三維剛體運動伟骨，由平移和旋轉(zhuǎn)構(gòu)成。平移簡單燃异，旋轉(zhuǎn)就麻煩些了携狭。這一章的重點就是描述旋轉(zhuǎn)，設(shè)計核心概念為：旋轉(zhuǎn)矩陣回俐，變換矩陣逛腿，四元數(shù)以及歐拉角稀并。
一、旋轉(zhuǎn)矩陣
1单默、向量的內(nèi)積碘举、外積及其幾何意義
（1）內(nèi)積a.b = |a|*|b|*cos，結(jié)果是一個數(shù)值而非向量搁廓，幾何上表示向量間的投影關(guān)系
（2）外積a x b = a^b引颈，結(jié)果是一個垂直于a,b向量構(gòu)成的平面的向量，大小為|a|*|b|*sin境蜕，很容易注意到线欲，其大小是a與b圍成的三角形的面積，所以我們也把這樣的結(jié)果叫做有向面積汽摹。顯然李丰，根據(jù)外積的值能推斷出a到b的旋轉(zhuǎn)角度，所以我們也可以用外積表示向量的旋轉(zhuǎn)逼泣。
2趴泌、坐標系間的歐式變換
歐拉變換公式：a' = Ra + t
a'----物體位姿相對新坐標系的位姿
R----旋轉(zhuǎn)矩陣，它是歐拉變換的關(guān)鍵
a----物體相對原坐標系的位姿
t----物體的平移
3拉庶、旋轉(zhuǎn)矩陣的性質(zhì)：
（1）它是一個行列式為1的正交矩陣(與其轉(zhuǎn)置矩陣相乘結(jié)果為單位矩陣)嗜憔，反之行列式為1的正交矩陣也一定是旋轉(zhuǎn)矩陣
（2）特殊正交群：SO(n) = {R|R*R' = I,det(R) = 1}，其中R為一個nxn矩陣氏仗，R'是其轉(zhuǎn)置矩陣吉捶，det(R)為其行列式。SO(n)就是n維空間中旋轉(zhuǎn)矩陣的集合皆尔，當然我們討論最多的就是SO(3)呐舔。
（3）有了旋轉(zhuǎn)矩陣，我們描述相機位姿時慷蠕，可以直接聊矩陣了珊拼，而無需從基（坐標系）開始。體現(xiàn)在歐拉變換公式上流炕，公式右邊的R和t都是絕對量澎现，只有輸入值（向量a）是一個相對量。就是說每辟，我們用R和t兩個參數(shù)剑辫，就完整的描述了坐標變換關(guān)系。
4渠欺、變換矩陣：如果坐標系經(jīng)過多次變換妹蔽，那么對應(yīng)的歐拉變換式就會變得越來越復(fù)雜，所以我們引入了變換矩陣。這是一個數(shù)學技巧讹开，它將旋轉(zhuǎn)和平移都放入同一個矩陣（變換矩陣）中盅视，使得多次變換對應(yīng)的歐拉變換式依然是齊次的：C=T2*B = T2*T1*A捐名。
二旦万、Eigen實踐
本節(jié)講eigen的用法。這里有一份代碼比較注釋比較詳細镶蹋，就不寫那么多了成艘。我就在這里留點簡介吧
1、eigen是一個流行的矩陣工具庫贺归，有了它淆两，我們在進行矩陣、向量的計算時拂酣，就方便得多
2秋冰、作為一個軟件工具庫，它有個特點就是婶熬，只有h文件而沒有.a剑勾、.so等二進制文件，所以在CMakeLists.txt中赵颅，我們只需要引入eigen庫的頭文件目錄（include_directories虽另，但更好的方式還是find_package），而無須鏈接庫文件饺谬。
3捂刺、在mac上的使用步驟：
（1）先執(zhí)行l(wèi)ocate eigen3查看是否安裝，ubuntu也可執(zhí)行此命令
（2）homebrew安裝eigen
（3）CMakeLists.txt中添加include_directories("/usr/include/eigen3")募寨，ubuntu中也是這個默認路徑族展。不同人默認路徑可能不同，用find_package最好拔鹰。
三苛谷、旋轉(zhuǎn)向量與歐拉角：
1、意義：利用向量外積的定義格郁，方向表示旋轉(zhuǎn)方向（右手定則）腹殿，大小表示旋轉(zhuǎn)角度大小。
2例书、旋轉(zhuǎn)向量與旋轉(zhuǎn)矩陣之間有一個換算關(guān)系锣尉，背下來。
3决采、歐拉角：偏航-俯仰-滾轉(zhuǎn)自沧，很容易理解
四、四元數(shù)：
1、意義：對照復(fù)數(shù)來理解拇厢，實際上乘以虛數(shù)部分爱谁，就是旋轉(zhuǎn)；
2孝偎、四元數(shù)與旋轉(zhuǎn)的對應(yīng)關(guān)系访敌，背下來；
3衣盾、四元數(shù)的運算法則寺旺，只能理解加記憶了；
4势决、四元數(shù)與旋轉(zhuǎn)向量阻塑、旋轉(zhuǎn)矩陣的對應(yīng)關(guān)系；
五果复、實踐：visualizeGeometry
這里遇到的麻煩主要是pangolin的導入
1陈莽、跟著github地址上的步驟編譯
2、執(zhí)行sudo make install指令虽抄，成功后在/usr/local/include中生成了pangolin目錄走搁，將該目錄添加到header search paths中，要報錯极颓，沒解決
3朱盐、果斷將跟著github上的https://github.com/gaoxiang12/slambook/tree/master/ch3/visualizeGeometry方式，使用cmake編譯菠隆，運行成功１铡！
