線性代數(shù)——矩陣

行列式

1. 定義

設(shè)有 n^{2} 個數(shù)，排成 n 行 n 列的數(shù)表
\begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n}\\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}\\ \end{matrix}
做出表中位于不同行不同列的n 個數(shù)的乘積昂验，并冠以符號(-1)^{t} 戈擒，得到形如 (-1)^{t}a_{1p_{1}}a_{2p_{2}}\cdots a_{np_{n}} 的項眶明，其中 p_{1}p_{2}\cdots p_{n} 為自然數(shù)1,2,\cdots,n 的一個排列，t 為這個排列的逆序數(shù)筐高，這樣的項共有n! 項搜囱，所有這 n! 項的代數(shù)和 \sum(-1)^{t}a_{1p_{1}}a_{2p_{2}}\cdots a_{np_{n}} 稱為 n 階行列式丑瞧，記作
D=\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n}\\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}\\ \end{vmatrix}
簡記作det(a_{ij})，其中數(shù) a_{ij} 為行列式 D 的 (ij) 元蜀肘。

2. 余子式和代數(shù)余子式

在 n 階行列式中绊汹，把(i,j) 元 a_{ij} 所在的第 i 行和第 j 列劃去后，留下來的 n-1 階行列式叫作 (i,j) 元 a_{ij} 的余子式扮宠，記作 M_{ij}西乖， 記 A_{ij} = (-1)^{i+j}M_{ij}, A_{ij} 叫做 (i,j) 元 a_{ij} 的代數(shù)余子式。

定理 1 ? ? ? n 階行列式
D=\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n}\\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}\\ \end{vmatrix}
等于它的任一行（對列同樣適用）所有元素與他們各自對應的代數(shù)余子式的乘積之和坛增，即|D| = a_{k1}A_{k1} + a_{k2}A_{k2}+\cdots +a_{kn}A_{kn} \qquad (k=1,2,\cdots ,n)

4. 克拉默法則

如果含有n 個未知數(shù) x_{1},x_{2},\cdots,x_{n} 的 n 個線性方程組
\left\{\begin{matrix} y_{1}= a_{11}x_{1} + a_{12}x_{2}+\cdots + a_{1n}x_{n} \\ y_{2}= a_{21}x_{1} + a_{22}x_{2}+\cdots + a_{2n}x_{n} \\ \cdots \cdots \\ y_{n}= a_{n1}x_{1} + a_{n2}x_{2}+\cdots + a_{nn}x_{n} \\ \end{matrix}\right. \tag{1}
的系數(shù)行列式不等于零获雕，即
D=\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n}\\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}\\ \end{vmatrix}\neq 0
那么，方程組 (1)有唯一解收捣。

矩陣

1. 定義

由 m\times n個數(shù) a_{ij}(i=1, 2,…,m; j=1,2,…,n)排列成的 m 行 n 列的數(shù)表
\begin{matrix} a_{11} & a_{12} & ... & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & ... & a_{2n}\\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots\\ a_{m1} & a_{m2} & ... & a_{mn}\\ \end{matrix}
稱為 m 行 n 列矩陣典鸡，簡稱 m\times n 矩陣，一般記著
A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & ... & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & ... & a_{2n}\\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots\\ a_{m1} & a_{m2} & ... & a_{mn}\\ \end{pmatrix}

只有一行的矩陣稱為行矩陣坏晦，又稱為行向量
A = \begin{pmatrix} a_{11} , a_{12} , ... , a_{1n}\\ \end{pmatrix},
只有一列的矩陣稱為列矩陣，又稱為列向量
A = \begin{pmatrix} a_{11}\\ a_{12}\\ \vdots\\ a_{1n}\\ \end{pmatrix}
元素均為0的矩陣稱為零矩陣嫁乘，記著 \mathbf{0}

