數(shù)值分析：線性方程組迭代求解

前言

常用的線性方程組的直接法求解方法有LU分解埋虹、高斯消去诗鸭、列主元消去法等，但是這些直接法最大的缺點(diǎn)就是對(duì)系數(shù)矩陣要求太高对室！導(dǎo)致直接解法的通用性受限。反觀近似求解咖祭，迭代形式簡(jiǎn)單掩宜、程序方便寫(xiě)、創(chuàng)造收斂格式就可以迭代達(dá)到任意精度么翰！看過(guò)本文后牺汤，相信以后你會(huì)選擇用迭代法。

本文所有方法對(duì)應(yīng)的matlab程序

迭代方法

常用的迭代方法有3種：雅克比迭代浩嫌、高斯-賽德?tīng)柕?超)松弛迭代檐迟。3者的關(guān)系是：雅克比迭代 → 賽德?tīng)柕?→ 松弛迭代。所以3者的思路是一樣的码耐，這是迭代格式不一樣而已追迟。

注意：本文所討論方程組都是n個(gè)方程n個(gè)未知數(shù)，即系數(shù)矩陣為正方形骚腥。

雅克比迭代

對(duì)于下面的n個(gè)方程n個(gè)未知數(shù)的正方形線性方程組：

$\begin{cases} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + a_{13}x_3 + \cdots + a_{1n}x_n = b_1 & \\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + a_{23}x_3 + \cdots + a_{2n}x_n = b_2 & \\ \quad \quad \quad\quad\quad\quad\quad\quad\cdots \cdots & \\ a_{n1}x_1 + a_{n2}x_2 + a_{n3}x_3 + \cdots + a_{nn}x_n = b_n & \end{cases}$

如果系數(shù)矩陣A可逆敦间，且對(duì)角元素 $\color{red}{a_{ii}≠0}$ ，根據(jù)克拉默法則該正方形方程組有唯一解束铭！現(xiàn)將方程改寫(xiě)如下廓块，即把第 $i$ 行的 $x_i$ 未知數(shù)單提到方程左邊：

$\begin{cases} x_1 = \frac{1}{a_{11}}(\quad - a_{12}x_2 - a_{13}x_3 - \cdots - a_{1n}x_n + b_1) & \\ x_2 = \frac{1}{a_{22}}(a_{21}x_1- \quad - a_{23}x_3 - \cdots - a_{2n}x_n + b_2) & \\ \quad \quad \quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad \cdots \cdots & \\ x_n = \frac{1}{a_{nn}}(a_{n1}x_1 - a_{n2}x_2 - \cdots - a_{n,n-1}x_{n-1} - \quad + b_n) & \end{cases}$

上式改成迭代格式很簡(jiǎn)單：

$\begin{cases} x_1^{(k+1)} = \frac{1}{a_{11}}(\quad - a_{12}x_2^{(k)} - a_{13}x_3^{(k)} - \cdots - a_{1n}x_n^{(k)} + b_1) & \\ x_2^{(k+1)} = \frac{1}{a_{22}}(a_{21}x_1^{(k)}- \quad - a_{23}x_3^{(k)} - \cdots - a_{2n}x_n^{(k)} + b_2) & \\ \quad \quad \quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad \cdots \cdots & \\ x_n^{(k+1)} = \frac{1}{a_{nn}}(a_{n1}x_1^{(k)} - a_{n2}x_2^{(k)} - \cdots - a_{n,n-1}x_{n-1}^{(k)} - \quad + b_n) & \end{cases}$

或者把第 $i$ 行的 $x_i$ 在右邊空的地方填上，前面再補(bǔ)一個(gè)可得另一迭代格式：√

$\begin{cases} x_1^{(k+1)} = x_1^{(k)} - \frac{1}{a_{11}}( a_{11}x_1^{(k)} + a_{12}x_2^{(k)} + a_{13}x_3^{(k)} + \cdots + a_{1n}x_n^{(k)} - b_1) & \\ x_2^{(k+1)} = x_2^{(k)} - \frac{1}{\color{blue}{a_{22}}}( a_{21}x_1^{(k)} + a_{22}x_2^{(k)} + a_{23}x_3^{(k)} + \cdots + a_{2n}x_n^{(k)} - b_2) & \\ \quad \quad \quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad \cdots \cdots & \\ x_n^{(k+1)} = x_n^{(k)} - \frac{1}{\color{blue}{a_{nn}}}( a_{n1}x_1^{(k)} + a_{n2}x_2^{(k)} + a_{n3}x_3^{(k)} + \cdots + a_{nn}x_n^{(k)} - b_n) & \end{cases}$

