python數(shù)值分析——非線性方程迭代求解與Aitken加速

1實(shí)驗(yàn)內(nèi)容

用迭代法求下列方程的根
f(x)=x^3+2x2+10x-20=0 (x*=1.368808107821372...)，要求誤差< 10-15 嫉拐。
(1)把方程改寫成等價(jià)的迭代格式:
x(k+1) =20/(xk^2+2xk+10)魁兼，取初值x0=1, 求方程的根漠嵌。
(2)把方程改寫成等價(jià)的迭代格式:
xk+1 = 2-(xk^3+2xk2)/10儒鹿，取初值x0=1, 求方程的根几晤。
(3)對(duì)迭代格式(1)和(2)分別用Aitken法進(jìn)行加速，并對(duì)結(jié)果進(jìn)行分析圾浅。

2 算法原理

2.1 不動(dòng)點(diǎn)迭代法

迭代法是一種逐次逼近的方法憾朴，用某種固定格式反復(fù)校正根的近似值，使之逐步精確灸拍，最后達(dá)到滿足精度要求的結(jié)果砾省。

方程f(x)=0化為等價(jià)形式的方程x=φ(x) ，構(gòu)造迭代公式x_k+1=φ(x_k), k=0,1,2,……取初始近似根(迭代初值)x₀纤房，進(jìn)行迭代計(jì)算x1=φ(x₀),x₂=φ(x₁),...,x_k+1=φdf(x_k),……

則有x1翻诉，x2 ,……,xk,……，得到迭代序列{x_k}.如果這個(gè)序列有極限碰煌，則迭代公式是收斂的。

這時(shí)則x(x)蛾派，x稱為函數(shù)φ(x)的不動(dòng)點(diǎn)个少，等價(jià)地有f(x)=0,x^*即為方程的根。連續(xù)函數(shù)φ(x)稱為迭代函數(shù)壳澳。

實(shí)際計(jì)算到|xk-xk-1|<ε(ε是預(yù)定的精度)茫经，取x^*≈x^k萎津。

迭代公式收斂指迭代序列{x^k}收斂锉屈，迭代公式發(fā)散指迭代序列{x^k}不收斂垮耳，即發(fā)散。迭代公式不一定總是收斂儡炼。簡(jiǎn)單迭代法的幾何意義如下：

圖1 不動(dòng)點(diǎn)迭代的幾何表示

（a）收斂

（b）發(fā)散

圖2 收斂與發(fā)散的幾何對(duì)比

??=??(??) 的解稱為函數(shù) ??(??) 的不動(dòng)點(diǎn)，幾何圖像為函數(shù)圖像與正比例函數(shù) ??=??的交點(diǎn)榜贴。迭代形式為：????+1=??(????) 。設(shè)函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn)為 ???鹃共，當(dāng)|??′(???)|<1 時(shí)驶拱，在不動(dòng)點(diǎn)附近的存在一個(gè)領(lǐng)域，使得從領(lǐng)域內(nèi)的某個(gè)值開始的不動(dòng)點(diǎn)迭代收斂蓝纲，收斂到不動(dòng)點(diǎn)。通過(guò) ??????+1≈??′(???)??????式永丝，當(dāng)導(dǎo)數(shù)絕對(duì)值小于1時(shí)箭养，迭代后誤差的線性主部較迭代前誤差小，以導(dǎo)數(shù)絕對(duì)值為收斂常數(shù)線性收斂喝检。唯一不同的是若導(dǎo)數(shù)值為零撼泛，此時(shí)該迭代至少二次收斂。用不動(dòng)點(diǎn)迭代解非線性方程的核心在于將非線性方程轉(zhuǎn)化為一個(gè)收斂的不動(dòng)點(diǎn)迭代纺涤。

2.2 Aitken加速算法

Aitken加速收斂算法基本原理：

對(duì)于收斂的迭代過(guò)程，只要迭代足夠多次撩炊，就可以使結(jié)果達(dá)到任意的精度。但有時(shí)迭代過(guò)程收斂緩慢伯顶，從而使計(jì)算量變得很大骆膝，因此，迭代過(guò)程的加速是個(gè)重要的過(guò)程掐暮。

