機(jī)器學(xué)習(xí)算法_支持向量機(jī)SVM(2)

線性支持向量機(jī)

一超埋、產(chǎn)生

通常在數(shù)據(jù)中有些特異點(diǎn)（outlier）摔握，將特異點(diǎn)去掉，剩下的大部分?jǐn)?shù)據(jù)組成的集合是線性可分的纹烹。線性不可分意味著某些點(diǎn) $(x_i,y_i)$ 不滿足間隔大于或者等于的約束條件
尤爾小屋

解決辦法：

對(duì)每個(gè)樣本點(diǎn)引入松弛變量 $\xi_i \geq 0$ 蚀乔，使得間隔加上松弛變量之后可以滿足大于等于1的約束條件烁竭，此時(shí)真正的約束條件變成： $y_i(w \bullet x_i+b) \geq 1 - \xi_i$ ，同時(shí)對(duì)每個(gè)松弛變量一個(gè)懲罰項(xiàng) $C$ 吉挣，此時(shí)目標(biāo)函數(shù)從 $\frac{1}{2}||w||^2$ 變成了 $\frac{1}{2}||w||^2+C\sum ^N_{i=1} \xi_i$
懲罰參數(shù) $C$ 越大派撕，對(duì)誤差分類的乘法增大；反之 $C$ 越小睬魂，對(duì)誤差分類的懲罰減小
目標(biāo)函數(shù)兩層含義
- 使 $\frac{1}{2}||w||^2$ 盡量小终吼，也就是間隔盡量大
- 誤分類點(diǎn)的個(gè)數(shù)盡量少，通過 $C$ 進(jìn)行調(diào)和

二氯哮、線性不可分模型支持向量機(jī)的原始問題

原始問題是凸二次規(guī)劃問題 $\mathop \min _{w,b,\xi}\frac{1}{2}||w||^2+C\sum ^N_{i=1} \xi_i$

$s.t. y_i(w \bullet x_i+b) \geq 1-\xi_i,i=1,2,...,N$

$\xi_i \geq 0, i=1,2,...,N$

通過上述3式子可以求出 $w^*,b^*$ 际跪，從而得到分離超平面 $w^* \bullet x+b=0$ 決策函數(shù)為 $f(x)=sign(w^* \bullet x+b)$
這樣的模型稱之為訓(xùn)練樣本不可分時(shí)的線性支持向量機(jī)。線性支持向量機(jī)包含線性可分支持向量機(jī)喉钢。

三姆打、學(xué)習(xí)的對(duì)偶算法

上面3個(gè)式子的對(duì)偶問題是 $\mathop \min _\alpha \frac{1}{2}\sum^N_{i=1}\sum^N_{j=1}\alpha_i\alpha_jy_iy_j(x_i \bullet x_j)-\sum^N_{i=1}\alpha_i$

$s.t. \sum^N_{i=1}\alpha_iy_i=0$

$0\leq \alpha_i \leq C, i=1,2,...,N$

原始最優(yōu)化問題的拉格朗日函數(shù)為 $L(w,b,\xi,\alpha,\mu)=\frac{1}{2}||w||^2+C\sum ^N_{i=1} \xi_i-\sum^N_{i=1}\alpha_i(y_i(w\bullet x_i+b)-1+\xi_i)-\sum^N_{i=1}\mu_i\xi_i$ 其中 $\alpha_i \geq 0,\mu_i \geq 0$

學(xué)習(xí)的對(duì)偶問題轉(zhuǎn)變成拉格朗日的極大極小值問題。

L函數(shù)分別對(duì)求導(dǎo)出牧，令導(dǎo)數(shù)為0穴肘，求出三個(gè)值
- $w=\sum^N_{i=1}\alpha_iy_ix_i$
- $\sum^N_{i=1}\alpha_iy_i=0$
- $C-\alpha_i-\mu_i=0$
再對(duì) $\alpha$ 求出極大值歇盼，可以得到對(duì)偶問題： $P_{127}-P_{128}$ 舔痕，求解出 $\alpha^*=(\alpha^*_1,\alpha^*_2,\alpha^*_3,...,\alpha^*_N)^T$

四、對(duì)偶形式超平面和決策函數(shù)

分離超平面 $\sum^N_{i=1}\alpha^*_iy_i(x \bullet x_i)+b^*=0$
決策函數(shù)為 $f(x)=sign(\sum^N_{i=1}\alpha^*_iy_i(x \bullet x_i)+b^*)$

五、支持向量

軟間隔的支持向量 $x_i$ 或者在間隔邊界上伯复，或者在間隔邊界和分離超平面之間慨代，或者在分離超平面的誤分一側(cè)

$\alpha^*_i < C$ ，則 $\xi_i=0$ 啸如，支持向量剛好落在了間隔邊界上
$\alpha^*_i = C,0 < \xi_i < 1$ 侍匙，則分類正確，支持向量位于間隔邊界和分離超平面之間
$\alpha^*_i = C,\xi_i > 1$ 叮雳，則 $x_i$ 位于分離超平面誤分一側(cè)

線性支持向量機(jī)的三要素

模型：分離超平面和決策函數(shù)
學(xué)習(xí)策略：軟間隔最大化
學(xué)習(xí)方法：凸二次規(guī)劃問題

合頁函數(shù)

線性支持向量機(jī)學(xué)習(xí)的另一種解釋為最小化目標(biāo)函數(shù) $\sum^N_{i=1}[1-y_i(w \bullet x_i+b)]_{+}+\lambda||w||^2$ 上式中想暗，第一項(xiàng)是經(jīng)驗(yàn)損失或者稱之為經(jīng)驗(yàn)風(fēng)險(xiǎn)，函數(shù) $L(y(w \bullet x+b)=[1-y(w \bullet x+b)]_+$ 稱之為合頁函數(shù)下標(biāo)"+"表示如下取正值的函數(shù)
$[z]_+=\begin{cases} z,\quad z > 0 \\ 0,\quad z \leq 0 \end{cases}$

當(dāng)樣本點(diǎn)被正確分類且函數(shù)間隔（確信度） $y_i(w \bullet x_i+b)>1$ 時(shí)帘不，損失函數(shù)是0说莫；否則是 $1-y_i(w\bullet x_i+b)$ 。目標(biāo)函數(shù)的第二項(xiàng)是系數(shù)為 $lambda$ 的 $w$ 的 $L_2$ 范數(shù)寞焙，是正則化項(xiàng)储狭。

最后編輯于：2019.10.08 01:16:27

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