2. 實質(zhì)

n 個變量 x_{1},x_{2},\cdots,x_{n} 和 m 個變量 y_{1},y_{2},\cdots,y_{m} 之間的關(guān)系式
\left\{\begin{matrix} y_{1}= a_{11}x_{1} + a_{12}x_{2}+\cdots + a_{1n}x_{n} \\ y_{2}= a_{21}x_{1} + a_{22}x_{2}+\cdots + a_{2n}x_{n} \\ \cdots \cdots \\ y_{m}= a_{m1}x_{1} + a_{m2}x_{2}+\cdots + a_{mn}x_{n} \\ \end{matrix}\right.
表示一個從 x_{1},x_{2},\cdots,x_{n} 到 y_{1},y_{2},\cdots,y_{m} 的線性變換昆婿，其中a_{ij} 為常數(shù)。
線性變換的的系數(shù) a_{ij} 構(gòu)成矩陣 A=\left ( a_{ij} \right )_{m\times n}

給定了線性變換蜓斧，它的系數(shù)構(gòu)成的矩陣也就確定仓蛆，反之，如果給出一個矩陣作為線性變換的系數(shù)矩陣堕阔，則線性變換也就確定黍聂。在這個意義上宴倍，線性變換和系數(shù)矩陣之間存在著一一對應的關(guān)系。于是能庆，也可以將矩陣看做是線性變換。

3. 矩陣的運算

3.1 矩陣的加法

設(shè)有兩個 m\times n 矩陣 A=\left ( a_{ij} \right ) 和 B=\left ( b_{ij} \right ), 那么 A 和 B 的和記作 A+B脚线，規(guī)定為A+B=\begin{pmatrix} a_{11}+b_{11} & a_{12}+b_{12} & ... & a_{1n}+b_{1n}\\ a_{21}+b_{21} & a_{22}+b_{22} & ... & a_{2n}+b_{2n}\\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots\\ a_{m1}+b_{m1} & a_{m2}+b_{m2} & ... & a_{mn}+b_{mn}\\ \end{pmatrix}

矩陣加法滿足下列運算規(guī)律（設(shè)A,B,C 都是 m\times n 矩陣）

  • A+B=B+A
  • (A+B)+C=A+(B+C)

3.2 數(shù)與矩陣相乘

數(shù)\lambda 與矩陣 A 的乘積記作 \lambda A 或 A\lambda 搁胆，規(guī)定為\lambda A=A\lambda = \begin{pmatrix} \lambda a_{11} & \lambda a_{12} & ... & \lambda a_{1n}\\ \lambda a_{21} & \lambda a_{22} & ... & \lambda a_{2n}\\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots\\ \lambda a_{m1} & \lambda a_{m2} & ... & \lambda a_{mn}\\ \end{pmatrix}

數(shù)乘矩陣滿足下列運算規(guī)律（設(shè)A,B 都是 m\times n 矩陣，\lambda ,\mu 為數(shù)）

  • \left ( \lambda \mu \right )A=\lambda \left ( \mu A \right )
  • (\lambda +\mu)A=\lambda A + \mu A
  • \lambda\left ( A+B \right ) = \lambda A +\lambda B

矩陣相加和數(shù)乘矩陣合起來稱為矩陣的線性運算邮绿。

3.3 矩陣與矩陣相乘

設(shè) A=\left ( a_{ij} \right ) 是一個 m\times s 的矩陣渠旁， B=\left ( b_{ij} \right ) 是一個 s\times n 的矩陣，那么規(guī)定矩陣A 與矩陣B的乘積是一個 m\times n 矩陣 C=\left ( c_{ij} \right )船逮，其中
c_{ij} = a_{i1}b_{1j} + a_{i2}b_{2j}+\cdots + a_{is}b_{sj}=\sum_{k=1}^{s}a_{ik}b_{kj}\\ (i=1, 2,\cdots ,m;j=1,2,\cdots ,n)
并把此乘積記作 C=AB

