說到這個(gè)定理席函，我似乎應(yīng)該比講雙縫干涉實(shí)驗(yàn)要自信點(diǎn)，畢竟我還算是半個(gè)科班冈涧。是的茂附，我是數(shù)學(xué)系的，而且我差點(diǎn)就讀了數(shù)理邏輯這個(gè)方向督弓。只不過當(dāng)年在做出選擇之前我臨陣脫逃了营曼。說到哥德爾這個(gè)定理，包含著不少筆者的往事雕薪。骨坑。
筆者讀本科的時(shí)候靶溜，圖書館有一本汪芳庭的《數(shù)理邏輯》，當(dāng)時(shí)那本書雖然出版年份很老录煤，卻明顯沒什么人翻過，一年以后那本書就不見了荞胡，在圖書館電子系統(tǒng)搜索一下妈踊，查到了“修繕中”的狀態(tài)，才知道那本書被我翻爛了o>_<o當(dāng)時(shí)前前后后看了好幾遍泪漂。也正因此廊营，后來去北師大，在北師開了數(shù)理邏輯這門課窖梁，理解的都比一同選這門課的同學(xué)要好赘风。
后來還跟著一個(gè)老師學(xué)習(xí)數(shù)理邏輯，去了新加坡一趟纵刘。不過當(dāng)時(shí)帶我的老師自己是搞集合論的邀窃，對(duì)哥德爾定理不算特別感興趣，感覺他覺得這個(gè)定理是trivial的，而且他對(duì)這個(gè)定理的哲學(xué)含義也不感興趣瞬捕。某種意義上鞍历，他對(duì)哲學(xué)也沒有表現(xiàn)出興趣，倒是很符合數(shù)學(xué)系鄙視哲學(xué)系的這個(gè)鄙視鏈肪虎。每次說到他當(dāng)年在美國(guó)劣砍，因?yàn)閷W(xué)數(shù)理邏輯，還修過哲學(xué)課扇救，表情總是那么地調(diào)侃刑枝。
后來見了一個(gè)新加坡的老師，他講了當(dāng)前遞歸論最熱門的問題迅腔，我聽了感覺和我想象的數(shù)理邏輯也有些差距装畅，再加上他自己也明言他不知道這些問題有什么深刻的意義（話說這么誠(chéng)實(shí)的老師還是蠻少見的），后來我也就不敢讀這個(gè)方向沧烈。
應(yīng)該說掠兄，筆者對(duì)哥德爾定理感興趣是因?yàn)?008年時(shí)看了Penrose一本書《皇帝新腦》，這本書認(rèn)為锌雀，哥德爾定理的存在說明人腦比一般圖靈機(jī)要聰明蚂夕。作者是一個(gè)在圈子里有名望但觀點(diǎn)有點(diǎn)特立獨(dú)行的學(xué)者。他在天文學(xué)上和霍金合作過腋逆，又自己搞出了一個(gè)彭羅斯鑲嵌的東西婿牍。
我們今天經(jīng)常聽到有些人這么評(píng)論某學(xué)者“這個(gè)人學(xué)術(shù)水平確實(shí)頗高，但是卻經(jīng)常發(fā)表不負(fù)責(zé)任的言論”惩歉，如果Penrose在中國(guó)牍汹，大概就是這么個(gè)評(píng)價(jià)。他的觀點(diǎn)真的特別清奇柬泽。我當(dāng)年看菲爾茲獎(jiǎng)得主Lions寫的一本好像是泛函的書慎菲，序言還批斗過Penrose關(guān)于圖靈機(jī)的那些胡言亂語。
后來Penrose又寫了一本《Shadows of Mind》锨并，他寫這本書的目的是想嚴(yán)格證明人類比圖靈機(jī)聰明露该。我本來有這本書，但是從來都沒靜得下心讀過第煮，所以我也沒辦法親自評(píng)價(jià)這本書解幼。也許以后有機(jī)會(huì)？反正這本書引起了爭(zhēng)論包警，最后似乎誰都不服誰撵摆，所以也就不了了之。在學(xué)術(shù)圈害晦，特別是討論最時(shí)新的問題特铝，這些是常態(tài)。
Penrose認(rèn)為在量子力學(xué)的框架下，有一些運(yùn)作機(jī)制本身是不可計(jì)算性的鲫剿，這里可計(jì)算性和圖靈可計(jì)算性是等價(jià)的鳄逾，這是一個(gè)無法證明但是普遍承認(rèn)的命題，叫做圖靈--丘奇命題灵莲。而人腦正是采用這種本質(zhì)上不可計(jì)算的方式來運(yùn)作雕凹。
好的，說說正題政冻。在數(shù)理邏輯里邊枚抵，有另一個(gè)版本的二元論，不過這種“二元論”被普遍地接受明场，那就是語法和語義的分離俄精，這里的語法和語義和語言學(xué)里所說的似乎也是有差別的￠叛撸總的來說，語法研究的是一些邏輯符號(hào)嫌套；而語義研究的是這些邏輯符號(hào)背后的含義逆屡。
