第七講 —— 
：主變量、特解
1. 計(jì)算零空間谈秫、主變量扒寄、自由變量、特解
有矩陣
拟烫，對這個(gè)矩陣消元该编，消元過程中，零空間不會(huì)改變构灸。
消元后上渴，最終得到了階梯形式（echelon form），即非零元素以一種階梯形式出現(xiàn)喜颁。本例中稠氮，主元只有兩個(gè)，主元的數(shù)量是2半开，該數(shù)字稱為矩陣的秩（rank）隔披。
此時(shí)解變成了解
，但解的值和零空間不變寂拆。下面進(jìn)行回代奢米，首先找出主變量（pivot variables），主列（pivot columns）纠永，也就是主元所在的列鬓长，這里存在第一列和第三列兩個(gè)pivot columns，另外兩列為自由列（free columns）尝江，這些自由列表示涉波，可以自由或任意分配數(shù)值給這些未知數(shù)，即列二和列四的乘數(shù)是任意的炭序，因此
和
可以任取啤覆，然后只需求解
和
即可。
寫成方程組的形式惭聂，
窗声，求和可以通過回代，新的知識點(diǎn)：自由變量（free variables）辜纲，自由變量可以取任何值笨觅，這里任意選擇
和
拦耐，回代得到
屋摇，這樣就得到零空間的一個(gè)向量
揩魂，也就是的一個(gè)解。該向量的任意倍數(shù)是方程組的解炮温。得到四維空間中一條無限延伸的直線，直線在零空間中牵舵，但它是整個(gè)零空間嗎柒啤？不是。自由變量有兩個(gè)畸颅，可以任意取值担巩。若
，回代得
没炒，可得到另一個(gè)零空間的向量
涛癌。
以上兩個(gè)向量稱為特解（special solutions），特解也就是特定的解送火，特定在于給自由變量分配的特定值拳话，從而得到零空間內(nèi)特定的解。通過特解能構(gòu)造出整個(gè)零空間种吸。零空間所包含的正好是特解的線性組合弃衍。本例中則為
那么有多少個(gè)特解？每個(gè)自由變量對應(yīng)一個(gè)特解坚俗， 那么有多少自由變量呢镜盯？對于
矩陣，
個(gè)變量猖败，若其秩為
速缆，自由變量個(gè)數(shù)則為
。個(gè)主變量恩闻，表示只有個(gè)方程起作用艺糜，剩下的個(gè)變量都可以自由選取，令其為0判呕、1這樣的特定值倦踢，就能得到特解。
2. 簡化行階梯形式
矩陣
侠草，稱為簡化行階梯形式（reduced row echelon form）辱挥，這意味著
能進(jìn)一步簡化。
边涕，行三均為0晤碘，是因?yàn)槠涫切幸缓托卸木€性組合褂微，消元發(fā)現(xiàn)了這一點(diǎn)，將其剔除园爷。此時(shí)可以向上消元宠蚂，
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。（在Matlab中童社，rref(A)可直接得到R）求厕。它以最簡形式包含了所有信息。主行主列交匯處存在單位陣
扰楼。
寫成方程組的形式呀癣，
，即
弦赖，現(xiàn)在處理自由變量并回代项栏，分別考慮主列和自由列，
這個(gè)步驟其實(shí)相當(dāng)于回代蹬竖，結(jié)果是自由列中數(shù)字的相反數(shù)沼沈。
假設(shè)方程組已經(jīng)是rref形式，有
币厕，這是典型的簡化行階梯形式列另。求解。構(gòu)建零空間矩陣劈榨，它的各列由特解組成访递，記作
，有
同辣，得
拷姿，Matlab可以通過指令null求出。
旱函，
响巢。
再一個(gè)例子，有
棒妨，開始消元踪古，
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。秩仍然為2券腔，矩陣主列的個(gè)數(shù)與其轉(zhuǎn)置相同伏穆。只有一個(gè)自由列。令自由變量為1纷纫，回代枕扫，得到
。零空間內(nèi)還有什么向量呢辱魁？乘以
即可烟瞧，整個(gè)零空間是一條直線诗鸭，記為
。向上消元得到
参滴，進(jìn)而有
强岸。
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