注意：

  1. 只有當?shù)谝粋€矩陣（左矩陣）的列數(shù)等于第二個矩陣（右矩陣）的行數(shù)時顾腊，兩個矩陣才能相乘。
  2. 矩陣乘法中挖胃，必須注意矩陣相乘的順序杂靶。一般情形下梆惯，AB\neq BA。
  3. 對于兩個 n 階方陣A, B伪煤，若 AB=BA加袋，則稱方陣 A 與 B 是可交換的。

矩陣乘法滿足下列運算規(guī)律（假設(shè)都是可行的）

  • (AB)C=A(BC)
  • \lambda (AB) = (\lambda A)B=A(\lambda B) (其中\(zhòng)lambda 為數(shù))
  • A(B+C) = AB+AC,\\(B+C)A = BA+CA
  • EA=AE=A
3.3.1 矩陣的冪

設(shè)A 是 n 階方陣抱既，定義
A^{1} = A,A^{2}=A^{1}A^{1},\cdots A^{k+1}=A^{k}A^{1},
其中k為正整數(shù)职烧。

矩陣的冪滿足下列運算規(guī)律：
A^{k}A^{l}=A^{k+l},\left ( A^{k} \right )^{l}=A^{kl}
其中k，l為正整數(shù)防泵。

注意：

  1. 只有當A蚀之，B可交換時，才有\left ( AB \right )^{k} = A^{k}B^{k}捷泞，類似可知足删，\left ( A+B \right )^{2} = A^{2}+2AB+B^{2}, \left ( A-B \right )\left ( A+B \right )=A^{2}-B^{2} 也只有當A，B可交換時才成立锁右。
3.3.2 一個小知識點

若 \alpha=[a_{1},a_{2},\cdots ,a_{n}]^{T}失受，則 \alpha \alpha^{T} = [a_{1},a_{2},\cdots ,a_{n}]\begin{bmatrix} a_{1}\\ a_{2}\\ \vdots \\ a_{n} \end{bmatrix} =a_{1}^{2} +a_{2}^{2}+\cdots +a_{n}^{2}
那么 \alpha \alpha^{T} = 0 \Leftrightarrow a_{i} = 0 (i=1,2,\cdots ,n) \Leftrightarrow \alpha=0

矩陣與矩陣相乘可以看作是多個線性變換的的組合，變換順序為從右向左咏瑟。

3.4 矩陣的轉(zhuǎn)置

把矩陣A的行換成同序數(shù)的列得到一個新矩陣拂到，叫做A 的轉(zhuǎn)置矩陣，記作A^{T}码泞。

矩陣的轉(zhuǎn)置滿足下列運算規(guī)律：

  • (A^{T})^{T}=A
  • (A+B)^{T}=A^{T}+B^{T}
  • (\lambda A)^{T}=\lambda A^{T}
  • (AB)^{T}=B^{T}A^{T}

如果A 為n 階方陣兄旬，如果滿足A^{T}=A，即a_{ij}=a_{ji}(i,j=1,2,\cdots ,n)那么A 稱為對稱矩陣余寥，簡稱對稱陣领铐。對稱陣的特點是：它的元素以對角線為對稱軸對應相等。

3.5 方陣的行列式

由n階方陣A的元素所構(gòu)成的行列式宋舷，稱為方陣A的行列式绪撵，記作\left | A \right | 或detA。

行列式滿足下列運算規(guī)律（設(shè)A,B 都是 n 階方陣肥缔，\lambda 為數(shù)）

  • \left | A^{T} \right |=\left | A \right |
  • \left | \lambda A \right |=\lambda ^{n}\left | A \right |
  • \left | AB \right |=\left | A \right |\left | B \right |
  • \left | A^{*} \right |=\left | A \right|^{n-1}
  • |A^{-1}| = |A|^{-1}
  • 若 \lambda_{i}(i=1,2, \cdots, n) 是 A 的特征值莲兢，則 |A|=\prod_{i=1}^{n}\lambda_{i}
  • 若 A 和 B 相似，則 |A| = |B|

行列式可以看作是該矩陣的線性變換對基向量所圍成的空間（面積续膳、體積……）的縮放倍數(shù)

