期望與方差之四：兩個獨立隨機(jī)變量合并后的期望

隨機(jī)變量（Random Variable）聽起來是一個很復(fù)雜的概念愕难，但是實際上并不難理解弯菊。我們重新回到本系列文章第一篇里面的數(shù)組：

????????????????????0, 1, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3

把數(shù)據(jù)的頻數(shù)和概率寫成表格四康，有：

這里古涧，概率 $P(X)$ 可以視作一個函數(shù)馍乙，輸出一個概率哑芹，而變量X炎辨，只能從元素0,1,2,3之間選，因為它們是這個數(shù)據(jù)總體的四個可能值聪姿，比如 $P(2) = 0.3$ 碴萧。換句話說， $P(5)$ 是不存在的末购，因為5并不在這個數(shù)據(jù)總體之中破喻。

概率函數(shù)

因此，我們稱0,1,2,3為這個數(shù)據(jù)總體概率函數(shù)的隨機(jī)變量盟榴。之所以稱它們?yōu)椤半S機(jī)”曹质，是因為當(dāng)“從這個總體里隨機(jī)抽一個數(shù)字”，總能在一定概率的情況下擎场，抽到這四個數(shù)字之一羽德；之所以稱之為變量，是因為這些數(shù)字在概率函數(shù) $P(X)$ 里有定義迅办，可以理解為這個概率函數(shù)定義域范圍內(nèi)容的元素宅静。

接下來，我們看看什么叫獨立事件（Independent event）礼饱。直觀上講坏为，兩件不存在明顯關(guān)聯(lián)的事件，就是獨立的镊绪。比如匀伏，A玩具店有m個玩具，與B餐館有n道菜蝴韭，如沒有特殊說明够颠，一般認(rèn)為m個玩具各自的價格，與n道菜各自的價格榄鉴，是沒有關(guān)聯(lián)的履磨。如果真有那么一個無聊的統(tǒng)計，把玩具和菜式價格合并起來庆尘，我們可以這樣表達(dá)：

設(shè)玩具店的m個玩具剃诅，每個玩具的單價為 $a_{i}$ ；餐館n道菜的單價分別為 $b_{j}$ 驶忌；那么矛辕，隨機(jī)組合一個玩具和一道菜，總價 $c_{i\times j} = a_{i} + b_{j}$ 。這就是兩個獨立變量的合并聊品。

這里討論一下 $c_{i \times j}$ 飞蹂。因為任意一個玩具可以任意搭配一道菜，因此翻屈，總體C的數(shù)量為 $m \times n$ 陈哑。接下來，問題就是這個組合的均價是多少伸眶，或者說 $E(C)$ 是多少惊窖？這是本文關(guān)心的。根據(jù)上面推論厘贼，有：

$E(C) = E(A+B) = \frac{(a_{1} +b_{1}) + (a_{1} +b_{2}) + ...(a_{1} +b_{n}) + (a_{2} +b_{1}) ...}{m \times n }$

這個式子分子部分有 $m \times n$ 那么多個 $a_{i} + b_{j}$ 爬坑，怎樣分配會更合理呢？留意到涂臣， $a_{1}$ 需要與 $b_{1}$ 到 $b_{n}$ 求和盾计，因此必然有n個 $a_{1}$ 存在。同理赁遗， $a_{2}$ 到 $a_{m}$ 都有n個署辉。至于B，每一個 $b_{j}$ 都有m個岩四。因此哭尝，上式可調(diào)整為：

$\frac{( na_{1} + ...na_{m}) + (mb_{1} + ...+mb_{n})}{m \times n} =\frac{n(a_{1} + ... + a_{m}) + m(b_{1} + .. b_{n})}{m \times n}$

$= \frac{n(a_{1} + ..a_{m})}{m \times n} +\frac{m(b_{1} + ..b_{n})}{m \times n} = \frac{a_{1} + ..a_{m}}{m} + \frac{b_{1} + ..b_{n}}{n}$

= $E(A) + E(B)$

由此，我們得到兩個獨立隨機(jī)變量合并后的期望公式： $E(A + B) = E(A) + E(B)$ 剖煌。

同理材鹦，易證得 $E(A - B) = E(A)- E(B)$ ，讀者不妨嘗試一下耕姊。

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