2.3 牛頓迭代法原理

牛頓迭代法是用于求解等式方程的一種方法政钟。類似于求解F(x)=0的根，牛頓迭代法求解的是近似根精算，這個(gè)想法準(zhǔn)確來(lái)說(shuō)來(lái)源于泰勒展開式碎连，需要求解的表達(dá)式可能非常復(fù)雜，通過(guò)一般的方法鱼辙，我們很難求出它的解。

所以采用了一種近似求解的方法前鹅，取泰勒展開式的前幾項(xiàng)峭梳，隊(duì)原來(lái)的求解函數(shù)做一個(gè)取代，然后捂寿，求解這個(gè)取代原方程的方程的解孵运，作為近似解。當(dāng)然只對(duì)原方程做一次近似求解不行驳概，因?yàn)榈谝淮谓瓶隙ú粫?huì)太準(zhǔn)確，所以還需要不斷地迭代顺又。

首先就要取一個(gè)值作為初始的近似值，然后去求解該點(diǎn)的泰勒展開近似項(xiàng)蹂空，然后求解根果录，之后再以此根對(duì)原方程進(jìn)行近似，然后再求解結(jié)果不斷重復(fù)迭代弱恒，最終就能求得近似解。

牛頓迭代法迭代公式如下：

設(shè)x是f(x) = 0的根分瘦，選取x₀作為x初始近似值琉苇，過(guò)點(diǎn)（x₀, f(x)）做曲線y = f(x)的切線L并扇，則L的方程為y = f(x₀)+f '(x₀)(x-x₀)抡诞，求出L與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)x₁= x₀-f(x₀) / f '(x₀），稱x₁為x的一次近似值肴熏。過(guò)點(diǎn)（x₁, f(x₁)）做曲線y = f(x)的切線顷窒，并求該切線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)x₂= x1-f(x₁)/ f '(x₁)，稱x₂為x的二次近似值鸦做。重復(fù)以上過(guò)程谓着，得r的近似值序列，其中x_n+1=x(nf(x_n)/f'(x_n)治筒，稱為x的n+1次近似值，上式稱為牛頓迭代公式耸袜。

解非線性方程f(x)=0的牛頓法是把非線性方程線性化的一種近似方法。把f(x）在x₀點(diǎn)附近展開成泰勒級(jí)數(shù)f(x) = f(x₀)+(x－x₀)f'(x₀)+(x－x₀)²*f''(x₀)/2! +… 取其線性部分（一次）夷陋，作為非線性方程f(x) = 0的近似方程胰锌，即泰勒展開的前兩項(xiàng)，則有f(x₀)+f'(x₀)(x－x₀)=0 設(shè)f'(x₀）≠0則其解為x₁=x₀－f(x₀)/f'(x₀) 這樣酬土，得到牛頓法的一個(gè)迭代序列：x(n+1）= x_n－f(x_n) / f '(x_n)格带。

牛頓迭代法，取得是泰勒展開式的前兩項(xiàng)屈呕，也就是線性近似棺亭，所以迭代比較快，容易計(jì)算嗽桩。

圖3 牛頓迭代法幾何表示

3 程序框圖

圖4 Aitken加速法算法框圖

圖5 牛頓迭代法算法框圖

4 編程實(shí)現(xiàn)

利用所編程序碌冶，求解下列方程的根:
以下將用Python進(jìn)行編程實(shí)驗(yàn)涝缝，利用不動(dòng)點(diǎn)迭代法與牛頓迭代法求解題目中方程的根，并且利用Aitken加速方法對(duì)其進(jìn)行加速嫩挤，最后進(jìn)行結(jié)果分析與討論。
利用不動(dòng)點(diǎn)迭代法的Python代碼詳解及運(yùn)行結(jié)果：

