分別用遞歸和迭代的方式實現(xiàn)下述的公式：
分子部分的規(guī)律為：從第二個開始腹鹉，每兩個數(shù)遞增一次枷畏。因此瓮增，可以用如下公式表示：
用程序計算分子中第n個數(shù)的值，如下所示：
(define (numerator-num n)
(* (+ (quotient n 2)
1)
2))
分母部分的規(guī)律為：從第一個開始绷跑，每兩個數(shù)遞增一次拳恋。因此，可以用如下公式表示：
用程序計算分母中第n個值砸捏，如下所示：
(define (denominator-num n)
(+ (* (quotient (+ n 1) 2)
2)
1))
既可以用遞歸谬运，也可以用迭代的形式得到。
（1）遞歸表示
(define (product term a next b)
(if (> a b)
1
(* (term a)
(product term (next a) next b))))
代碼中product是過程名垦藏，term是公式中的函數(shù)f梆暖，a是起始計算值（也就是公式中的a1），b的終止運算值（也就是公式中的an）掂骏。next指的是a(k)變化到a(k+1)的規(guī)律轰驳，比如對于公式中的分子分母而言，a(k)=k弟灼，a(k+1)=k+1级解，因此這里的next就是進行加一操作。遞歸的思想是通過反復(fù)調(diào)用過程product田绑，得到最終的結(jié)果：
用程序表示過程勤哗，可以表示為：
（2）迭代表示
(define (product term a next b)
(define (iter a result)
(if (> a b)
result
(iter (next a) (* (term a) result))))
(iter a 1))
迭代與遞歸最根本的區(qū)別在于：遞歸會不停地展開，直到完全展開辛馆，然后開始代入計算俺陋；迭代會不停的對數(shù)據(jù)進行替代，而不會展開數(shù)據(jù)昙篙。比如該段代碼的公式表示為：![][7]
result值會在迭代過程中不斷更新腊状，直到最后將result輸出。
因此，可以得到2中不同的遞歸和迭代方式同蜻。
（1）遞歸方式1：分子分母分別遞歸棚点，最后再相除。
#lang planet neil/sicp
(#%require (only racket/base current-inexact-milliseconds))
(define (fraction n)
(define start-time (current-inexact-milliseconds))
(/ (numerator n)
(denominator n))
(newline)
(define end-time (current-inexact-milliseconds))
(display (- end-time start-time)))
(define (numerator n)
(define (fractions-next x) (+ x 1))
(product numerator-num 1 fractions-next n))
(define (denominator n)
(define (fractions-next x) (+ x 1))
(product denominator-num 1 fractions-next n))
(define (numerator-num n)
(* (+ (quotient n 2)
1)
2))
(define (denominator-num n)
(+ (* (quotient (+ n 1) 2)
2)
1))
(define (product term a next b)
(if (> a b)
1
(* (term a)
(product term (next a) next b))))
（2）遞歸方式2：分子分母看作一個整體湾蔓，再進行遞歸瘫析。
#lang planet neil/sicp
(#%require (only racket/math pi))
(#%require (only racket/base current-inexact-milliseconds))
(define (fraction n)
(define start-time (current-inexact-milliseconds))
(define (fractions-next x) (+ x 1))
(product fraction-num 1 fractions-next n)
(define end-time (current-inexact-milliseconds))
(display (- end-time start-time)))
(define (fraction-num n)
(/ (numerator_num n)
(denominator_num n)))
(define (numerator_num n)
(* (+ (quotient n 2)
1)
2))
(define (denominator_num n)
(+ (* (quotient (+ n 1) 2)
2)
1))
(define (product term a next b)
(if (> a b)
1
(* (term a)
(product term (next a) next b))))
（3）迭代方式1：分子分母分別迭代，最后再相除。
#lang planet neil/sicp
(#%require (only racket/base current-inexact-milliseconds))
(define (fraction n)
(define start-time (current-inexact-milliseconds))
(/ (numerator n) (denominator n))
(newline)
(define end-time (current-inexact-milliseconds))
(display (- end-time start-time)))
(define (numerator n)
(define start-time (current-inexact-milliseconds))
(define (fractions-next x) (+ x 1))
(product numerator_num 1 fractions-next n))
(define (denominator n)
(define (fractions-next x) (+ x 1))
(product denominator_num 1 fractions-next n))
(define (numerator_num n)
(* (+ (quotient n 2)
1)
2))
(define (denominator_num n)
(+ (* (quotient (+ n 1) 2)
2)
1))
(define (product term a next b)
(define (iter a result)
(if (> a b)
result
(iter (next a) (* (term a) result))))
(iter a 1))
（4）迭代方式2：分子分母看作一個整體贬循，再進行迭代咸包。
#lang planet neil/sicp
(#%require (only racket/base current-inexact-milliseconds))
(define (fraction n)
(define start-time (current-inexact-milliseconds))
(define (fractions-next x) (+ x 1))
(product fraction-1num 1 fractions-next n)
(newline)
(define end-time (current-inexact-milliseconds))
(display (- end-time start-time)))
(define (fraction-1num n)
(/ (numerator_num n)
(denominator_num n)))
(define (numerator_num n)
(* (+ (quotient n 2)
1)
2))
(define (denominator_num n)
(+ (* (quotient (+ n 1) 2)
2)
1))
(define (product term a next b)
(define (iter a result)
(if (> a b)
result
(iter (next a) (* (term a) result))))
(iter a 1))
分別使用上述迭代和遞歸方法，計算n=1000杖虾，重復(fù)計算50次烂瘫，記錄下每次運算時間，如下圖所示奇适。
[7]: http://latex.codecogs.com/svg.latex?(itera_{1}result)=(itera_{2}(f(a_{1}){\times}result))=(itera_{3}(f(a_{2}){\times}result))