得到上面的迭代格式契沫，其實(shí)任務(wù)已完成带猴！但為了好編程，還是用矩陣表示為好懈万，設(shè)：

$x^{(k)} = (x_1^{(k)}, x_2^{(k)}, x_3^{(k)}, \cdots, x_n^{(k)})^T$

$b = (b_1, b_2, b_3, \cdots, b_n)^T$

$D = \left( \begin{matrix} a_{11} & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & a_{22} & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & a_{33} & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & a_{nn} \end{matrix} \right)$

隨意給定一組初始值 $x^{0}$ 拴清，可得到3種完全等價(jià)的矩陣迭代格式：

$\begin{cases} x^{(k+1)} = x^{(k)} - D^{-1}(Ax^{(k)} - b) & 用處: 推導(dǎo)后面2種方法 \\ x^{(k+1)} = \color{blue}{(E - D^{-1}A)}x^{(k)} + \color{blue}{D^{-1}b} & 用處: 用此式編程 \\ x^{(k+1)} = \color{blue}{B_1}x^{(k)} + \color{blue}{g_1} & 用處: B_1用來(lái)判斷收斂性 \end{cases}$

注意：上面兩式中的藍(lán)色對(duì)應(yīng)相等。

到此钞速，雅克比迭代格式就得到了贷掖，可以看到非常容易編程實(shí)現(xiàn)！但是渴语，大家注意到上面"標(biāo)紅"的條件：對(duì)角線元素如果等于0了苹威，那么D對(duì)角矩陣就不可逆，那迭代不就連格式都寫(xiě)不出來(lái)驾凶？這里先埋下伏筆牙甫，后文會(huì)專(zhuān)門(mén)說(shuō)明如何用"預(yù)處理"方法完美解決該問(wèn)題掷酗！

高斯-賽德?tīng)柕?/h2>
思想：在同一輪迭代中，前面已經(jīng)更新的結(jié)果可以在本輪中給后面的用窟哺！而不是像雅克比迭代那樣等一輪全結(jié)束了再一起更新泻轰！因此收斂更快。

迭代格式為：

$\begin{cases} x_1^{(k+1)} = x_1^{(k)} - \frac{1}{a_{11}}( a_{11}x_1^{(k)} + a_{12}x_2^{(k)} + a_{13}x_3^{(k)} + \cdots + a_{1n}x_n^{(k)} - b_1) & \\ x_2^{(k+1)} = x_2^{(k)} - \frac{1}{\color{blue}{a_{22}}}( a_{21}x_1^{\color{blue}{(k+1)}} + a_{22}x_2^{(k)} + a_{23}x_3^{(k)} + \cdots + a_{2n}x_n^{(k)} - b_2) & \\ \quad \quad \quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad \cdots \cdots & \\ x_n^{(k+1)} = x_n^{(k)} - \frac{1}{\color{blue}{a_{nn}}}( a_{n1}x_1^{\color{blue}{(k+1)}} + a_{n2}x_2^{\color{blue}{(k+1)}} + a_{n3}x_3^{\color{blue}{(k+1)}} + \cdots + a_{nn}x_n^{(k)} - b_n) & \end{cases}$

同樣改為矩陣格式且轨，這里稍微多一步把A系數(shù)矩陣單純拆成上浮声、對(duì)角、下3個(gè)部分：

$A = L + D + U$

$L = \left( \begin{matrix} 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ a_{21} & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ a_{31} & a_{32} & 0 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & a_{n3} & \cdots & 0 \end{matrix} \right) \quad U = \left( \begin{matrix} 0 & a_{12} & a_{13} & \cdots & a_{1n} \\ 0 & 0 & a_{23} & \cdots & a_{2n} \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & a_{3n} \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 \end{matrix} \right)$

注意1："單純"分解就是單純旋奢、簡(jiǎn)單的拆分成上泳挥、對(duì)角、下這3個(gè)部分至朗！
注意2：matlab如何快速單純?nèi)∩舷氯菂⒖急疚?/a>屉符！

隨意給定一組初始值 $x^{0}$ ，可得到2種完全等價(jià)的矩陣迭代格式：

$\begin{cases} x^{(k+1)} = \color{blue}{-(D + L)^{-1}U}x^{(k)} + \color{blue}{(D+L)^{-1}b} & 用處: 用此式編程 \\ x^{(k+1)} = \color{blue}{B_2}x^{(k)} + \color{blue}{g_2} & 用處: B_2用來(lái)判斷收斂性 \end{cases}$