4. 逆矩陣

4.1 定義

對于n階矩陣A改艇，如果有一個n階矩陣B，使AB=BA=E坟岔，則說矩陣A 是可逆的谒兄，并把矩陣B 稱為A的逆矩陣，簡稱逆陣社付。A的逆矩陣記作A^{-1}承疲。

4.2 逆矩陣的性質(zhì)

  1. 如果矩陣A 是可逆的邻耕，那么A的逆陣是惟一的。
  2. 若矩陣A 可逆燕鸽，則 \left | A \right |\neq 0兄世。
  3. 若 \left | A \right |\neq 0，則矩陣A可逆啊研，且A^{-1} = \frac{1}{|A|}A^{*}御滩，其中A^{*}稱為A的伴隨陣。
  4. 若AB=E(或BA=E)党远，則B=A^{-1}削解。
  5. 方陣的逆陣滿足下列運算規(guī)律：
  • 若A 可逆，則A^{-1}亦可逆沟娱，且(A^{-1})^{-1}=A
  • 若A 可逆氛驮，數(shù)\lambda \neq 0，則\lambda A可逆济似，且 (\lambda A)^{-1} = \frac{1}{\lambda }A^{-1}
  • 若A,B 為同階矩陣且均可逆矫废，則AB 亦可逆，且 (AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}
  • (A^{n})^{-1} = (A^{-1})^{n}
  • (A^{-1})^{T} = (A^{T})^{-1}
  • |A^{-1}| = \frac {1}{|A|}
  • A^{-1} = \frac {1}{|A|}A^{*}

定理 1 ? ? ? \begin{align*} n 階矩陣 A 可逆&\Leftrightarrow |A| \neq 0 \\\ &\Leftrightarrow r(A)=n\\\ &\Leftrightarrow A 的列（行）向量組線性無關(guān)\\\ &\Leftrightarrow A = P_{1}P_{1}\cdots P_{s},P_{i}(i=1,2,\dots,s) 是初等矩陣\\\ &\Leftrightarrow A 與單位矩陣等價\\\ &\Leftrightarrow 0不是A的特征值\end{align*}

5. 奇異矩陣砰蠢、非奇異矩陣磷脯、伴隨矩陣、正交矩陣

  1. 當\left | A \right |=0 時娩脾，A稱為奇異矩陣，否則稱為非奇異矩陣打毛。
  2. 行列式\left | A \right |的各個元素的代數(shù)余子式A_{ij}所構(gòu)成的如下矩陣
    A^{*} = \begin{pmatrix} A_{11} & A_{21} & \cdots & A_{n1}\\ A_{12} & A_{22} & \cdots & A_{n2}\\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ A_{1n} & A_{2n} & \cdots & A_{nn}\\ \end{pmatrix}
    稱為矩陣 A 的伴隨矩陣柿赊，簡稱伴隨陣。

伴隨矩陣有如下計算公式

  • AA^{*} = A^{*}A = |A|E
  • A^{*} = |A|A^{-1}, |A^{*}| = |A|^{n-1}
  • (A^{*})^{-1} = (A^{-1})^{*} = \frac {1}{|A|}A
  • (A^{*})^{T} = (A^{T})^{*}; (kA)^{*} = k^{n-1}A^{*}; (A^{*})^{*} = |A|^{n-2}A
  • r(A^{*}) = \left\{\begin{matrix} n, \quad if\quad r(A)=n\\ 1, \quad if\quad if r(A) = n-1\\ 0, \quad if\quad if r(A)<n-1\\ \end{matrix}\right.
  1. n 階矩陣 A幻枉，如果滿足 AA^{T} = A^{T}A = E碰声，則稱矩陣 A 為正交矩陣。
    若 A 為正交矩陣 \Leftrightarrow A^{T} = A^{-1}
    若 A 為正交矩陣 \Rightarrow |A|^{2} = 1

6. 矩陣的多項式

設(shè)\varphi (x) = a_{0}+a_{1}x+\cdots a_{m}x^{m} 為x的m次多項式熬甫，A 為n 階矩陣胰挑，記\varphi (A) = a_{0}E+a_{1}A+\cdots a_{m}A^{m}
\varphi (A)稱為矩陣A的m次多項式。

