傅里葉級數(shù)與傅里葉變換

本文有關三角函數(shù)的描述很多葫盼，忘記高中知識的可以從這個鏈接復習下各個概念：振幅佛呻、周期状土、相移和頻率汽抚。

一易结、從簡單變換到傅里葉級數(shù)

如下圖所示精算，在笛卡爾坐標系中瓢宦，由于我們定義了一組基 $e_x=(1,0),e_y=(0,1)$ ，因此坐標系中的所有點才能夠被一個坐標唯一地表示：

簡單變換

這樣的好處是有了坐標以后灰羽，點與點之間就不再是相互孤立的存在驮履，也就有了距離的關系鱼辙。這個過程就是一種變換，即把坐標變換到坐標系中玫镐。

這種簡單的變換是將空間中的點使用一組基來表示倒戏，點是基的加權累加，而類比到函數(shù)中恐似，對于一個函數(shù)杜跷，我們期待使用一組基函數(shù)來表示。傅里葉級數(shù)與傅里葉變換就是用來辦到這件事的方法矫夷，其中傅里葉級數(shù)能夠?qū)⑷我?strong>周期函數(shù)表示成一組基函數(shù)依照各自的系數(shù)的累加葛闷，而傅里葉變換針對的是非周期函數(shù)。

首先闡述傅里葉級數(shù)双藕，它可以將任意周期函數(shù)分解為簡單震蕩函數(shù)（正弦函數(shù)和余弦函數(shù)淑趾，這些函數(shù)作為基函數(shù)）的加和。具體地蔓彩，對于周期為 $T$ 的周期函數(shù) $f(t)$ 治笨，可以分解為三角函數(shù)的組合：

$f(t)=a_{0}+\sum_{n=1}^{+\infty }\left [a_{n}cos(n\omega t)+b_{n}sin(n\omega t)\right ]$

這里的 $w=\frac {2\pi }{T}$ ，稱為基頻率赤嚼。類比笛卡爾坐標系旷赖， $a_0,a_n,b_n$ 就相當于坐標，而 $1,cos(n\omega t),sin(n\omega t)$ 就相當于基向量更卒，不同的是等孵， $1,cos(n\omega t),sin(n\omega t)$ 是一組函數(shù)，而基向量是一組向量蹂空，笛卡爾坐標系使用基向量來表示點赴穗，傅里葉級數(shù)使用基函數(shù)來表示周期函數(shù)孤个。

這里保留一個疑問：在上面對任意周期函數(shù) $f(t)$ 的分解公式中，這里的 $1,cos(n\omega t),sin(n\omega t)$ 這些基函數(shù)都是沒有相位的，也就是說這些基函數(shù)在坐標系中都是關于 $y$ 軸對稱的络断，那么在 $f(t)$ 不關于 $y$ 軸對稱時，這些關于 $y$ 軸對稱的基函數(shù)們真的能夠通過線性組合得到一個不關于 $y$ 軸對稱的周期函數(shù)嗎谜嫉？這一點是很難直觀想象的湘纵，在下面的章節(jié)中我們會證明這件事。

本節(jié)類比了笛卡爾坐標系與傅里葉級數(shù)锈玉，首先對變換有一個簡單的概念爪飘，接下來的章節(jié)會介紹更多的細節(jié)。

二拉背、傅里葉級數(shù)

三角函數(shù)系

一個三角函數(shù)系為：

$\left \{1,sin(\omega x),cos(\omega x),sin(2\omega x),cos(2\omega x),\cdots ,sin(n\omega x),cos(n\omega x),\cdots \right \}$

注意 $1$ 也可以看做一個函數(shù)师崎，其實也就是 $cos(0\omega x)$ ，由于 $sin(0\omega x)=0$ 椅棺，所以我們就不管它了犁罩。另外這里的 $\omega$ 也就是上面提到的基頻率齐蔽，可以看到這個基頻率的大小由要分解的函數(shù) $f(t)$ 的周期 $T$ 決定的，也就是說使用傅里葉級數(shù)分解周期函數(shù)時不同周期的函數(shù)要使用不同的三角函數(shù)系來作為基函數(shù)昼汗。