高斯-賽德?tīng)柕酱私Y(jié)束锹引，同樣非常好編程實(shí)現(xiàn)矗钟！但是同樣有一個(gè)潛在問(wèn)題：如果對(duì)角矩陣D中有0，那么(D+L)這個(gè)下三角陣的對(duì)角元素有0嫌变，是不可逆的吨艇！也就是說(shuō)和前面雅克比迭代一樣，系數(shù)矩陣A若對(duì)角元素有0腾啥，連迭代格式都寫(xiě)不出來(lái)秸应！

(超)松弛迭代：

前面高斯-賽德?tīng)柗ㄖ刑岬搅藢⑾禂?shù)矩陣A進(jìn)行單純/簡(jiǎn)單分解： $A = L + D + U$ ，將上式分別帶入到雅克比碑宴、高斯-賽德?tīng)栔锌傻枚咝碌牡?實(shí)際中不使用)：

新雅克比迭代：

$x^{(k+1)} = x^{(k)} - D^{-1}(Lx^{(k)} + Dx^{(k)} + Ux^{(k)} - b)$

新高斯-賽德?tīng)柕?/p>
$x^{(k+1)} = x^{(k)} - D^{-1}(Lx^{\color{blue}{(k+1)}} + Dx^{(k)} + Ux^{(k)} - b)$

說(shuō)明：搞成上面這兩種迭代格式软啼，純粹是為了了解他們真實(shí)迭代過(guò)程的內(nèi)涵，不是為了實(shí)際使用(實(shí)際使用還是用前文說(shuō)的那些)的哈延柠！在新高斯-塞德斯基礎(chǔ)上引入一個(gè)常數(shù)ω祸挪，得到：

(超)松弛迭代：

$x^{(k+1)} = x^{(k)} - \color{blue}{\omega} D^{-1}(Lx^{\color{blue}{(k+1)}} + Dx^{(k)} + Ux^{(k)} - b)$

同樣，將上式稍作改寫(xiě)贞间，即把所有的(k+1)次冪項(xiàng)都移到移到等號(hào)左邊贿条，可得適宜編程和收斂判斷的最終的2種形式：

$\begin{cases} x^{(k+1)} = \color{blue}{(D+\omega L)^{-1} [(1-\omega)D - \omega U]} x^{(k)} + \color{blue}{\omega (D+\omega L)^{-1}}b & 用處: 用此式編程 \\ x^{(k+1)} = \color{blue}{B_3}x^{(k)} + \color{blue}{g_3} & 用處: B_3用來(lái)判斷收斂性 \end{cases}$

同樣，(超)松弛迭代也非常容易編程實(shí)現(xiàn)增热！只要參數(shù)ω?cái)?shù)值給的得當(dāng)整以，收斂速度會(huì)變高斯-賽德?tīng)柨欤〉劣谌《嗌倬穑茈y定奪公黑。

因?yàn)?超)松弛迭代就是基于高斯-賽德?tīng)柕鷣?lái)的，所以它同樣存在一個(gè)問(wèn)題：如果系數(shù)矩陣A對(duì)角元素有0，那么同樣連迭代格式也寫(xiě)不出來(lái)凡蚜！下面我們就用一種簡(jiǎn)單的"預(yù)處理"方法來(lái)完美解決對(duì)角元素有0的情況人断！目標(biāo)：通過(guò)預(yù)處理后，新的等價(jià)方程組一定可以寫(xiě)出迭代表達(dá)式朝蜘！

迭代法的收斂性判斷

判斷所依據(jù)的迭代格式：

$x^{(k+1)} = \color{red}{B}x^{(k)} + g$

收斂充要條件： $\rho(B) < 1$ 恶迈，或： $\parallel B \parallel < 1$ 。即B的 譜半徑或任意一種范數(shù)要小于1谱醇，數(shù)值越小收斂越快暇仲！

2條重要的特殊推論：

若系數(shù)矩陣A為對(duì)稱正定陣，則高斯-賽德?tīng)?/strong>迭代對(duì)任意初始值都副渴！收熔吗！斂！

若系數(shù)矩陣A為對(duì)稱正定陣佳晶，且松弛系數(shù) $0 < \omega < 2$ ，則(超)松弛迭代對(duì)任意初始值都讼载！收轿秧！斂！