因為矩陣A^{k},A^{l}和E都是可交換的椿肩，所以矩陣A的兩個多項式\varphi (A)和f (A)總是可交換的瞻颂，即總有\varphi (A) f(A)=f(A)\varphi (A)
從而A的幾個多項式可以像數(shù)x的多項式一樣相乘或因式分解，例如
(E+A)(2E-A) = 2E+A-A^{2}
(E-3A)^{3} = E-3A+3A^{2}-A^{3}

于是郑象，便可以得出如下結(jié)論：

  • 如果A=P\Lambda P^{-1}贡这，則A^{k}=P\Lambda^{k} P^{-1}，從而
    \begin{align*}\varphi (A)&= a_{0}E+a_{1}A+\cdots a_{m}A^{m}\\ &= Pa_{0}EP^{-1}+Pa_{1}EP^{-1}+\cdots +Pa_{m}\Lambda^{m}P^{-1}\\ & =P\varphi (\Lambda)P^{-1}\end{align*}

  • 如果\Lambda = diag(\lambda_{1},\lambda_{2},\cdots ,\lambda_{n})為對角陣厂榛，則\Lambda^{k} = diag(\lambda_{1}^{k},\lambda_{2}^{k},\cdots ,\lambda_{n}^{k})盖矫，從而
    \begin{align*}\varphi (A)&= a_{0}E+a_{1}A+\cdots a_{m}A^{m}\\ & = a_{0}\begin{pmatrix} 1 & & & \\ & 1 & & \\ & & \ddots & \\ & & & 1 \end{pmatrix}+ a_{1}\begin{pmatrix} \lambda_{1} & & & \\ & \lambda_{2} & & \\ & & \ddots & \\ & & & \lambda_{n} \end{pmatrix} + \cdots + a_{m}\begin{pmatrix} \lambda_{1}^{m} & & & \\ & \lambda_{2}^{m} & & \\ & & \ddots & \\ & & & \lambda_{n}^{m} \end{pmatrix}\\ &=\begin{pmatrix} \varphi (\lambda _{1}) & & & \\ & \varphi (\lambda _{1}) & & \\ & & \ddots & \\ & & & \varphi (\lambda _{1}) \end{pmatrix} \end{align*}

7. 矩陣分塊

m\times n 矩陣 A 有 m 行丽惭，稱為矩陣 A 的 m 個行向量，若第 i 行記作 a_{i}^{T} = (a_{i1}, a_{i2},\cdots ,a_{in})辈双，則矩陣 A 便記為 A=\begin{pmatrix} a_{1}^{T}\\ a_{2}^{T}\\ \vdots \\ a_{m}^{T} \end{pmatrix}
同理责掏，矩陣 A 的 n 列稱為矩陣 A 的 n 個列向量。若第 j 列記作 a_{j}=\begin{pmatrix} a_{1j}\\ a_{2j}\\ \vdots \\ a_{mj} \end{pmatrix}
則A=(a_{1},a_{2},\cdots ,a_{n})

矩陣分塊的運算法則

  • \begin{bmatrix} A & B\\ C & D \end{bmatrix}^{T}=\begin{bmatrix} A^{T} & C^{T}\\ B^{T} & D^{T} \end{bmatrix}
  • 若 B,C分別是 m 階和 s 階矩陣湃望，則
    \begin{bmatrix} B & 0\\ 0 & C \end{bmatrix}^{n}= \begin{bmatrix} B^{n} & 0\\ 0 & C^{n} \end{bmatrix}
  • 若 B,C分別是 m 階和 n 階矩陣换衬，則
    \begin{bmatrix} B & 0\\ 0 & C \end{bmatrix}^{-1}= \begin{bmatrix} B^{-1} & 0\\ 0 & C^{-1} \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0 & B\\ C & 0 \end{bmatrix}^{-1}= \begin{bmatrix} 0 & C^{-1}\\ B^{-1} & 0 \end{bmatrix}