一開始，那些數(shù)理邏輯的先驅(qū)在考慮的問題是踱讨，能否提出有限個(gè)公理魏蔗，有限個(gè)推理規(guī)則，然后世間一切正確的命題都可以通過這有限個(gè)公理得到痹筛。這些公理莺治，在邏輯規(guī)則的作用下，會(huì)變換出各種形式帚稠，而這些形式的變換是機(jī)械的谣旁，不需要理解的介入的。這就是不介入語義學(xué)的語法學(xué)∽淘纾現(xiàn)在想問的就是榄审，這種機(jī)械的，不帶理解的變換杆麸，能否產(chǎn)生世間一切正確的命題搁进。
一階命題系統(tǒng)和一階謂詞系統(tǒng)都被證明是完備的。這意味著一個(gè)機(jī)器就可以同等效力地產(chǎn)生所有正確的命題昔头。然而饼问，假如這個(gè)邏輯系統(tǒng)包含了算術(shù)，事情就變得困難起來揭斧。而實(shí)際上莱革，這個(gè)困難是本質(zhì)的。
哥德爾定理證明的思路是這樣的。首先要有一個(gè)包含算術(shù)的邏輯系統(tǒng)驮吱，接著茧妒，他對(duì)這個(gè)邏輯系統(tǒng)所有可能的命題都進(jìn)行了編碼。記住左冬，編碼是語義學(xué)而不是語法學(xué)的桐筏。編碼不是這個(gè)邏輯系統(tǒng)能理解的，而是外邊的人賦予的這個(gè)邏輯系統(tǒng)的含義拇砰。比方“3+5梅忌！=3*5”就是第10004256348號(hào)命題之類的。
接著除破，哥德爾找到了這么一系列的命題牧氮，這些命題，從系統(tǒng)里邊來看瑰枫，就是一些很復(fù)雜的邏輯符號(hào)踱葛，但是從外面來看，人們知道它表達(dá)的是“第x個(gè)命題無法在本系統(tǒng)之中被證明”光坝。接著尸诽，在這一系列命題里，人們又找到了一個(gè)這樣的命題盯另，這個(gè)命題是第n號(hào)性含，但從外面來看，它表達(dá)的是“第n個(gè)命題無法在本系統(tǒng)之中被證明”鸳惯。
假如這個(gè)命題被證明了商蕴，那說明這個(gè)系統(tǒng)證明了一個(gè)錯(cuò)的命題，那這個(gè)系統(tǒng)是不靠譜的芝发。所以這個(gè)系統(tǒng)證明不了這個(gè)命題绪商，也說明這個(gè)命題（從外面來看）是真的，如果這個(gè)系統(tǒng)是靠譜的辅鲸，它也不可能證明這個(gè)命題的反命題部宿，因?yàn)樗姆疵}是假的。這就是一個(gè)系統(tǒng)無法證明的真命題了瓢湃。
總的來說理张，一開始數(shù)理邏輯界的人想做的是，能不能找到有限個(gè)公理绵患，再加上邏輯上的規(guī)則雾叭，使得所有的數(shù)學(xué)命題都可以在這個(gè)系統(tǒng)當(dāng)中推出。只不過哥德爾證明了這是不可能的落蝙，對(duì)于特定的系統(tǒng)织狐，人們總是可以基于理解得到一個(gè)在系統(tǒng)里證明不了的真命題暂幼。因?yàn)檫@對(duì)任何一個(gè)包含算術(shù)的邏輯系統(tǒng)都是成立的，也可以看出人類的理解力超越了有限個(gè)公理和固定推理規(guī)則所得到的命題移迫。
不過人類是否超越圖靈機(jī)是另一回事旺嬉。圖靈機(jī)是稍微晚點(diǎn)的概念，雖然它的證明方式和哥德爾定理類似厨埋，但得到的結(jié)果卻差別很大邪媳。
關(guān)于哥德爾定理的含義，爭(zhēng)論是非常激烈的荡陷。哥德爾本人認(rèn)為哥德爾定理至少說明以下兩者至少一者為真“1. 數(shù)學(xué)真理遠(yuǎn)多于人類的認(rèn)知雨效；2. 人類的思考能力無法還原為有限公理在有限規(guī)則下的作用”。
很多沒什么想象力的人都認(rèn)為哥德爾定理只在數(shù)學(xué)當(dāng)中有意義废赞，沒有一般的哲學(xué)含義徽龟；另一些人則認(rèn)為它意義非凡，說明人類在做數(shù)學(xué)推理時(shí)唉地，肯定要運(yùn)用到理解力据悔，不可能只用一些機(jī)械的方法就得到所有可能的真命題。我比較傾向于后面一種觀點(diǎn)耘沼。但是极颓，既然這個(gè)問題在爭(zhēng)議中，也說明它還沒有一個(gè)確定的答案耕拷。
這就是關(guān)于這個(gè)不完備性定理的一個(gè)飛速介紹，后邊我要談一談一些異常體驗(yàn)的事情托享。