（1）把方程改寫成等價(jià)的迭代格式: xk+1+20/(xk2+2xk+10)岂昭，取初值x0=1，求方程的根邑遏。
第（1）種迭代格式代碼詳解：

from sympy import *


def fun():
    """
    求解方程的符號(hào)定義
    :return:方程
    error:這里不能用math庫(kù)中的函數(shù)恰矩，pow()需要調(diào)用符號(hào)庫(kù)中的函數(shù)，即sympy.pow()
    或者用from sympy import * 來(lái)導(dǎo)入sympy中的所有函數(shù)纪吮，之后直接寫pow()函數(shù)即
    是默認(rèn)的sympy中的函數(shù)萎胰。
    """
    x = symbols('x')  # 符號(hào)變量的定義
    # return 2 * exp(-x) * sin(x) + 2 * cos(x) - 0.25
    return pow(x, 3) + 2.0 * pow(x, 2) + 10.0 * x - 20.0  # 返回函數(shù)的值


def fixedPoint(x0, eps, maxIter):
    """
    不動(dòng)點(diǎn)迭代法的作用是，求解非線性方程的根冰肴，采用逐步逼近的方法進(jìn)行計(jì)算
    :param x0:迭代初值
    :param eps:誤差精度要求
    :param maxIter:最大迭代次數(shù)
    :return:返回值為None
    """
    x = symbols('x')
    fh = fun()
    x_n = x0  # 定義初值
    k = 0  # 初始化迭代次數(shù)
    errval = 0  # 初始化誤差
    print('%3s %10s %18s' % ('迭代次數(shù)', '方程近似值', '迭代誤差'))
    for k in range(maxIter):
        x_b = x_n  # 代表x_n
        x_n = 20 / (pow(x_b, 2) + 2 * x_b + 10)  # 寫出第一種迭代函數(shù)格式
        errval = abs(fh.evalf(subs={x: x_n}))  # 第k次迭代誤差的大小
        print('%3d %22.15f %22.15f' % (k + 1, x_n, errval))  # 分別輸出迭代次數(shù)榔组，方程的近似根以及迭代誤差
        if errval <= eps:
            break
    if k + 1 <= maxIter - 1:
        print('方程在滿足精度' + str(eps) + '的條件下，近似解為：'
              + str(x_n) + ',誤差為：' + str(errval))
    else:
        print('不動(dòng)點(diǎn)迭代法求解方程的根检痰，已經(jīng)達(dá)到最大迭代次數(shù)锨推，也可能不收斂或精度過(guò)高...')
    return None


if __name__ == '__main__':
    fh = fun()
    plot(fh)
    x0 = float(input('請(qǐng)輸入迭代初值：'))  # input函數(shù)總是以字符串的形式返回
    eps = float(input('請(qǐng)輸入誤差精度要求：'))  # 方程解的精度要求是近似解與真值之間的誤差
    maxIter = int(input('請(qǐng)輸入最大迭代次數(shù)：'))  # 方程一般會(huì)迭代無(wú)數(shù)次，必須定義其迭代的次數(shù)，以求收斂
    fixedPoint(x0, eps, maxIter)
    print('方程為：', '%30s' % (str(fun())))
    print('迭代函數(shù)為：', '%20s' % ('20 / (x**2 + 2 * x + 10)'))

image.png

（2）把方程改寫成等價(jià)的迭代格式: xk+1 = 2-(xk3+2xk2)/10锦担，取初值x0=1, 求方程的根洞渔。
第二種迭代格式代碼詳解：

from sympy import *


def fun():
    """
    求解方程的符號(hào)定義
    :return:方程
    error:這里不能用math庫(kù)中的函數(shù)缚态，pow()需要調(diào)用符號(hào)庫(kù)中的函數(shù)，即sympy.pow()
    或者用from sympy import * 來(lái)導(dǎo)入sympy中的所有函數(shù)玫芦，之后直接寫pow()函數(shù)即
    是默認(rèn)的sympy中的函數(shù)。
    """
    x = symbols('x')  # 符號(hào)變量的定義
    # return 2 * exp(-x) * sin(x) + 2 * cos(x) - 0.25
    return pow(x, 3) + 2.0 * pow(x, 2) + 10.0 * x - 20.0  # 返回函數(shù)的值


