1978年1月14日修壕，一顆偉大的心臟停止了跳動，世界著名的哲學(xué)家，邏輯學(xué)家和數(shù)學(xué)家哥德爾病逝稽亏。
死亡證明說：** 病人死于人格紊亂造成的營養(yǎng)不良和食物不足 **，病逝時體重只有65磅瘪松。
讀者可能會感到疑惑作為普林斯頓高等研究院的終身教授宵睦，世界聞名的學(xué)者，而且又不是生活在60年代初的中國大陸或者是常年饑荒的非洲國家烟馅，一個人怎么會死于營養(yǎng)不良呢郑趁？
是的捆憎，哥德爾的一生飽受精神疾病的折磨攻礼，數(shù)次有過自殺的傾向瞬沦。
晚年更是經(jīng)常懷疑有人要謀殺他边坤，會在他的飯菜里下毒旺订。所以他不相信別人做的飯菜院究，只相信他夫人阿黛爾做的飯菜。
但是太太阿黛爾也病倒了，沒有辦法照顧他眉撵，因此他只能吃一些很簡單的食物或者就是經(jīng)常不吃飯，身體狀況迅速惡化炎功，最終死于營養(yǎng)不良。
偉大哲學(xué)家的凄涼晚景真是令人唏噓不止锈死！
庫爾特.哥德爾1906年4月28日生于捷克的布爾諾川背。早年在維也納大學(xué)攻讀物理和數(shù)學(xué)珍德，并參加維也納學(xué)派哲學(xué)小組的活動，于1930年獲得數(shù)學(xué)博士學(xué)位晴及。1938年哥德爾來到美國普林斯頓高等研究院工作虑稼。
他對邏輯學(xué)和數(shù)學(xué)基礎(chǔ)等領(lǐng)域的研究做出了突出的貢獻(xiàn)，哥德爾做出的工作到底有多么重要學(xué)術(shù)界自有公論溯壶，我們僅從愛因斯坦的一句話就可以大致判斷出哥德爾是屬于重量級的人物，愛因斯坦說：
他晚年之所以堅(jiān)持每天都去辦公室又跛，是因?yàn)樵诼飞峡梢院透绲聽柫奶臁?/p>
哥德爾的妻子阿黛爾比哥德爾大六歲，哥德爾21歲認(rèn)識她的時候阿黛爾已婚并且在夜總會工作礼烈。他們的婚姻遭到哥德爾家人的集體反對但最后有情人還是終成眷屬济丘，婚后他們沒有孩子疟赊。
哥德爾的朋友們對于阿黛爾的評價是“說話尖酸近哟，脾氣暴躁”，但是朋友們的評價并沒有妨礙他們之間的感情戳玫，哥德爾夫婦的感情一直很好。
哥德爾一生最重要的工作是證明了哥德爾不完備性定理府阀，要想了解不完備性定理的大致含義，我們先從希爾伯特雄心勃勃的計(jì)劃說起田巴。
德國著名數(shù)學(xué)家希爾伯特出生于東普魯士的哥尼斯堡，與偉大的哲學(xué)家康德是同鄉(xiāng)。
希爾伯特是一位名副其實(shí)的數(shù)學(xué)大師昔脯，有人將他稱為“數(shù)學(xué)界最后的一位全才”。
希爾伯特希望為整個數(shù)學(xué)尋求一個堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)静陈，他的目標(biāo)是將整個數(shù)學(xué)體系嚴(yán)格公理化（就像歐幾里得的平面幾何學(xué)一樣）拐格，然后運(yùn)用元數(shù)學(xué)（證明數(shù)學(xué)的數(shù)學(xué)）來證明整個數(shù)學(xué)體系是建立在牢不可破的堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)之上的。
首先金踪，他計(jì)劃要將所有數(shù)學(xué)形式化调违，讓每一個數(shù)學(xué)陳述都能用符號表達(dá)出來，讓每一個數(shù)學(xué)家都能用定義好的規(guī)則來處理這些已經(jīng)變成符號的陳述奕锌。
這樣就可以使數(shù)學(xué)家們在思考任何數(shù)學(xué)問題的時候能夠徹底擺脫自然語言的模糊性，取而代之的是毫無含糊之處的符號語言辽话。
然后油啤，證明數(shù)學(xué)是完整的，也就是說所有為真的陳述都能夠被證明幽告，這被稱之為數(shù)學(xué)的完備性；再來證明數(shù)學(xué)是一致的冻河，也就是說不會推出自相矛盾的陳述锭弊，這被稱為數(shù)學(xué)的一致性摔敛。
完備性保證了我們能夠證明所有的真理廷蓉，只要是真的命題就可以被證明；一致性確保我們在不違背邏輯的前提下獲得的結(jié)果是有意義的马昙，不會出現(xiàn)某一個陳述桃犬，它既是真的又是假的。
