四元數(shù)介紹

旋轉(zhuǎn)辅辩，應(yīng)該是三種坐標(biāo)變換——縮放炒事、旋轉(zhuǎn)和平移臀栈，中最復(fù)雜的一種了。大家應(yīng)該都聽過挠乳，有一種旋轉(zhuǎn)的表示方法叫四元數(shù)权薯。按照我們的習(xí)慣，我們更加熟悉的是另外兩種旋轉(zhuǎn)的表示方法——矩陣旋轉(zhuǎn)和歐拉旋轉(zhuǎn)睡扬。矩陣旋轉(zhuǎn)使用了一個(gè)4*4大小的矩陣來表示繞任意軸旋轉(zhuǎn)的變換矩陣盟蚣，而歐拉選擇則是按照一定的坐標(biāo)軸順序（例如先x、再y卖怜、最后z）屎开、每個(gè)軸旋轉(zhuǎn)一定角度來變換坐標(biāo)或向量，它實(shí)際上是一系列坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)的組合马靠。

那么奄抽，四元數(shù)又是什么呢？簡(jiǎn)單來說甩鳄，四元數(shù)本質(zhì)上是一種高階復(fù)數(shù)（聽不懂了吧逞度。。妙啃。）档泽，是一個(gè)四維空間，相對(duì)于復(fù)數(shù)的二維空間。我們高中的時(shí)候應(yīng)該都學(xué)過復(fù)數(shù)馆匿，一個(gè)復(fù)數(shù)由實(shí)部和虛部組成抑胎，即x = a + bi，i是虛數(shù)單位甜熔，如果你還記得的話應(yīng)該知道i^2 = -1圆恤。而四元數(shù)其實(shí)和我們學(xué)到的這種是類似的，不同的是腔稀，它的虛部包含了三個(gè)虛數(shù)單位盆昙，i、j焊虏、k淡喜，即一個(gè)四元數(shù)可以表示為x = a + bi + cj + dk。那么诵闭，它和旋轉(zhuǎn)為什么會(huì)有關(guān)系呢炼团？

在Unity里，tranform組件有一個(gè)變量名為rotation疏尿，它的類型就是四元數(shù)瘟芝。很多初學(xué)者會(huì)直接取rotation的x、y褥琐、z锌俱，認(rèn)為它們分別對(duì)應(yīng)了Transform面板里R的各個(gè)分量。當(dāng)然很快我們就會(huì)發(fā)現(xiàn)這是完全不對(duì)的敌呈。實(shí)際上贸宏，四元數(shù)的x、y磕洪、z和R的那三個(gè)值從直觀上來講沒什么關(guān)系吭练，當(dāng)然會(huì)存在一個(gè)表達(dá)式可以轉(zhuǎn)換，在后面會(huì)講析显。

大家應(yīng)該和我一樣都有很多疑問鲫咽，既然已經(jīng)存在了這兩種旋轉(zhuǎn)表示方式，為什么還要使用四元數(shù)這種聽起來很難懂的東西呢叫榕？我們先要了解這三種旋轉(zhuǎn)方式的優(yōu)缺點(diǎn)：

• 矩陣旋轉(zhuǎn)

• 優(yōu)點(diǎn)：

• 旋轉(zhuǎn)軸可以是任意向量浑侥；

• 缺點(diǎn)：

• 旋轉(zhuǎn)其實(shí)只需要知道一個(gè)向量+一個(gè)角度，一共4個(gè)值的信息晰绎，但矩陣法卻使用了16個(gè)元素；

• 而且在做乘法操作時(shí)也會(huì)增加計(jì)算量括丁，造成了空間和時(shí)間上的一些浪費(fèi)荞下；

• 歐拉旋轉(zhuǎn)

• 優(yōu)點(diǎn)：

• 很容易理解，形象直觀；

• 表示更方便尖昏，只需要3個(gè)值（分別對(duì)應(yīng)x仰税、y、z軸的旋轉(zhuǎn)角度）抽诉；但按我的理解陨簇，它還是轉(zhuǎn)換到了3個(gè)3*3的矩陣做變換，效率不如四元數(shù)迹淌；