在笛卡爾坐標系中肴熏，基向量滿足的性質(zhì)是不同的基向量之間兩兩正交（內(nèi)積為 $0$ ），相同的基向量內(nèi)積為 $1$ 顷窒。假設兩個基向量 $v$ 和 $m$ 蛙吏，用下標表示基向量的維度，則他們的內(nèi)積就是對應的維度相乘之后的累加：

$v\cdot m=v_{1}m_{1}+v_{2}m_{2}+\cdots +v_{n}m_{n}=0$

傅里葉級數(shù)的基函數(shù)之間也有類似的性質(zhì)鞋吉，基向量之間的內(nèi)積是以累加的方式計算的鸦做，類似的，基函數(shù)之間的內(nèi)積是以積分的形式計算的谓着。同樣類似的泼诱，不同基函數(shù)之間的內(nèi)積為 $0$ ，同一基函數(shù)的內(nèi)積為一個正數(shù)赊锚。

首先治筒，如果從三角函數(shù)系中任意取兩個函數(shù) $f(x),g(x)$ （當然也包括 $1$ 這個函數(shù)），有：

$\int_{-\pi }^{\pi }f(x)g(x)\mathrmspj2xotx=0$

比如：

$\int_{-\pi }^{\pi }sin(4\omega x)cos(7\omega x)\mathrm27wurv7x=0\\ \int_{-\pi }^{\pi }1\cdot sin(9\omega x)\mathrmeolnw0mx=0\\ \int_{-\pi }^{\pi }sin(6\omega x)cos(\omega x)\mathrmotislgyx=0$

另外三角函數(shù)系中兩個相同的函數(shù)之間的內(nèi)積為一個正數(shù)舷蒲，比如：

$\int_{-\pi }^{\pi }1\cdot 1\mathrmsxm5vrwx=2\pi \\ \int_{-\pi }^{\pi }sin(n\omega x)sin(n\omega x)\mathrmb5wlv2xx=\pi \\ \int_{-\pi }^{\pi }cos(n\omega x)cos(n\omega x)\mathrmeeyyn5ox=\pi$

傅里葉級數(shù)的直觀理解

矩形波的分解

以一個周期矩形波為例耸袜，難以想象的是這個矩形波是可以被傅里葉級數(shù)分解的。下圖中展示了多個正弦函數(shù)如何逐步組合成為一個矩形波牲平，隨著震蕩函數(shù)的增加堤框，它們最終就可以組成一個矩形波：

矩形波的分解

注意這里只有正弦函數(shù)而沒有余弦函數(shù)，這里的正弦函數(shù)并非指的是前面對 $f(t)$ 的分解公式里的正弦函數(shù)纵柿，公式里的正弦函數(shù)是沒有相位的蜈抓，而這里說的正弦函數(shù)是有相位的。我們之前說任意周期函數(shù)都可以由正弦和余弦函數(shù)累加而組成昂儒，這里的正弦函數(shù)和余弦函數(shù)是沒有相位的沟使，而事實上我們只需要有相位的正弦函數(shù)就可以組成任意的周期函數(shù)了。下圖也同樣展示了這些有相位的正弦波組合成矩形波的過程：

矩形波的分解

這里的正弦波之間還有一些直線渊跋，這些直線其實也是正弦波格带，只不過振幅為 $0$ ，這說明組成一個周期函數(shù)時刹枉，可能一些成分是不需要的。

頻譜

上面的圖立體地展示了正弦波組合成周期函數(shù)的過程屈呕，如果我們從側(cè)面來看這個立體圖微宝，也就得到了所謂的頻譜（Spectrum）：

頻譜的由來

其實也就相當于以這些正弦波的頻率做橫軸，振幅做豎軸得到圖像：

頻譜

現(xiàn)在再重新來看一個周期函數(shù)的立體分解圖虎眨，也就是說從正面來看看到的是時域（Time Domain）的圖像蟋软，而從側(cè)面來看看到的就是頻域（Frequency Domain）圖像：

時域與頻域

相位譜

頻譜記錄了正弦波的頻率和振幅镶摘，但沒有記錄相位信息，同樣的我們可以以頻率為橫軸岳守，相位為縱軸構(gòu)建一個相位譜（phase spectrum）：

相位譜

利用頻譜和相位譜就可以記錄所有的組成一個周期函數(shù)的正弦函數(shù)了凄敢。最終，放一張集合圖：

綜合

傅里葉級數(shù)的由來

現(xiàn)在我們解釋下面這個式子的由來湿痢，也順便回答第一個章節(jié)留下的疑問：

$f(t)=a_{0}+\sum_{n=1}^{+\infty }\left [a_{n}cos(n\omega t)+b_{n}sin(n\omega t)\right ]$

利用帶有相位的正弦函數(shù)可以組合成任意的周期函數(shù)涝缝，當然這里的基頻率還是 $\omega =\frac{2\pi }{T}$ ，這個過程用公式可以表示為：

$f(t)=\sum_{{\color{Red}{n=0}}}^{+\infty }A_{n}sin(n\omega t+\varphi _{n})$

利用和角公式進行一些變換：

$f(t)=\sum_{{\color{Red}{n=0}}}^{+\infty }A_{n}sin(n\omega t+\varphi _{n})\\ =\sum_{n=0}^{+\infty }A_{n}[sin(n\omega t)cos(\varphi _{n})+cos(n\omega t)sin(\varphi _{n})]\\ =\sum_{n=0}^{+\infty }[A_{n}cos(\varphi _{n})sin(n\omega t)+A_{n}sin(\varphi _{n})cos(n\omega t)]\\ =A_{0}cos(\varphi _{0})\underset{=0}{\underbrace{sin(0\omega t)}}+\underset{記作a_{0}}{\underbrace{A_{0}sin(\varphi _{0})}}\underset{=1}{\underbrace{cos(0\omega t)}}+\sum_{{\color{Red}{n=1}}}^{+\infty }[\underset{記作b_{n}}{\underbrace{A_{n}cos(\varphi _{n})}}sin(n\omega t)+\underset{記作a_{n}}{\underbrace{A_{n}sin(\varphi _{n})}}cos(n\omega t)]\\ =a_{0}+\sum_{n=1}^{+\infty }\left [a_{n}cos(n\omega t)+b_{n}sin(n\omega t)\right ]$

最終得到了我們之前說過的傅里葉級數(shù)譬重，同時也解釋了前面留下的疑問拒逮。

求解傅里葉級數(shù)的系數(shù)

對于一個周期函數(shù) $f(t)$ ，如何求它分解為傅里葉級數(shù)后的系數(shù) $a_0,a_n,b_n$ 呢臀规？同樣類比笛卡爾坐標系滩援，一個坐標點與一個基向量做內(nèi)積就可以得到這個坐標點在這個基向量上的系數(shù)，那么一個周期函數(shù)只需要與一個基函數(shù)做積分塔嬉，也就可以得到對應的系數(shù)玩徊。那么首先求 $a_0$ （ $a_0$ 對應的基函數(shù)為 $cos(0t)$ ）：

$\int_{0}^{T}f(t)cos(0t)\mathrmo1wpjnyt=\int_{0}^{T}\left (a_{0}+\sum_{n=1}^{+\infty }\left [a_{n}cos(n\omega t)+b_{n}sin(n\omega t)\right ]\right )cos(0t)\mathrmmx2dnnqt \\ =\int_{0}^{T}a_{0}cos(0t)\mathrm25gqfnwt+\int_{0}^{T}\sum_{n=1}^{+\infty }[a_{n}\underset{積分為0}{\underbrace{cos(n\omega t)cos(0t)}}+b_{n}\underset{積分為0}{\underbrace{sin(n\omega t)cos(0t)}}]\mathrm85y1nhmt\\ =a_{0}T$

那么就有：

$a_{0}=\frac{1}{T}\int_{0}^{T}f(t)\mathrmysc01r7t$

然后求 $a_n$ ，對應的基函數(shù)為 $cos(n\omega t)$ ：

$\int_{0}^{T}f(t)cos(n\omega t)\mathrmr1a7ptbt=\int_{0}^{T}\left (a_{0}+\sum_{m=1}^{+\infty }\left [a_{m}cos(m\omega t)+b_{m}sin(m\omega t)\right ]\right )cos(n\omega t)\mathrmlelzo0mt\\ =\int_{0}^{T}a_{0}cos(n\omega t)\mathrmvaq71ixt+\int_{0}^{T}\sum_{m=1}^{+\infty }a_{m}cos(m\omega t)cos(n\omega t)\mathrmujzgv7jt+\int_{0}^{T}\sum_{m=1}^{+\infty }b_{m}sin(m\omega t)cos(n\omega t)\mathrmcirleytt \\ =\int_{0}^{T}a_{n}cos(n\omega t)cos(n\omega t)\mathrmzftiozdt \\ =\int_{0}^{T}a_{n}cos^{2}(n\omega t)\mathrmzsgd6h5t\\ =\int_{0}^{T}a_{n}\frac{1+cos(2n\omega t)}{2}\mathrmlisl5slt\\ =a_{n}\frac{T}{2}$

那么就有：

$a_{n}=\frac{2}{T}\int_{0}^{T}f(t)cos(n\omega t)\mathrmn7no1kbt$

最后用類似的方法求得 $b_n$ ：

$b_{n}=\frac {2}{T}\int_{0}^{T}f(t)sin(n\omega t)\mathrmwqtma62t$

歐拉公式與傅里葉級數(shù)

首先有歐拉公式如下：

$e^{i\theta }=cos(\theta )+isin(\theta )$

可以簡單的將歐拉公式理解為復數(shù)的另一種表示形式谨究， $e^{i\theta }$ 看做復數(shù)恩袱。為了能夠化簡傅里葉級數(shù)的表達形式，我們需要應用到歐拉公式记盒。

當 $\theta =n\omega t$ 以及 $\theta =-n\omega t$ 時憎蛤，根據(jù)歐拉公式有：

$e^{in\omega t}=cos(n\omega t)+isin(n\omega t)\\ e^{-in\omega t}=cos(n\omega t)-isin(n\omega t)$

那么：

$cos(n\omega t)=\frac{e^{in\omega t}+e^{-in\omega t}}{2}\\ sin(n\omega t)=\frac{e^{in\omega t}-e^{-in\omega t}}{2i}$

將這兩項代入傅里葉級數(shù)，并進行整理：

$f(t)=a_{0}+\sum_{n=1}^{+\infty }\left [a_{n}\frac{e^{in\omega t}+e^{-in\omega t}}{2}+b_{n}\frac{e^{in\omega t}-e^{-in\omega t}}{2i}\right ] \\ ={\color{Red}{a_{0}}}+\sum_{n=1}^{+\infty }\left (\frac{a_{n}-ib_{n}}{2}\right )e^{in\omega t}+\sum_{{\color{Blue}{n=1}}}^{{\color{Blue}{+\infty }}}\left (\frac{{\color{Blue}{a_{n}}}+i{\color{Blue}{b_{n}}}}{2}\right ){\color{Blue}{e^{-in\omega t}}}\\ ={\color{Red}{\sum_{n=0}^{0}a_{n}e^{in\omega t}}}+\sum_{n=1}^{+\infty }\left (\frac{a_{n}-ib_{n}}{2}\right )e^{in\omega t}+\sum_{{\color{Blue}{n=-1}}}^{{\color{Blue}{-\infty }}}\left (\frac{{\color{Blue}{a_{-n}}}+i{\color{Blue}{b_{-n}}}}{2}\right ){\color{Blue}{e^{in\omega t}}}\\ =\sum_{-\infty }^{+\infty }{\color{Green}{c_{n}}}e^{in\omega t}$

其中：

$當n=0時,c_{n}=a_{0}\\ 當n=1,2,3,\cdots 時,c_{n}=\frac{a_{n}-ib_{n}}{2}\\ 當n=-1,-2,-3,\cdots 時,c_{n}=\frac{a_{-n}+ib_{-n}}{2}$

上一小節(jié)我們求得了系數(shù) $a_0,a_n,b_n$ 纪吮，現(xiàn)在將這些系數(shù)代入經(jīng)過歐拉公式變換后的傅里葉級數(shù)俩檬。首先，當 $n=0$ 時：

$c_{n}=a_{0}\\ =\frac{1}{T}\int_{0}^{T}f(t)\mathrmcqecmqqt\\ =\frac{1}{T}\int_{0}^{T}f(t)e^{-i0\omega t}\mathrmfb7rgfat$

當 $n=1,2,3,\cdots$ 時：

$c_{n}=\frac{a_{n}-ib_{n}}{2}\\ =\frac{\frac{2}{T}\int_{0}^{T}f(t)cos(n\omega t)\mathrmejtisimt-i\frac{2}{T}\int_{0}^{T}f(t)sin(n\omega t)\mathrmjb5ki2xt}{2}\\ =\frac{1}{T}\int_{0}^{T}f(t)[cos(n\omega t)-isin(n\omega t)]\mathrm8mfdr11t\\ =\frac{1}{T}\int_{0}^{T}f(t)e^{-in\omega t}\mathrmvbpdoezt$

當 $n=-1,-2,-3,\cdots$ 時：

$c_{n}=\frac{a_{-n}+ib_{-n}}{2} \\ =\frac{\frac{2}{T}\int_{0}^{T}f(t)cos(-n\omega t)\mathrmat5ftcgt+i\frac{2}{T}\int_{0}^{T}f(t)sin(-n\omega t)\mathrmnbqexxgt}{2} \\ =\frac{1}{T}\int_{0}^{T}f(t)[cos(n\omega t)-isin(n\omega t)]\mathrmhmrgz7ct\\ =\frac{1}{T}\int_{0}^{T}f(t)e^{-in\omega t}\mathrmvrbpenht$

可見對于任意的 $n$ 碾盟，所有的 $c_n$ 的表達式都是一樣的棚辽，總結(jié)一下，傅里葉級數(shù)最終可以寫為：

$f(t)=\sum_{n=-\infty }^{+\infty }{c_{n}e^{in\omega t}},其中c_{n}=\frac{1}{T}\int_{0}^{T}f(t)e^{-in\omega t}\mathrmhw7yhvut$

上面的式子也就說明冰肴，任意的一個周期為 $t$ 的周期函數(shù)屈藐，都可以使用一組 $c_n$ 來表示它。也就是說熙尉，在時域內(nèi) $(t,f(t))$ 可以唯一地確定函數(shù) $f(t)$ 联逻，而在頻域內(nèi)，函數(shù) $f(t)$ 由 $(n,c_n)$ 來唯一確定检痰，這就是從時域到頻域的轉(zhuǎn)換包归，如下圖：

時域與頻域

上圖右邊縱軸 $c_n$ 其實是個復數(shù)，可以理解為應該有兩個維度铅歼，一個實部公壤，一個虛部换可，但是這里為了簡單畫圖，就把它畫成了實數(shù)厦幅，但其實它是個復數(shù)沾鳄。