線性方程組預(yù)處理

預(yù)處理解決什么問(wèn)題：如果n個(gè)方程n個(gè)未知數(shù)的線性方程組咨堤，它的系數(shù)矩陣A的對(duì)角元素有0存在菇篡，那么任何一種迭代方法都寫(xiě)不出來(lái)迭代表達(dá)式，即卡在第一步一喘！因此驱还，預(yù)處理就是為了解決這一問(wèn)題。

開(kāi)始之前凸克，不給證明的列出3條關(guān)于"對(duì)角元素有0的方陣"的必備知識(shí)：

非奇異方陣A經(jīng)過(guò)一些行之間的調(diào)換议蟆，一定可以得到一個(gè)對(duì)角元素非0的新的形式！

非奇異方陣A萎战， $A^TA$ 一定是一個(gè)對(duì)稱陣咐容，且為"對(duì)稱正定陣"；

(對(duì)稱)正定陣的主對(duì)角線元素一定都是大于0的蚂维！

( 注：上面3條信息的更多內(nèi)容可參看這篇文章戳粒。)

有了上面的3條必備知識(shí)，下面介紹2條思路來(lái)做預(yù)處理：

對(duì)原對(duì)角有0的系數(shù)矩陣A做行交換(b也得跟著換)虫啥，直到換出一個(gè)對(duì)角元素?zé)o0的新形式蔚约！用新形式(新順序的線性方程組，肯定是等價(jià)的)來(lái)迭代涂籽；缺點(diǎn)：雖思路簡(jiǎn)單直接苹祟，但是編程可能要用到"二分圖"來(lái)遍歷！不好實(shí)現(xiàn)。

原方程兩邊同時(shí)左乘原系數(shù)矩陣A的轉(zhuǎn)置苔咪，形成了等價(jià)新形式：

$\color{blue}{A^TA}x = \color{blue}{A^Tb}$

這個(gè)方程左邊藍(lán)色看成新的系數(shù)矩陣锰悼，根據(jù)上面的第2、3條知識(shí)团赏，這個(gè)矩陣一定是對(duì)稱正定的箕般！它的對(duì)角線元素一定是都是大于0的！又因?yàn)閮蛇?strong>左乘的是一個(gè)非奇異矩陣舔清，所以新方程與原方程是完全等價(jià)的丝里。優(yōu)點(diǎn)：一個(gè)矩陣的轉(zhuǎn)置很好求。因此我推薦使用這種方法Ｌ遐恕杯聚！

用第2條思路做預(yù)處理，就這么簡(jiǎn)單就完事了抒痒！并且這種處理是萬(wàn)能適用的(根據(jù)知識(shí)2和3)幌绍！即：只要原方程確定有解(A非奇異)，不管原系數(shù)矩陣A對(duì)角有多少個(gè)0(哪怕全是0)都能給你處理妥當(dāng)９氏臁傀广！迭代就根據(jù)新的方程組進(jìn)行就行：

$\begin{cases} \color{blue}{B_{4}}x = \color{blue}{g_4} & \\ \color{blue}{B_4} = \color{blue}{A^TA}\quad \color{blue}{g_4} = \color{blue}{A^Tb}& \\ \end{cases}$

更加牛逼的是，根據(jù)"收斂性判斷"中的2條重要推論可得：預(yù)處理后的新方程形式彩届，用高斯-賽德?tīng)柕欢ㄊ諗浚伪冰。∪f(wàn)能Ｕ寥洹贮聂！

第1次更新

本次更新補(bǔ)充預(yù)處理中第1種思路的一種解決方法！利用：系數(shù)矩陣對(duì)角最大化寨辩。注意做列對(duì)換的時(shí)候吓懈，x中對(duì)應(yīng)的行要跟著一起變，這樣方程才會(huì)等價(jià)靡狞；最后得到的解的順序還要再做一下調(diào)整骄瓣，恢復(fù)到原方程的解的順序。程序參考本文開(kāi)頭地址耍攘；"矩陣行列對(duì)換如何保持方程等價(jià)"參考本文"第1次"更新榕栏。

一個(gè)簡(jiǎn)單實(shí)例流程圖即可搞清：

圖1：對(duì)角最大化操作示意圖

這種方法雖然既不萬(wàn)能(極端特殊情況導(dǎo)致變換完對(duì)角還有0！)蕾各，而且還有些麻煩(對(duì)換A時(shí)x和b要跟著一起扒磁！)。但是它有一個(gè)優(yōu)點(diǎn)：原先高斯-賽德?tīng)柕皇諗康南禂?shù)陣式曲，這樣換完有很大幾率變成收斂形式妨托！這里給出程序中的一個(gè)例子：