8. 矩陣的初等變換

8.1 定義

下面的三種變換稱為矩陣的初等行變換：
(i)對調(diào)兩行（對調(diào) i,j 兩行，記作 r_{i}\leftrightarrow r_{j}）
(ii)以數(shù) k\neq 0 乘某一行中的所有元素（第 i 行乘 k喜爷，記作 r_{i}\times k）
(iii)把某一行所有元素的 k 倍加到另一行對應的元素上去（第 j 行的 k 倍加到第 i 行上冗疮，記作 r_{i}+kr_{j}）

把定義中的”行“換成”列“，即得矩陣的初等列變換檩帐。
矩陣的初等行變換和初等列變換术幔，統(tǒng)稱為矩陣的初等變換。

如果矩陣 A 經(jīng)有限次初等行變換變成矩陣 B湃密，就稱矩陣 A 與 B 行等價诅挑，記作 A \overset{r} \sim B。
如果矩陣 A 經(jīng)有限次初等列變換變成矩陣 B泛源，就稱矩陣 A 與 B 列等價拔妥，記作 A \overset{c} \sim B。
如果矩陣 A 經(jīng)有限次初等變換變成矩陣 B达箍，就稱矩陣 A 與 B 等價没龙，記作 A\sim B。
矩陣之間的等價關(guān)系具有下列性質(zhì)：

  • 反身性 A\sim A
  • 對稱性 若 A\sim B缎玫，則 B\sim A
  • 傳遞性 若 A\sim B,B\sim C硬纤，則 A\sim C

8.2 行階梯矩陣、行最簡形矩陣赃磨、標準形

行階梯矩陣的特點：可劃出一條階梯線筝家，線的下方全為0.
行最簡形矩陣的特點：非零行的第一個非零元為1，且這些非零元所在的列的其他元素都為0邻辉。
標準形的特點：左上角是一個單位矩陣溪王，其余元素全為0。

8.3 矩陣初等變換的性質(zhì)

定理 1 ? ? ? 設(shè) A 與 B 為 m \times n 矩陣值骇，那么：
(i) A \overset{r} \sim B 的充分必要條件是存在 m 階可逆矩陣 P莹菱；使 PA=B；
(ii) A \overset{c} \sim B 的充分必要條件是存在 n 階可逆矩陣 Q吱瘩；使 AQ=B芒珠；
(iii) A\sim B 的充分必要條件是存在 m 階可逆矩陣 P 及 n 階可逆矩陣 Q；使 PAQ=B搅裙。

定義 1 ? ? ? 由單位矩陣 E 經(jīng)過一次初等變換得到的矩陣稱為初等矩陣皱卓。

性質(zhì) 1 ? ? ? 設(shè) A 是一個 m \times n 矩陣裹芝，對 A 施行一次初等行變換，相當于在 A 的左邊乘以相應的 m 階初等矩陣娜汁；對 A 施行一次初等列變換嫂易，相當于在 A 的右邊乘以相應的 n 階初等矩陣。

初等矩陣都是可逆的掐禁，且其逆陣是同一類型的初等矩陣：E(i,j)^{-1} = E(i,j)怜械；E(i(k))^{-1} = E(i(\frac{1}{k}))；E(ij(k))^{-1} = E(ij(-k))傅事。

性質(zhì) 2 ? ? ? 方陣 A 可逆的充分必要條件是存在有限個初等矩陣 P_{1},P_{2},\cdots ,P_{l}缕允，使 A=P_{1}P_{2}\cdots P_{l}。

推論 ? ? ? 方陣 A 可逆的充分必要條件是 A \overset{r} \sim E蹭越。

9. 矩陣的秩

9.1 定義

在 m \times n 的矩陣 A 中障本，任取 k 行與 k 列（k\leqslant m,k\leqslant n），位于這些行列交叉處的 k^{2} 元素响鹃，不改變他們在 A 中所處的位置次序而得的 k 階行列式驾霜，稱為矩陣 A 的 k 階子式。

