伊藤定理

在日語里邊什么藤往往是貴族的后裔,比如什么佐藤什么的,而我們今天要學習的就是伊藤定理,讓我們一起去揭開他的神秘面紗吧.

在我們學習的微分方程里有三項:一個是-ax或者是△t,還有一個是YN△T,然后這時候我們把后邊的yn△t看為△Wn

這時候我們定義一個積分,∑所有的I△Wi,我們把這個叫做大的W:

然后現(xiàn)在我們要研究一個更有趣的事實,就是如果讓這樣的i變成一個無窮的數(shù)的話,我們是不是可以把第一幅圖中的這樣的一個差分方程寫成一個我們熟悉的微分方程,聽起來有點困難,我們朝這個方向努力,也許它能夠變成一個dw的形式而不是一個△w的形式,但是如果我們朝著這個方向再去努力,讓他變得更加的連續(xù)的話,那這樣的dw就會出現(xiàn)一個問題,dw是一個小量,而經(jīng)過微分后第一個方程的t會變成dt,這時候dt也會變成一個小量,這兩個小量是什么關系?這是一個非常trick的事情,這樣其實會變成在N趨向于無窮的事情,但是這樣會不會違背我們之前所說的概率論里邊的極小時間段里這可能不是高斯分布,那我們真的讓他趨向于無窮,這樣它能夠切換到極小,這時候會不會還原成不是高斯分布?其實不會的,因為假設在真實世界極小的時間段并非高斯分布,但是極小時間段的100倍是高斯分布,那接下來的性質我們已經(jīng)脫離出來了,我們就是以宏觀上來說他就是高斯分布,然后再把它切小,相當于一個以基礎為前提的數(shù)學上的一個進化,所以這時候我們已經(jīng)脫離真實世界了,我們再切小也是高斯分布因為他的宏觀性質是一樣的,而我們最終關心的是T時間,即在合理時間內的這樣的一個漲跌的性質,所以這時候我們從自然界變成數(shù)學然后再回去,變成一個時間無限可分,但是在真實世界中時間并不是無限可分,分到普朗克時間就不能再分了,而在數(shù)學上是可以無限可分的,那現(xiàn)在我們關心的是,我們現(xiàn)在無限可分,這時候dw和dt是什么關系?

這時候我們猜想,是dw=dt么,還是說他們有某種正比的關系,還是說dw可能等于dt的平方?這才是我們關心的問題,首先我們剛才是知道每一個△w的平均值=0,并且△w的平方的平均值是△t,因為一個隨機變量他的平均值等于0,因此他的平方的平均值就等于他的方差,而他的方差是△t,那這時候我們考慮一下,把這樣的0到T的時間上的的△w2相加會怎么樣?

這個時候我們考慮,當N趨向于無窮大的時候,我們是不是可以把它寫成一個積分號從0-T,然后這邊就變成積分的符號,

并且這時候還是高斯分布的,那么這時候有趣的事情來了,如果我們能夠把它進行連續(xù)化,積分號其實是一個求和,求期望也就變成了一個數(shù)學操作,可能在數(shù)學分析級別的數(shù)學我們是不能把這個期望丟在里邊的,但是在我們的工程用都是完全OK的,就是積分好的級數(shù)求和求期望能不能交換一樣,我們認為是OK的,而從上邊得推理我們知道,△W2等于△t,這時候我們的方差可以改為

而這些不等于別的,正是T,所以我們現(xiàn)在把重要的東西抽出來就會變成一個關于dw2的疊加,然后再去推理就會變成關于dt的疊加,而且這是對任意的T而言的,那么這時候總和每一個總和都是成立的話,他的每一個微元必須也精確地成立,所以這時候能夠得到一個夸張的結論:dw2=dt,也就是說他的微元是一種平方相等的關系,而這個事情在高數(shù)里邊是沒有出現(xiàn)過的,我們還記得泰勒展開么?

而如果把這里的x換成t的話,他的第一項就是dt,沒有比dt更小的項了,但是在隨機微分方程里邊,他的每一個求和的原,是可以有比dt更小的項,因為dw2就是等于dt,但是你又不能說dw2等于根下dt,因為你沒法第一根號dt,所以這是隨機微分方程跟普通的微分方程最大的區(qū)別,就是我們得到一個前所未有的奇怪的項,而這個奇怪的項會無處不在的影響我們,所以我們之前所有可能的高數(shù)級別的所有關于展開或者是微元的式子都需要改進或者修正,這是最精彩的部分,正是因為這一個部分解決了,所以后面推出了可以用來計算一切期權的balck_Scholes方程,這是一個基本的數(shù)學性質,而這個基本的數(shù)學性質就叫做伊藤引理,這是一個重要的引理,所以我們之后看見dw2就直接替換成dt就可以了.

所以我們把隨機微分方程叫做SDE,(stochastic differential equation),就是在比如說常微分方程或者偏微分方程里面,我們關心的就是dx,dy,dt但是在隨機微分方程里邊我們關心的是dw,而dw是他最重要的一個特性,就是跟dt有關的我們會保留,然后dw是無處不在的,一定會引入的漲落,如果沒有引入再漲落,就不是隨機微分方程了,而他的dw2必須也要關注,那么接下來我們看一看我們以前認為是OK的結論要如何去修正:

現(xiàn)在我們拿一個簡單的函數(shù):y=x2,在普通的高等數(shù)學里邊,y=x2的積分是dy=2xdx,那么現(xiàn)在如果x是由隨機的dw存在的話,如果x是關于t的一個函數(shù),因為隨機過程總是要按照什么才能隨機對不對,我們認為是關于時間隨機,那么這時候這樣的一個簡單的方程應該要如何的寫成一個關于時間的一個表達式:

為了明確,我們先把dx寫成dt和dw的形式,這時候系數(shù)的話我們隨便寫,比如我們先給定一個f和g,是兩個常數(shù)或者表達式

這個時候請大家求一下這個時候dy應該是多少?

當我們保留到一階的情況下,我們就用我們最熟悉的東西去解決它然后再去替代,最熟悉的東西是因為我們知道dx是一階的,所以如果我們不是對他直接保留到一階的話,保留到二階的話,會出現(xiàn)一個dx2,dx2會有一個dw2,dw2其實是一階的,這意味著什么,意味著我們一開始就保留的泰勒級數(shù)的泰勒展開就應該要多保留一下,所以說在新的隨機微分方程里邊我們對一個函數(shù)的展開在第一步就應該展開到二階,三階我們就不管,因為dw的三次方可能就是二階的,那dt的三次方就是三階的,那我們只需要保留到原來的精度就可以了: