在《一個數(shù)學(xué)家的辯白》里，一代數(shù)學(xué)大師G.H.哈代說：
“真正”數(shù)學(xué)家的“真正”數(shù)學(xué)阅爽，即費馬挟伙、歐拉楼雹、高斯、阿貝爾和黎曼所研究的數(shù)學(xué)尖阔，幾乎是完全“無用的”（無論是“應(yīng)用”數(shù)學(xué)還是“純”數(shù)學(xué)都是如此）贮缅。對于任何真正的職業(yè)數(shù)學(xué)家，都不可能僅憑他工作的“實用性”來評判其一生介却。
哈代所說的“無用”是狹義的谴供，主要指那種可以帶來物質(zhì)的、實際的功用齿坷。對他來說桂肌，數(shù)學(xué)真正的價值在于帶來美的體驗和深邃的思想，“真正”的數(shù)學(xué)由于具有高度抽象性/普遍性和深刻性永淌，不太可能轉(zhuǎn)換成對物質(zhì)世界有幫助的形式崎场。作為后人，我們知道哈代錯了遂蛀。
20世紀以后谭跨，人類的科學(xué)技術(shù)飛速發(fā)展，曾經(jīng)被認為深奧復(fù)雜的數(shù)學(xué)理論紛紛大展身手。從自然科學(xué)里的其他科目到工程技術(shù)中的實際問題螃宙，幾乎所有關(guān)涉到物質(zhì)世界的事情里都少不了數(shù)學(xué)的身影蛮瞄，數(shù)學(xué)家們亦如魚得水。新的數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)理論層出不窮谆扎，人們也總能為它們找到應(yīng)用場所挂捅。僅存的堡壘是一個哈代十分拿手的領(lǐng)域：數(shù)論。
在許多堅守“純數(shù)學(xué)”領(lǐng)域的數(shù)學(xué)家和愛好者那里堂湖，數(shù)論總是作為純數(shù)學(xué)的典范被提到闲先，只不過現(xiàn)在他們必須加上一句：盡管如此，數(shù)論仍然為密碼學(xué)提供了幫助苗缩。電子計算機與互聯(lián)網(wǎng)的誕生和發(fā)展讓數(shù)學(xué)徹底投降（或者徹底勝利）饵蒂。互聯(lián)網(wǎng)使大量的信息交換成為可能酱讶，信息遂成為人類財富王國里最偉大的礦藏之一——必須嚴加看管退盯。代數(shù)學(xué)的抽象特性使它成為了加密信息的不二之選。
《代數(shù)的歷史》寫道：“這類運算可以運用到根本不是數(shù)的對象上泻肯。數(shù)學(xué)家們習(xí)以為常的那些符號可以代表任何事物：數(shù)渊迁、置換、數(shù)組灶挟、集合琉朽、旋轉(zhuǎn)、變換稚铣、命題等等”箱叁。事實上，代數(shù)學(xué)的思想和方法幾乎可以運用于一切抽象事物惕医，無論是某種文字的字母耕漱、作為抽象概念的幾何圖形，還是自然與人工語言的語法規(guī)則抬伺。例如螟够，本書第八章“其他公鑰系統(tǒng)”講到的橢圓曲線“加法”，這種加法運算與1+1=2看起來毫無相似之處峡钓，但只要滿足交換律與結(jié)合律妓笙，就仍然可以作為一種“加法”來理解和處理。
交換律與結(jié)合律一類的基本數(shù)學(xué)規(guī)則確保了密碼的穩(wěn)定性能岩，即按照特定方式將其擾亂之后寞宫，又可以按照特定方式將其還原，簡言之捧灰，關(guān)于密碼的運算必須是可逆的淆九。原則上统锤，只要一種數(shù)學(xué)運算是可逆的毛俏，那么我們就總是能夠?qū)⑵溥€原炭庙。但是，提前掌握了正確還原方法的人要做到這一點比較輕松煌寇，而那些偷聽信息的人沒有聽到正確的還原方法焕蹄，就必須多花點功夫。因此阀溶，加密和破解是一個制造和彌補信息差的過程腻脏。這種信息差內(nèi)含在數(shù)學(xué)運算之中，它使得許多數(shù)學(xué)運算的逆運算難度大增银锻。
《密碼的數(shù)學(xué)》循序漸進地介紹了幾乎所有的密碼構(gòu)造方式以及對付他們的重要破解方法永品。這些方法并不需要特別高深的數(shù)學(xué)知識和技巧就可以理解，但它們常常反映出非常有趣的數(shù)學(xué)思想击纬。如果你在閱讀過程中感到困難鼎姐，不妨試著玩一玩，很快就能掌握更振！