def fixedPoint(x0, eps, maxIter):
    """
    不動(dòng)點(diǎn)迭代法的作用是医增，求解非線性方程的根，采用逐步逼近的方法進(jìn)行計(jì)算
    :param x0:迭代初值
    :param eps:誤差精度要求
    :param maxIter:最大迭代次數(shù)
    :return:返回值為None
    """
    x = symbols('x')
    fh = fun()
    x_n = x0  # 定義初值
    k = 0  # 初始化迭代次數(shù)
    errval = 0  # 初始化誤差
    print('%3s %10s %18s' % ('迭代次數(shù)', '方程近似值', '迭代誤差'))
    for k in range(maxIter):
        x_b = x_n  # 代表x_n
        x_n = 2 - (pow(x_b, 3) + 2 * pow(x_b, 2))/10  # 寫出第二種迭代函數(shù)格式
        errval = abs(fh.evalf(subs={x: x_n}))  # 第k次迭代誤差的大小
        print('%3d %22.15f %22.15f' % (k + 1, x_n, errval))  # 分別輸出迭代次數(shù)叶骨，方程的近似根以及迭代誤差
        if errval <= eps:
            break
    if k + 1 <= maxIter - 1:
        print('方程在滿足精度' + str(eps) + '的條件下，近似解為：'
              + str(x_n) + ',誤差為：' + str(errval))
    else:
        print('不動(dòng)點(diǎn)迭代法求解方程的根天揖，已經(jīng)達(dá)到最大迭代次數(shù)跪帝，也可能不收斂或精度過(guò)高...')
    return None


if __name__ == '__main__':
    fh = fun()
    plot(fh)
    x0 = float(input('請(qǐng)輸入迭代初值：'))  # input函數(shù)總是以字符串的形式返回
    eps = float(input('請(qǐng)輸入誤差精度要求：'))  # 方程解的精度要求是近似解與真值之間的誤差
    maxIter = int(input('請(qǐng)輸入最大迭代次數(shù)：'))  # 方程一般會(huì)迭代無(wú)數(shù)次，必須定義其迭代的次數(shù)万细，以求收斂
    fixedPoint(x0, eps, maxIter)
    print('方程為：', '%30s' % (str(fun())))
    print('迭代函數(shù)為：', '%20s' % ('2 - (x**3 + 2 * x**2)/10'))

image.png

（3）對(duì)迭代格式(1)和(2)分別用Aitken法進(jìn)行加速赖钞，并對(duì)結(jié)果進(jìn)行分析聘裁。
迭代格式
第（1）種迭代格式Aitken加速法代碼詳解：

from sympy import *


def Aitken(x0, eps, iterNum, Phi):
    xk_1 = x0
    errval = 0
    print('%3s %10s %18s' % ('迭代次數(shù)', '方程近似值', '迭代誤差'))
    for k in range(iterNum):
        y = Phi(xk_1)
        z = Phi(y)
        if (z - 2 * y + xk_1) != 0:
            xk = xk_1 - (y - xk_1) ** 2 / (z - 2 * y + xk_1)
            errval = abs(xk - xk_1)
            print('%3d %22.15f %22.15f' % (k + 1, xk, errval))
            if errval < eps:
                return xk
            else:
                xk_1 = xk
        else:
            return xk
    print('方法失敗')
    return 0


def Phi(x):
    return 20 / (pow(x, 2) + 2 * x + 10)


if __name__ == '__main__':
    x = symbols('x')
    x0 = float(input('請(qǐng)輸入迭代初值：'))  # input函數(shù)總是以字符串形式返回
    eps = float(input('請(qǐng)輸入迭代誤差精度要求：'))  # 方程誤差精度要求為迭代近似值與真值之間的差值
    iterNum = int(input('請(qǐng)輸入最大迭代次數(shù)：'))  # 最大迭代次數(shù)限制了方程的收斂
    Phi(x)
    Aitken(x0, eps, iterNum, Phi)