• 缺點(diǎn)：

• 之前提到過這種方法是要按照一個(gè)固定的坐標(biāo)軸的順序旋轉(zhuǎn)的河绽，因此不同的順序會(huì)造成不同的結(jié)果；

• 會(huì)造成萬向節(jié)鎖（Gimbal Lock）的現(xiàn)象唉窃。這種現(xiàn)象的發(fā)生就是由于上述固定坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)順序造成的耙饰。理論上，歐拉旋轉(zhuǎn)可以靠這種順序讓一個(gè)物體指到任何一個(gè)想要的方向纹份，但如果在旋轉(zhuǎn)中不幸讓某些坐標(biāo)軸重合了就會(huì)發(fā)生萬向節(jié)鎖苟跪，這時(shí)就會(huì)丟失一個(gè)方向上的旋轉(zhuǎn)能力，也就是說在這種狀態(tài)下我們無論怎么旋轉(zhuǎn)（當(dāng)然還是要原先的順序）都不可能得到某些想要的旋轉(zhuǎn)效果蔓涧，除非我們打破原先的旋轉(zhuǎn)順序或者同時(shí)旋轉(zhuǎn)3個(gè)坐標(biāo)軸件已。這里有個(gè)視頻可以直觀的理解下；

• 由于萬向節(jié)鎖的存在元暴，歐拉旋轉(zhuǎn)無法實(shí)現(xiàn)球面平滑插值篷扩；

• 四元數(shù)旋轉(zhuǎn)

• 優(yōu)點(diǎn)：

• 可以避免萬向節(jié)鎖現(xiàn)象；

• 只需要一個(gè)4維的四元數(shù)就可以執(zhí)行繞任意過原點(diǎn)的向量的旋轉(zhuǎn)昨寞，方便快捷瞻惋，在某些實(shí)現(xiàn)下比旋轉(zhuǎn)矩陣效率更高；

• 可以提供平滑插值援岩；

• 缺點(diǎn)：

• 比歐拉旋轉(zhuǎn)稍微復(fù)雜了一點(diǎn)點(diǎn)歼狼，因?yàn)槎嗔艘粋€(gè)維度；

• 理解更困難享怀，不直觀羽峰；

四元數(shù)和歐拉角

基礎(chǔ)知識(shí)

前面說過，一個(gè)四元數(shù)可以表示為q = w + xi + yj + zk添瓷，現(xiàn)在就來回答這樣一個(gè)簡(jiǎn)單的式子是怎么和三維旋轉(zhuǎn)結(jié)合在一起的梅屉。為了方便，我們下面使用q = ((x, y, z)鳞贷，w) = (v, w)坯汤，其中v是向量，w是實(shí)數(shù)搀愧，這樣的式子來表示一個(gè)四元數(shù)惰聂。

我們先來看問題的答案疆偿。我們可以使用一個(gè)四元數(shù)q=((x,y,z)sinθ2, cosθ2) 來執(zhí)行一個(gè)旋轉(zhuǎn)。具體來說搓幌，如果我們想要把空間的一個(gè)點(diǎn)P繞著單位向量軸u = (x, y, z)表示的旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)θ角度杆故，我們首先把點(diǎn)P擴(kuò)展到四元數(shù)空間，即四元數(shù)p = (P, 0)溉愁。那么处铛，旋轉(zhuǎn)后新的點(diǎn)對(duì)應(yīng)的四元數(shù)（當(dāng)然這個(gè)計(jì)算而得的四元數(shù)的實(shí)部為0，虛部系數(shù)就是新的坐標(biāo)）為：

p′=qpq?1

其中拐揭，q=(cosθ2, (x,y,z)sinθ2) 撤蟆，q?1=q?N(q)，由于u是單位向量投队，因此 N(q)=1枫疆，即q?1=q?。右邊表達(dá)式包含了四元數(shù)乘法敷鸦。相關(guān)的定義如下：