三、傅里葉變換

傅里葉變換針對非周期函數(shù)确憨，一個非周期函數(shù)可以看做周期無限大的函數(shù)译荞。同樣的以 $\omega$ 作為基頻率，滿足 $\omega =\frac{2\pi }{T}$ 缚态，當 $T\rightarrow +\infty$ 時磁椒， $\omega \rightarrow 0$ ，又有 $\omega =(n+1)\omega -n\omega =\Delta \omega$ 玫芦，因此 $\Delta \omega \rightarrow 0$ 浆熔。

在這里我們將 $c_n$ 寫作從 $-\frac{T}{2}$ 到 $\frac{T}{2}$ 的積分：

$c_{n}=\frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(t)e^{-in\omega t}\mathrmgqsm5x2t$

那么對于非周期函數(shù) $f(t)$ 來說有：

$f(t)=\lim_{T\rightarrow +\infty }\sum_{n=-\infty }^{+\infty }{c_{n}e^{in\omega t}}\\ =\lim_{T\rightarrow +\infty }\sum_{n=-\infty }^{+\infty }\frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(t)e^{-in\omega t}\mathrm6s6hmuut\cdot e^{in\omega t} \\ =\lim_{\Delta \omega \rightarrow 0}\sum_{n=-\infty }^{+\infty }\frac{\Delta \omega }{2\pi }\int_{{\color{Red}{-\infty }}}^{{\color{Red}{+\infty }}}f(t)e^{-in\omega t}\mathrmvodrkoct\cdot e^{in\omega t}$

從下圖中可以看做，當 $\Delta \omega \rightarrow 0$ 時桥帆，雖然 $n$ 為離散的量医增，但是 $n\omega$ 會變成一個連續(xù)的量：

從離散到連續(xù)

注意 $\Delta \omega =\omega$ ，另外我們令 $W=n\omega$ 老虫，那么我們有：

$f(t)=\lim_{\omega \rightarrow 0}\sum_{{\color{Red}{n}}=-\infty }^{+\infty }\frac{{\color{Red}{\omega }}}{2\pi }\int_{-\infty }^{+\infty }f(t)e^{-in\omega t}\mathrmcw2bp6it\cdot e^{in\omega t}\\ =\int _{-\infty }^{+\infty }\frac{1}{2\pi }\left (\int_{-\infty }^{+\infty }f(t)e^{-iWt}\mathrmhn0xct0t\right )e^{iWt}\mathrm2ti6tytW\\ =\frac{1}{2\pi }\int _{-\infty }^{+\infty }\left (\int_{-\infty }^{+\infty }f(t)e^{-iWt}\mathrm2uigqlgt\right )e^{iWt}\mathrmbqa1y5fW$

注意這里的 $\int_{-\infty }^{+\infty }f(t)e^{-iWt}\mathrmpaol1kkt$ 是對 $t$ 進行積分叶骨，因此它是關于 $W$ 的函數(shù)，定義：

$F(W)=\int_{-\infty }^{+\infty }f(t)e^{-iWt}\mathrm1yskz1zt$

$F(W)$ 就是 $f(t)$ 的傅里葉變換祈匙，將 $F(W)$ 代入 $f(t)$ 得：

$f(t)=\frac{1}{2\pi }\int _{-\infty }^{+\infty }F(W)e^{iWt}\mathrmufntvqvW$

$f(t)$ 就是傅里葉變換的逆變換忽刽。

參考資料

ref:【GCN】萬字長文帶你入門 GCN——公眾號：阿澤的學習筆記
ref:傅里葉變換一步步詳細推導
ref:傅里葉分析之掐死教程（完整版）

最后編輯于：2023.02.04 14:08:32

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傅里葉級數(shù)與傅里葉變換

一易结、從簡單變換到傅里葉級數(shù)

二拉背、傅里葉級數(shù)

三、傅里葉變換

參考資料

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