image.png

第（2）種迭代格式Aitken加速法代碼詳解：

from sympy import *


def Aitken(x0, eps, iterNum, Phi):
    xk_1 = x0
    errval = 0
    print('%3s %10s %18s' % ('迭代次數(shù)', '方程近似值', '迭代誤差'))
    for k in range(iterNum):
        y = Phi(xk_1)
        z = Phi(y)
        if (z - 2 * y + xk_1) != 0:
            xk = xk_1 - (y - xk_1) ** 2 / (z - 2 * y + xk_1)
            errval = abs(xk - xk_1)
            print('%3d %22.15f %22.15f' % (k + 1, xk, errval))
            if errval < eps:
                return xk
            else:
                xk_1 = xk
        else:
            return xk
    print('方法失敗')
    return 0


def Phi(x):
    return 2 - (pow(x, 3) + 2 * pow(x, 2))/10


if __name__ == '__main__':
    x = symbols('x')
    x0 = float(input('請(qǐng)輸入迭代初值：'))  # input函數(shù)總是以字符串形式返回
    eps = float(input('請(qǐng)輸入迭代誤差精度要求：'))  # 方程誤差精度要求為迭代近似值與真值之間的差值
    iterNum = int(input('請(qǐng)輸入最大迭代次數(shù)：'))  # 最大迭代次數(shù)限制了方程的收斂
    Phi(x)
    Aitken(x0, eps, iterNum, Phi)

image.png

牛頓迭代法代碼詳解：

from sympy import *


def fun():
    """
    求解方程的符號(hào)定義
    :return:方程
    error:這里不能用math庫(kù)中的函數(shù)献起，pow()需要調(diào)用符號(hào)庫(kù)中的函數(shù)镣陕，即sympy.pow()
    或者用from sympy import * 來(lái)導(dǎo)入sympy中的所有函數(shù)，之后直接寫pow()函數(shù)即
    是默認(rèn)的sympy中的函數(shù)呆抑。
    """
    x = symbols('x')  # 符號(hào)變量的定義
    # return 2 * exp(-x) * sin(x) + 2 * cos(x) - 0.25
    return pow(x, 3) + 2.0 * pow(x, 2) + 10.0 * x - 20.0  # 返回函數(shù)的值


def diffFun():
    """
    求解方程的一階導(dǎo)數(shù)
    :return: 一階導(dǎo)數(shù)
    """
    return fun().diff()


def newtonIterative(x0, eps, maxIter):
    """
    牛頓迭代函數(shù)的作用，求解非線性方程的根厌殉，采用逼近法的思想
    :param x0:迭代初值
    :param eps:誤差精度要求
    :param maxIter:最大迭代次數(shù)
    :return:返回值為None
    """
    # x1 = x0 - f(x0)/f'(x0)==>x1 = x2 - f(x1)/f'(x1)...
    x = symbols('x')
    fh = fun()  # 引用方程
    dfh = diffFun()  # 引用方程的一階導(dǎo)數(shù)
    x_n = x0
    k = 0
    errval = 0
    print('%3s %10s %18s' % ('迭代次數(shù)', '方程近似值', '迭代誤差'))
    # 利用牛頓迭代法的思想逐步逼近精確解
    for k in range(maxIter):
        x_b = x_n  # 代表x(n)
        fx = fh.evalf(subs={x: x_b})  # 方程在x_n處的數(shù)值
        dfx = dfh.evalf(subs={x: x_b})  # 一階導(dǎo)數(shù)方程在x_n處的方程
        x_n = x_b - fx / dfx  # 牛頓迭代公式
        errval = abs(fh.evalf(subs={x: x_n}))  # 第k次迭代誤差的大小
        print('%3d %22.15f %22.15f' % (k + 1, x_n, errval))
        if errval <= eps:
            break
    if k + 1 <= maxIter - 1:
        print('方程在滿足精度' + str(eps) + '的條件下公罕，近似解為：'
              + str(x_n) + ',誤差為：' + str(errval))
    else:
        print('牛頓迭代法求解數(shù)值逼近，已經(jīng)達(dá)到最大迭代次數(shù)楼眷，也可能不收斂或精度過(guò)高...')
    # print(x0, eps, maxIter)
    return None