• 四元數(shù)乘法：q1q2=(v1→×v2→+w1v2→+w2v1→,w1w2?v1→?v2→)

• 共軛四元數(shù)：q?=(?v? ,w)

• 四元數(shù)的模：N(q) = √(x^2 + y^2 + z^2 +w^2)息楔，即四元數(shù)到原點(diǎn)的距離

• 四元數(shù)的逆：q?1=q?N(q)

它的證明這里不再贅述，有興趣的可以參見這篇文章扒披。主要思想是構(gòu)建了一個(gè)輔助向量k值依，它是將p繞旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)θ/2得到的。證明過程嘗試證明wk?=kv?碟案，以此證明w與v愿险、k在同一平面內(nèi)，且與v夾角為θ价说。

我們舉個(gè)最簡(jiǎn)單的例子：把點(diǎn)P(1, 0, 1)繞旋轉(zhuǎn)軸u = (0, 1, 0)旋轉(zhuǎn)90°辆亏，求旋轉(zhuǎn)后的頂點(diǎn)坐標(biāo)。首先將P擴(kuò)充到四元數(shù)鳖目，即p = (P, 0)扮叨。而q = (u*sin45°, cos45°)。求p′=qpq?1的值领迈。建議大家一定要在紙上計(jì)算一邊彻磁，這樣才能加深印象，連筆都懶得動(dòng)的人還是不要往下看了狸捅。最后的結(jié)果p` = ((1, 0, -1), 0)衷蜓，即旋轉(zhuǎn)后的頂點(diǎn)位置是(1, 0, -1)。

如果想要得到復(fù)合旋轉(zhuǎn)尘喝，只需類似復(fù)合矩陣那樣左乘新的四元數(shù)磁浇，再進(jìn)行運(yùn)算即可。

我們來總結(jié)下四元數(shù)旋轉(zhuǎn)的幾個(gè)需要注意的地方：

• 用于旋轉(zhuǎn)的四元數(shù)朽褪，每個(gè)分量的范圍都在（-1扯夭，1）鳍贾；
• 每一次旋轉(zhuǎn)實(shí)際上需要兩個(gè)四元數(shù)的參與鞍匾，即q和q*交洗；
• 所有用于旋轉(zhuǎn)的四元數(shù)都是單位四元數(shù)，即它們的模是1橡淑；

下面是幾點(diǎn)建議：

• 實(shí)際上构拳，在Unity里即便你不知道上述公式和變換也絲毫不妨礙我們使用四元數(shù)，但是有一點(diǎn)要提醒你梁棠，除非你對(duì)四元數(shù)非常了解置森，那么不要直接對(duì)它們進(jìn)行賦值。
• 如果你不想知道原理符糊，只想在Unity里找到對(duì)應(yīng)的函數(shù)來進(jìn)行四元數(shù)變換凫海，那么你可以使用這兩個(gè)函數(shù)：Quaternion.Euler和Quaternion.eulerAngles。它們基本可以滿足絕大多數(shù)的四元數(shù)旋轉(zhuǎn)變換男娄。

和其他類型的轉(zhuǎn)換

首先是軸角到四元數(shù)：

給定一個(gè)單位長(zhǎng)度的旋轉(zhuǎn)軸(x, y, z)和一個(gè)角度θ行贪。對(duì)應(yīng)的四元數(shù)為：

q=((x,y,z)sinθ2, cosθ2)

這個(gè)公式的推導(dǎo)過程上面已經(jīng)給出。

歐拉角到四元數(shù)：

給定一個(gè)歐拉旋轉(zhuǎn)(X, Y, Z)（即分別繞x軸模闲、y軸和z軸旋轉(zhuǎn)X建瘫、Y、Z度）尸折，則對(duì)應(yīng)的四元數(shù)為：

x = sin(Y/2)sin(Z/2)cos(X/2)+cos(Y/2)cos(Z/2)sin(X/2)
y = sin(Y/2)cos(Z/2)cos(X/2)+cos(Y/2)sin(Z/2)sin(X/2)
z = cos(Y/2)sin(Z/2)cos(X/2)-sin(Y/2)cos(Z/2)sin(X/2)
w = cos(Y/2)cos(Z/2)cos(X/2)-sin(Y/2)sin(Z/2)sin(X/2)
q = ((x, y, z), w)

它的證明過程可以依靠軸角到四元數(shù)的公式進(jìn)行推導(dǎo)啰脚。

其他參考鏈接：

1. Euler to Quaternion
2. Quaternion To Euler
3. AngleAxis to Quaternion
4. Quaternion to AngleAxis

四元數(shù)的插值

這里的插值指的是球面線性插值。

設(shè)t是一個(gè)在0到1之間的變量实夹。我們想要基于t求Q1到Q2之間插值后四元數(shù)Q橄浓。它的公式是：

Q3 = (sin((1-t)A)/sin(A))Q1 + (sin((tA)/sin(A))Q2)

Q = Q3/|Q3|，即單位化

四元數(shù)的創(chuàng)建

在了解了上述知識(shí)后亮航，我們就不需要那么懼怕四元數(shù)了荸实，實(shí)際上它和矩陣類似，不同的只是它的表示方式以及運(yùn)算方式塞赂。那么在Unity里如何利用四元數(shù)進(jìn)行旋轉(zhuǎn)呢泪勒？Unity里提供了非常多的方式來創(chuàng)建一個(gè)四元數(shù)。例如Quaternion.AngleAxis(float angle, Vector3 axis)宴猾，它可以返回一個(gè)繞軸線axis旋轉(zhuǎn)angle角度的四元數(shù)變換圆存。我們可以一個(gè)Vector3和它進(jìn)行左乘，就將得到旋轉(zhuǎn)后的Vector3仇哆。在Unity里只需要用一個(gè)“ * ”操作符就可以進(jìn)行四元數(shù)對(duì)向量的變換操作沦辙，相當(dāng)于我們上述講到的p′=qpq?1操作。如果我們想要進(jìn)行多個(gè)旋轉(zhuǎn)變換讹剔，只需要左乘其他四元數(shù)變換即可油讯。例如下面這樣：

Vector3 newVector = Quaternion.AngleAxis(90, Vector3.up) * Quaternion.LookRotation(someDirection) * someVector;

盡管歐拉角更容易我們理解详民，但四元數(shù)比歐拉角要強(qiáng)大很多。Unity提供了這兩種方式供我們選擇陌兑，我們可以選擇最合適的變換沈跨。

例如，如果我們需要對(duì)旋轉(zhuǎn)進(jìn)行插值兔综，我們可以首先使用Quaternion.eulerAngles來得到歐拉角度饿凛，然后使用Mathf.Clamp對(duì)其進(jìn)行插值運(yùn)算。

最后更新Quaternion.eulerAngles或者使用Quaternion.Euler(yourAngles)來創(chuàng)建一個(gè)新的四元數(shù)软驰。

又例如涧窒，如果你想要組合旋轉(zhuǎn)，比如讓人物的腦袋向下看或者旋轉(zhuǎn)身體锭亏，兩種方法其實(shí)都可以纠吴，但一旦這些旋轉(zhuǎn)不是以世界坐標(biāo)軸為旋轉(zhuǎn)軸，比如人物扭動(dòng)脖子向下看等慧瘤，那么四元數(shù)是一個(gè)更合適的選擇戴已。Unity還提供了transform.forward, transform.right and transform.up 這些非常有用的軸，這些軸可以和Quaternion.AngleAxis組合起來碑隆，來創(chuàng)建非常有用的旋轉(zhuǎn)組合恭陡。例如，下面的代碼讓物體執(zhí)行低頭的動(dòng)作：

transform.rotation = Quaternion.AngleAxis(degrees, transform.right) * transform.rotation;

關(guān)于Quaternion的其他函數(shù)上煤，后面再補(bǔ)充吧休玩，原理類似~