最后攒暇，期望可以找到一個算法，用此算法可以機(jī)械化地判定數(shù)學(xué)陳述的對錯子房，這被稱為數(shù)學(xué)的可判定性形用。一致性保證了自相矛盾的情況不會出現(xiàn)。
** 「在保證數(shù)學(xué)一致性這個前提之下证杭，如果又有了數(shù)學(xué)的完備性田度，也就是說任何一個數(shù)學(xué)命題都可以被證明或者被證偽」 **。
這其實(shí)就是說解愤，對于任意一個數(shù)學(xué)猜想镇饺，不管它有多難，只要假以時日送讲，通過一代又一代人的努力奸笤，總是可以知道這個猜想對不對，并且證明或證偽它哼鬓。
換句話說监右，在數(shù)學(xué)中，通過邏輯异希，我們必定能夠知道我們想要知道的東西健盒，這只不過是個時間問題。
希爾伯特提出称簿，先計(jì)劃在基礎(chǔ)的數(shù)學(xué)系統(tǒng)中進(jìn)行這樣的形式化扣癣，然后再將其推廣到更廣闊的數(shù)學(xué)系統(tǒng)中，最后實(shí)現(xiàn)整個計(jì)劃予跌。
于是，整個計(jì)劃便歸結(jié)為在算術(shù)系統(tǒng)中進(jìn)行這樣的形式化善茎，并且在算術(shù)系統(tǒng)的內(nèi)部證明它的完備性券册、一致性和可判定性。算術(shù)系統(tǒng)可以說是非常基礎(chǔ)的系統(tǒng)烁焙，我們做算術(shù)航邢，對自然數(shù)做加法、乘法和數(shù)學(xué)歸納法骄蝇，就都用到了這個系統(tǒng)膳殷。
但我們平時只是憑直覺來理解這個系統(tǒng)，而數(shù)學(xué)家追求的是用邏輯的方法來定義它九火，因?yàn)橹挥羞@樣做才會使他們覺得安心赚窃。這似乎不是一個十分困難的任務(wù)，因?yàn)樗阈g(shù)系統(tǒng)并不是一個很復(fù)雜的系統(tǒng)岔激。
在希爾伯特提出這個雄心勃勃的計(jì)劃以后勒极，許多數(shù)學(xué)家都投入了對于這個問題的研究，其中就包括哥德爾虑鼎。在完成自己的博士論文以后辱匿，哥德爾就著手研究更為一般的數(shù)學(xué)系統(tǒng)。
1931年炫彩，他對算術(shù)系統(tǒng)的探索宣告勝利匾七，然而他的這個勝利也就意味著希爾伯特計(jì)劃的失敗。哥德爾的結(jié)論后來被稱為哥德爾不完備性定理江兢。哥德爾不完備性定理包含兩個：
- 第一昨忆，他證明了，對于任意的數(shù)學(xué)系統(tǒng)划址，如果其中包含了算術(shù)系統(tǒng)的話扔嵌，那么這個系統(tǒng)不可能同時滿足完備性和一致性。
也就是說夺颤，要是我們能在一個數(shù)學(xué)系統(tǒng)中做算術(shù)的話痢缎，那么要么這個系統(tǒng)是自相矛盾的，要么有那么一些結(jié)論世澜，它們是真的独旷，但是我們卻無法證明。
- 第二寥裂，他證明了嵌洼，對于任意的數(shù)學(xué)系統(tǒng)，如果其中包含了算術(shù)系統(tǒng)的話封恰，那么我們不能在這個系統(tǒng)的內(nèi)部來證明它的一致性麻养。
哥德爾不完備性定理的證明過程十分復(fù)雜，但是其核心思想是運(yùn)用了邏輯學(xué)里的“自指”的概念诺舔，說的通俗一點(diǎn)就是：「這個陳述它陳述了它自己」鳖昌。
自指是邏輯學(xué)里面很多悖論的根源备畦，比如理發(fā)師悖論——在一個小鎮(zhèn)內(nèi)，只有一名理發(fā)師许昨，他在理發(fā)店門外公布了這樣一個原則：「只為不給自己理發(fā)的人理發(fā)」懂盐。
那么，他自己的頭發(fā)誰來理呢糕档？要是他自己理的話莉恼，他就會自己理發(fā)了，那么根據(jù)他的原則速那，他不應(yīng)該為自己理發(fā)俐银；要是他不給自己理發(fā)的話，根據(jù)他的原則琅坡，他倒是應(yīng)該給他自己理發(fā)了悉患，邏輯似乎在這里失效了。
這種邏輯上的混亂局面榆俺，背后就是羅素悖論：定義一個集合售躁，它包含所有不包含自身的集合，那它是否包含自身茴晋？