if __name__ == '__main__':
    fh = fun()
    dfh = diffFun()
    plot(fh)
    plot(dfh)
    x0 = float(input('請(qǐng)輸入迭代初值：'))  # input函數(shù)總是以字符串的形式返回
    eps = float(input('請(qǐng)輸入誤差精度要求：'))  # 方程解的精度要求是近似解與真值之間的誤差
    maxIter = int(input('請(qǐng)輸入最大迭代次數(shù)：'))  # 方程一般會(huì)迭代無(wú)數(shù)次，必須定義其迭代的次數(shù)桥状，以求收斂
    newtonIterative(x0, eps, maxIter)
    print('方程為：', '%30s' % (str(fun())))
    print('方程的導(dǎo)數(shù)為：' '%22s' % (str(diffFun())))

image.png

5 結(jié)果分析與討論

圖6 方程的曲線

由方程的曲線可以看出辅斟，此方程的根在1附近只有一個(gè)根芦拿，因此迭代初值取1可以降低迭代次數(shù)，節(jié)省迭代時(shí)間酵幕。
（1）從不動(dòng)點(diǎn)迭代法與牛頓迭代法的結(jié)果對(duì)比可以看出缓苛，在精度1e-15高精度的情況下，方程很難在100次迭代中得到近似解未桥。但是牛頓迭代法對(duì)于方程的收斂速度高于不動(dòng)點(diǎn)迭代法。
（2）在兩種不同的迭代格式下冬耿，從運(yùn)行結(jié)果來(lái)看：第（1）種迭代格式收斂，但由于精度過(guò)高日月，達(dá)到最大迭代次數(shù)缤骨；第（2）種迭代格式是發(fā)散的，不論精度绊起，都不會(huì)收斂。
（3）分別對(duì)兩種迭代格式用Aitken法進(jìn)行加速，結(jié)果可以看出兩種迭代格式在1e-15的高精度下瘫里，均處于收斂的情況。不同的是第（1）種迭代格式在4此迭代后收斂谨读，而第（2）種迭代格式卻需要5次迭代才能收斂。但通過(guò)Aitken法加速之后铐尚，出現(xiàn)了以下兩種情況：
1）由于精度過(guò)高引起的達(dá)到最大迭代次數(shù)的問(wèn)題得以解決，函數(shù)收斂宣增；
2）由于迭代格式的發(fā)散問(wèn)題導(dǎo)致無(wú)法求解方程，在加速的情況下帖旨，也可以很快收斂，進(jìn)一步說(shuō)明了Aitken加速法的巨大作用解阅。

6 參考：

[1]https://baike.baidu.com/item/%E7%89%9B%E9%A1%BF%E8%BF%AD%E4%BB%A3%E6%B3%95/10887580?fr=aladdin

[2]https://blog.csdn.net/weixin_45720246/article/details/115916645

[3]https://www.freesion.com/article/6284628111/

[4]https://blog.csdn.net/ReDreamme/article/details/111561395?utm_medium=distribute.pc_aggpage_search_result.none-task-blog-2_{aggregatepage}first_rank_ecpm_v1~rank_v31_ecpm-10-111561395.pc_agg_new_rank&utm_term=%E4%B8%8D%E5%8A%A8%E7%82%B9%E8%BF%AD%E4%BB%A3%E6%B3%95%E5%92%8CAitken%E6%B3%95&spm=1000.2123.3001.4430

[5]https://www.bilibili.com/video/BV1Lq4y1U7Hj?spm_id_from=333.999.0.0

[6]《數(shù)值分析》歐陽(yáng)潔等货抄。

最后編輯于：2022.04.06 19:16:43

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1實(shí)驗(yàn)內(nèi)容

2 算法原理

2.1 不動(dòng)點(diǎn)迭代法

2.2 Aitken加速算法

2.3 牛頓迭代法原理

3 程序框圖

4 編程實(shí)現(xiàn)

5 結(jié)果分析與討論

6 參考：

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