前面我們介紹了多種離散型概率分布，大家可以點擊下方鏈接來回顧：
今天介紹另一個離散型概率分布：負(fù)二項分布(Negative binomial distribution)延窜。在實際生活中，我們可以使用負(fù)二項分布描述某種機(jī)器在壞掉前科展，能夠工作的天數(shù)的分布低缩；某運(yùn)動員在獲取r個獎牌前失敗次數(shù)的分布等等。
1. 定義
負(fù)二項分布也基于伯努利試驗涩禀，其定義有下面兩種形式：
在一系列伯努利試驗中料滥，失敗次數(shù)到達(dá)指定次數(shù)時，成功次數(shù)的離散概率分布
在一系列伯努利試驗中艾船，成功次數(shù)到達(dá)指定次數(shù)（記為r）時葵腹，失敗次數(shù)（記為k）的離散概率分布
這兩種定義只是將“成功”和“失敗”對調(diào)，其本質(zhì)上沒差別屿岂。由于R中相關(guān)函數(shù)都采用第二種形式践宴，因此下面將以第二種形式為例。其概率質(zhì)量函數(shù)為：
其中：
k是失敗的次數(shù)爷怀，為自變量阻肩，取值范圍為0, 1, 2, 3, ...
r是成功的次數(shù)，為固定值运授。當(dāng)r=1時烤惊，負(fù)二項分布退化為幾何分布
p是伯努利試驗成功的概率，失敗概率則為1-p
在負(fù)二項分布的概率質(zhì)量函數(shù)中吁朦，由于k+r次伯努利試驗為獨(dú)立同分布柒室，每個成功r次、失敗k次的事件的概率為逗宜。由于第r次成功一定是最后一次試驗雄右，所以應(yīng)該在k+r-1次試驗中選擇k次失敗剥啤，即組合數(shù)
作為系數(shù)。
2. 性質(zhì)
從負(fù)二項分布的概率質(zhì)量函數(shù)可以看出不脯，其概率分布依賴參數(shù)p和r府怯。負(fù)二項分布的期望值和方差為：
3. R中的相關(guān)函數(shù)
R中也有四個函數(shù)可用于負(fù)二項分布，分別是：
dnbinom(x, size, prob)：返回發(fā)生x次失敗事件的概率pnbinom(q, size, prob)：返回累積概率qnbinom(p, size, prob)：返回相應(yīng)分位點x防楷，詳情見下面的例子rnbinom(n, size, prob)：返回每組發(fā)生失敗事件的次數(shù)
這四個函數(shù)都有size和prob牺丙，分別對應(yīng)于成功次數(shù)r和成功概率p。下面通過一個例子來了解如何使用它們：
某位運(yùn)動員打算獲得4個冠軍后退役复局，假設(shè)每次比賽奪冠的概率為0.8冲簿，求該運(yùn)動員獲得4個冠軍前所經(jīng)歷失敗次數(shù)的概率分布？
分析：從題意可知亿昏，這個過程可用負(fù)二項分布來描述峦剔，其中成功次數(shù)r=4，成功概率p=0.8角钩。
結(jié)果：
下表給出了在運(yùn)動員獲得4個冠軍前吝沫，發(fā)生0到6次失敗的概率分布為：
從表格結(jié)果可以看出，該運(yùn)動員至少經(jīng)歷一次失敗的概率高達(dá)59%
(= 1-P(k=0))递礼。
下面我們利用R中的函數(shù)來計算相關(guān)量：
第一個問題：在該運(yùn)動員獲得4個冠軍前惨险，發(fā)生0次，1次和2次失敗的概率分別是多少脊髓？此時要用到dnbinom(x, size, prob)函數(shù)辫愉，其中x參數(shù)指定失敗的次數(shù)，函數(shù)返回相應(yīng)概率将硝，結(jié)果為：
> dnbinom(0:2, 4, 0.8)
[1] 0.40960 0.32768 0.16384
第二個問題：至多發(fā)生2次失敗的概率是多少恭朗？此時要用到pnbinom(x, size, prob)函數(shù)，其中q參數(shù)指定至多失敗的次數(shù)（這里為2）依疼，函數(shù)返回相應(yīng)累積概率痰腮，結(jié)果為：
> pnbinom(2, 4, 0.8)
[1] 0.90112
第三個問題：90%概率下該運(yùn)動員至多失敗幾次？此時要用到qnbinom(x, size, prob)函數(shù)涛贯，其中p參數(shù)指定概率(這里是0.9)诽嘉，函數(shù)返回相應(yīng)分位點x(即F(x)≥0.9對應(yīng)的最小x值)蔚出，結(jié)果為：
> qnbinom(0.9, 4, 0.8)
[1] 2
結(jié)果表明弟翘，90%概率下至多失敗2次
最后一個問題：重復(fù)10萬組模擬，每組失敗的次數(shù)是多少骄酗？這時就要用到rnbinom(x, size, prob)函數(shù)稀余，其中n參數(shù)指定模擬的組數(shù)(這里為100000)，函數(shù)返回每組發(fā)生的次數(shù)趋翻，結(jié)果為：
> set.seed(123)
> ns <- rnbinom(100000, 4, 0.8)
> table(ns)
ns
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
41123 32677 16291 6608 2295 714 208 60 16 6 2
> mean(ns) ##失敗次數(shù)的平均值
[1] 0.99703
> var(ns) ##失敗次數(shù)的方差
[1] 1.246154
> 4*(1-0.8)/0.8 ##均值的理論值
[1] 1
> 4*(1-0.8)/0.8^2 ##方差的理論值
[1] 1.25
模擬10萬組睛琳，41123組沒有發(fā)生失敗，與理論上40.96%不發(fā)生失敗很接近。此外均值和方差也與理論值很接近师骗。
負(fù)二項分布的介紹就到此結(jié)束历等，希望對大家的學(xué)習(xí)有所幫助，也希望大家多多支持本公眾號辟癌。
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