% 原始系數(shù)矩陣: 
A =

     1     2     3     1
     1     4     6     2
     2     9     8     3
     3     7     7     2

這個(gè)原始的系數(shù)矩陣缸榛，未預(yù)處理時(shí)它的高斯-賽德?tīng)柕袷街械?strong>B的譜半徑是大于1的！是不收斂的兰伤！但是經(jīng)過(guò)對(duì)換預(yù)處理后變成：

% 對(duì)換預(yù)處理后:
A =

     9     8     3     2
     7     7     2     3
     4     6     2     1
     2     3     1     1

對(duì)它再做高斯-賽德?tīng)柕诳牛V半徑小于1！可以收斂敦腔。

具體內(nèi)容參考程序中的詳細(xì)注釋均澳。

說(shuō)明一個(gè)問(wèn)題：為什么系數(shù)矩陣做不了對(duì)角占優(yōu)的操作？

因?yàn)椋簩?duì)角占優(yōu)考慮的每一行中的絕對(duì)值最大元素在對(duì)角位置符衔。在線性方程中的對(duì)系數(shù)矩陣的等價(jià)變換只能是按行或按列來(lái)的找前，不能是元素與元素之間的交換這樣的(因?yàn)槟?個(gè)元素改變了，后面x也跟著改變順序：這樣最多就滿足了一個(gè)方程判族，剩下的所有方程都不匹配了躺盛！所以等價(jià)變換只能行與行，列與列整體的換)形帮。舉一個(gè)很簡(jiǎn)單的例子槽惫，如下面的系數(shù)矩陣：

A =

    11    -2     3
     8    -5     2
     1     3     7

第1行不用動(dòng)，11正好最大而在對(duì)角位置辩撑。第2行最大的8在第1列界斜，想要換到第2列就要第1列和第2列對(duì)換，此時(shí)就會(huì)把第1列中已經(jīng)排好的給再次打亂槐臀！

A =

    -2    11     3
     -5    8     2
     3     1     7

綜上：不是不想把系數(shù)矩陣搞成對(duì)角占優(yōu)陣！而是在等價(jià)變換的限制下不可能實(shí)現(xiàn)氓仲！只能被迫選擇退而求次的本文的"對(duì)角最大化處理"水慨！正因?yàn)槭翘娲罚詿o(wú)法做到萬(wàn)能敬扛。

最后編輯于：2019.04.23 21:29:00

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正文年R本政府宣布岔霸，位于F島的核電站薛躬，受9級(jí)特大地震影響，放射性物質(zhì)發(fā)生泄漏呆细。R本人自食惡果不足惜型宝，卻給世界環(huán)境...
茶點(diǎn)故事閱讀 41,070評(píng)論 3贊 327
男人毒藥：我在死后第九天來(lái)索命
文/蒙蒙一、第九天我趴在偏房一處隱蔽的房頂上張望絮爷。院中可真熱鬧趴酣，春花似錦、人聲如沸坑夯。這莊子的主人今日做“春日...
開(kāi)封第一講書(shū)人閱讀 31,697評(píng)論 0贊 22
一樁弒父案，背后竟有這般陰謀
文/蒼蘭香墨我抬頭看了看天上的太陽(yáng)柜蜈。三九已至仗谆，卻和暖如春，著一層夾襖步出監(jiān)牢的瞬間淑履，已是汗流浹背隶垮。一陣腳步聲響...
開(kāi)封第一講書(shū)人閱讀 32,846評(píng)論 1贊 269
情欲美人皮
我被黑心中介騙來(lái)泰國(guó)打工，沒(méi)想到剛下飛機(jī)就差點(diǎn)兒被人妖公主榨干…… 1. 我叫王不留秘噪，地道東北人狸吞。一個(gè)月前我還...
沈念sama閱讀 47,819評(píng)論 2贊 370
代替公主和親
正文我出身青樓，卻偏偏與公主長(zhǎng)得像指煎，于是被迫代替她去往敵國(guó)和親蹋偏。傳聞我的和親對(duì)象是個(gè)殘疾皇子，可洞房花燭夜當(dāng)晚...
茶點(diǎn)故事閱讀 44,665評(píng)論 2贊 354

數(shù)值分析：線性方程組迭代求解

前言

迭代方法

雅克比迭代

(超)松弛迭代：

迭代法的收斂性判斷

線性方程組預(yù)處理

第1次更新

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