒸。這種變換稱為克雷蒙納變換(Cremona transformation)，在其變換下的不變量是代數(shù)幾何的主題掌桩。
克萊因也提出對一一對應(yīng)連續(xù)變化下具有連續(xù)逆變換的不變量進(jìn)行研究边锁，現(xiàn)在稱為同胚變換，這類變換下不變量的研究是拓?fù)鋵W(xué)的主題波岛。雖然黎曼在研究黎曼曲面時也考慮過現(xiàn)在屬于拓?fù)鋵W(xué)的問題茅坛，但提出把拓?fù)鋵W(xué)作為一門重大的幾何學(xué)科，在1872年是大膽的一步则拷。
克萊因時代后贡蓖，對克萊因分類有了增加和進(jìn)一步細(xì)分，但不是所有幾何都能納入克萊因分類煌茬，今天的代數(shù)幾何和微分幾何都不能用這個分類法斥铺。雖然克萊因的幾何觀點(diǎn)不能無所不包，但它給大部分幾何提供了一個系統(tǒng)分類法坛善，并提示了很多可研究的問題晾蜘，他的幾何“定義”指引了幾何思想約50年之久邻眷。此外他強(qiáng)調(diào)變換下的不變性，這個觀點(diǎn)從數(shù)學(xué)推廣到力學(xué)和一般的數(shù)學(xué)物理剔交。在人們注意到麥克斯韋方程經(jīng)洛倫茲變換（仿射幾何的四維子群）的不變性后耗溜，變換下不變性的物理問題，或物理定律的表達(dá)式不依賴于坐標(biāo)系的問題在物理思想中變得重要省容，并引向狹義相對論抖拴。
幾何分類的進(jìn)一步研究至少在亥姆霍茲和索菲斯·李時代引起關(guān)注，他們尋求刻劃剛體運(yùn)動可能的幾何腥椒，亥姆霍茲的基本論文《論幾何的一些基礎(chǔ)事實(shí)》證明了阿宅，若在一個空間內(nèi)剛體運(yùn)動是可能的，則在常曲率空間內(nèi)ds的黎曼表達(dá)式是唯一的笼蛛。索菲斯·李也探討了這個問題洒放，他使用叫做連續(xù)變換群的理論（在他研究常微分方程時已引進(jìn)）刻劃了剛體運(yùn)動可能的各種空間，用的是這些空間所允許的各類變換群滨砍。