從上面的分析我們可以看到陪捷，一切問題在于“包含自身”這種自指的描述。然而這種“自指”的性質(zhì)诺擅，在哥德爾的手中市袖，卻變成了完成證明的重要工具。
哥德爾構(gòu)造了一個命題烁涌，這個命題說的正是它自身的不可證明性苍碟。如果用類似說謊者悖論的語言來描述的話，就可以表達(dá)為：** “不存在對這個命題的形式證明撮执∥⒎澹” **
如果它是真的，那么它是不可證明的抒钱，說明系統(tǒng)是不完備的蜓肆，因?yàn)榇嬖谝粋€真的而又不可證明的命題；
如果它是假的谋币，那么就存在一個對它的證明仗扬，這樣它應(yīng)該是真的，這又說明了系統(tǒng)是自相矛盾的蕾额、不一致的早芭。
這就是哥德爾第一不完備性定理：如果系統(tǒng)包含有自然數(shù)的話，「完備性和一致性不可得兼诅蝶，這個系統(tǒng)要么自相矛盾退个，要么存在著既不能證明也不能證偽的命題」精肃。然后，我們再來僅考慮一致性的問題：
假定系統(tǒng)是一致的帜乞，也就是說不會自相矛盾的，那么我們剛才提到的命題就是不可證明的筐眷。如果我們能在系統(tǒng)內(nèi)部證明系統(tǒng)的一致性的話黎烈，我們就相當(dāng)于在系統(tǒng)內(nèi)部證明了那個命題，這與不可證明性是矛盾的匀谣。
???也就是說照棋，我們做了錯誤的假設(shè)：能在系統(tǒng)內(nèi)部證明系統(tǒng)本身的一致性。
由此武翎，哥德爾證明了他的第二不完備性定理烈炭。如果我們假定數(shù)學(xué)是不會自相矛盾的話，我們就必須承認(rèn)數(shù)學(xué)是不完備的宝恶，也就是說有那么一些數(shù)學(xué)命題是不可判定的：
我們既不能證明它們?yōu)檎娣叮膊荒茏C明它們?yōu)榧佟?/p>
自從哥德爾不完備性定理被證明以來，越來越多的數(shù)學(xué)問題被證明是不可判定的垫毙，這些不可判定的問題也越來越初等霹疫。乍看起來并非不可捉摸，但到頭來卻是不可判定的综芥。
這就給數(shù)學(xué)家們的心頭上壓了重重的一塊大石頭丽蝎，誰也不能肯定自己辛辛苦苦做了十幾年甚至幾十年的題目，會不會突然有一天被證明是在現(xiàn)有的數(shù)學(xué)系統(tǒng)中是不可判定的膀藐。
盡管這樣屠阻，哥德爾不完備性定理仍然帶給我們很多收益，** 至少我們知道了额各，有些東西我們是不可能知道的国觉。 **
哥德爾的不完備性定理，首先是針對“形式系統(tǒng)”的臊泰。只有在存在“形式系統(tǒng)”的條件下蛉加，才會產(chǎn)生“形式與內(nèi)容”之間的不相容性的問題。
理論物理系統(tǒng)作為一個標(biāo)準(zhǔn)的“形式系統(tǒng)”缸逃，其終極形式最終會導(dǎo)致“完備性”與“一致性”之間的不相容针饥。
所以，理論物理的理論的發(fā)展只能是漸進(jìn)的需频、分層次的丁眼，這就是為什么愛因斯坦的相對論可以超越牛頓力學(xué)卻無法取代牛頓力學(xué)的原因。
同樣超越愛因斯坦的相對論也不意味著取代愛因斯坦相對論昭殉，因?yàn)榘鄬φ摾碚摰男问较到y(tǒng)（黎曼幾何）在相應(yīng)的物理內(nèi)容范圍內(nèi)是無矛盾的苞七，相容的藐守。
真理與命題之間的矛盾，似乎是悖論的必然表現(xiàn)蹂风。這個表現(xiàn)的本質(zhì)在于卢厂，它證明了“真理”本身的相對性，而“絕對真理”只能建立在體系完備的基礎(chǔ)上惠啄，哥德爾定理證明了這是不可能的慎恒。
因此融柬，當(dāng)人們追求“絕對真理”的時候趋距，實(shí)際上就已經(jīng)偏離了追求“真理”的正確道路粒氧，其結(jié)果必然就是：發(fā)現(xiàn)“絕對真理”就是絕對的悖論节腐。
因此，20世紀(jì)的哲學(xué)終于擺脫了“絕對真理”的龐雜體系翼雀，開始了自身的變革门怪。
雖然锅纺，哲學(xué)不再充當(dāng)“科學(xué)的教父”，“意識形態(tài)的總司令”坦弟，但它自身卻變的更加接近真理而遠(yuǎn)離了謬誤酿傍。
這也許就是20世紀(jì)的數(shù)學(xué)赤炒，對于哲學(xué)的最大貢獻(xiàn)亏较，而且對于整個人類文明的影響也是非常深遠(yuǎn)的雪情！