設(shè)在矩陣 A 中有一個不等于0的 r 階子式 D 买置，且所有 r+1 階子式（如果存在的話）全等于0粪糙，那么 D 稱為矩陣 A 的最高階非零子式，數(shù) r 稱為矩陣 A 的秩忿项，記作 R(A) 蓉冈，并規(guī)定零矩陣的秩等于0。

由于行列式與其轉(zhuǎn)置行列式相等轩触，因此 A^{T} 的子式與 A 的子式對應相等洒擦，從而 R(A^{T})=R(A)。

對于 n 階矩陣 A 怕膛，由于 A 的 n 階子式只有一個 |A|，故當 |A| \neq 0 時 R(A)=n秦踪，當|A| =0 時 R(A)<n褐捻。可見椅邓，可逆矩陣的秩等于矩陣的階數(shù)柠逞，不可逆矩陣的秩小于矩陣的階數(shù)。因此景馁，可逆矩陣又稱為滿秩矩陣板壮，不可逆矩陣（奇異矩陣）又稱為降秩矩陣。若矩陣 A 的秩等于它的列數(shù)合住，這樣的矩陣稱為列滿秩矩陣绰精。

定理 2? ? ? 若 A\sim B撒璧，則 R(A)=R(B)。
由此可得笨使，為求矩陣的秩卿樱，只要把矩陣用初等行變換變成為行階梯形矩陣，行階梯形矩陣中非零行的行數(shù)即是該矩陣的秩硫椰。

推論? ? ? 若可逆矩陣 P,Q 使 PAQ=B繁调，則 R(A)=R(B)。（由8.3定理1）

9.2 矩陣秩的性質(zhì)

(1) 0\leqslant R(A_{m\times n})\leqslant min|m,n|

(2) R(A^{T})=R(A)

(3) 若 A\sim B靶草，則 R(A)=R(B)

(4) 若 P,Q 可逆蹄胰，則 R(PAQ)=R(A)

(5) max\left \{R(A), R(B)\right \} \leqslant R(A,B) \leqslant R(A)+R(B)

(6) R(A+B) \leqslant R(A) + R(B)

(7) R(AB) \leqslant min\left \{ R(A), R(B) \right \}

(8) 若A_{m \times n}B_{n \times l}=\mathbf{0}，則 R(A) + R(B) \leqslant n

(9) 若 AB=\mathbf{0}奕翔，且 A 為列滿秩矩陣裕寨，則 B=\mathbf{0}。這一性質(zhì)通常稱為矩陣乘法的消去率糠悯。

(10) 若 A 可逆帮坚，則 R(AB)=R(B), R(BA)=R(B)

10. 相似矩陣

設(shè) A,B 均是 n 階矩陣，若存在可逆矩陣 P互艾，使得 P^{-1}AP=B试和，則稱 B 是 A 的相似矩陣，或者說矩陣 A 與 B 相似纫普。

若 n 階矩陣 A 與對角矩陣
\Lambda =\begin{pmatrix} \lambda_{1} & & & \\ & \lambda_{2} & & \\ & & \ddots & \\ & & & \lambda_{n} \end{pmatrix}
相似阅悍，則 \lambda_1, \lambda_2, \cdots, \lambda_n 即是 A 的 n 個特征值。

9.4 線性方程組的解

定理 3? ? ? n 元線性方程組 Ax=b
(i) 無解的充分必要條件是 R(A)<R(A,b)
(ii) 有唯一解的充分必要條件是 R(A)=R(A,b)=n
(iii) 有無限多解的充分必要條件是 R(A)=R(A,b)<n

定理 4 ? ? ? n 元齊次線性方程組 Ax=0 有非零解的充分必要條件是 R(A)<n

定理 5 ? ? ? 線性方程組 Ax=b 有解的充分必要條件是 R(A)=R(A,b)

定理 6 ? ? ? 矩陣方程 Ax=B 有解的充分必要條件是 R(A)=R(A,B)

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