【義】2.1 由m×n個數(shù)aij （ i＝1漏峰， 2糠悼， …， m浅乔； j＝1倔喂， 2， …靖苇， n） 排成的m行n列的數(shù)表席噩，稱為m行n列矩陣 ， 簡稱m×n矩陣
矩陣運算
矩陣加法滿足下列運算規(guī)律
- A＋B＝B＋A顾复；
- （ A＋B） ＋C＝A＋（ B＋C） 班挖；
- A＋（ -A） ＝0， A＋0＝A
【義】2.6 設(shè)有矩陣A＝（ aij ） m×k 和B＝（ bij ） k×n 芯砸， 那么規(guī)定矩陣A與B的乘積 是一個m×n矩陣C＝（ cij ） m×n 萧芙， 記作C＝AB
矩陣乘法雖然不滿足交換律和消去律给梅， 但是滿足以下規(guī)律
- 結(jié)合律： （ AB） C＝A（ BC）
- λ（ AB） ＝（ λA） B＝A（ λB） （ 其中λ為數(shù)）
- 分配律： A（ B＋C） ＝AB＋AC， （ B＋C） A＝BA＋CA
可逆矩陣
【義】2.11 對于n階方陣A双揪， 若有一個n階方陣B动羽， 使得AB＝BA＝E． 則稱矩陣A是可逆 的， 矩陣B為A的逆矩陣渔期， 簡稱逆陣
矩陣的逆矩陣滿足以下的運算規(guī)律：
- 如果方陣A可逆运吓， 則A-1 可逆， 且（ A-1 ） -1 ＝A
-
如果方陣A可逆疯趟， 數(shù)λ≠0則λA可逆拘哨， 且其逆矩陣
-
如果方陣A可逆， 則A的轉(zhuǎn)置矩陣AT 也可逆信峻， 且
-
如果方陣A倦青， B均可逆且為同階矩陣， 則AB可逆盹舞， 且
伴隨矩陣（求矩陣A的逆矩陣）
【義】2.12 設(shè)n階方陣A＝（ aij ） n×n 产镐， 則它的伴隨矩陣為矩陣A的行列式∣A∣的各個元素的代數(shù)余子式Aij 所構(gòu)成的矩陣， 記為A*
【理】2.1 n階方陣A是可逆矩陣的充分必要條件是∣A∣≠0踢步，
逆矩陣的應(yīng)用
通過矩陣的逆矩陣癣亚， 我們可以簡化矩陣的計算， 求解矩陣方程获印， 討論線性變化的逆變化等
分塊矩陣
利于計算
矩陣的初等變換
【義】設(shè)矩陣A＝（ aij ） m×n 述雾， 下面的三種變換：
- （交法變換） 交換矩陣A的某兩行（列）
- （倍法變換） 矩陣A的某行（列） 乘以非零常數(shù)k
- （消法變換） 矩陣A的某行（列） 乘以常數(shù)k加到另一行（列） 上
稱為矩陣的初等行（列） 變換 ， 統(tǒng)稱矩陣的初等變換
【義】矩陣A經(jīng)過若干次初等變換后變成矩陣B绰咽， 則稱矩陣A和矩陣B等價 ， 記為A?B
矩陣之間的等價關(guān)系具有以下三個性質(zhì)：
- 反身性： A?A
- 對稱性： 若A?B地粪， 則B?A
- 傳遞性： 若A?B， B?C琐谤， 則A?C
通常我們會用矩陣的初等變換把矩陣化為較簡單的形式． 下面是幾種較常用到的矩陣
- 行階梯形矩陣 ： 矩陣自上而下的非零行蟆技， 每行的第一個非零元素比上一行的后移， 零行位于矩陣的最下面
- 行最簡形矩陣 ： 矩陣是行階梯形矩陣斗忌， 且每一行的第一個非零元素所在列除它外全為零质礼， 而且這個非零元素為1
- 標(biāo)準形矩陣 ： 矩陣的左上角為一個r階單位矩陣， 其他元素全為零
初等矩陣
【義】2.15 n階單位矩陣En 經(jīng)過一次初等變換得到的矩陣稱為n階初等矩陣
一般地织阳， 對n階單位矩陣En 有
- En 的第i眶蕉， j行（列） 交換得到初等矩陣E（i， j）
- En 的第i行（列） 乘非零常數(shù)k得到初等矩陣E（i（k））
- En 的第j行乘常數(shù)k加到第i行（或第i列乘常數(shù)k加到第j列） 得到初等矩陣E（i唧躲， j（k））
通過直接驗證造挽， 很容易得出初等矩陣具有以下性質(zhì)：
- 初等矩陣的轉(zhuǎn)置仍是初等矩陣
- 初等矩陣均是可逆矩陣碱璃， 且其逆矩陣仍為同類的初等矩陣
【理】2.2 設(shè)A是m×n矩陣， 則：
- 對A施行一次行初等行變換饭入， 相當(dāng)于用一個相應(yīng)的m階初等矩陣左乘A
- 對A施行一次列初等列變換嵌器， 相當(dāng)于用一個相應(yīng)的n階初等矩陣右乘A
【理】2.3 方陣A可逆的充分必要條件是： A可以表示成若干初等矩陣的乘積
【推】2.2 設(shè)A， B是m×n矩陣谐丢， 則A?B的充分必要條件是： 存在m階可逆矩陣P和n階可逆矩陣Q爽航， 使得A＝PBQ
【推】2.3 方陣A可逆的充分必要條件是： A?E
【推】2.4 設(shè)A是可逆矩陣， 則只用初等行變換即可把A化為單位矩陣E． 同樣乾忱， 只用初等列變換也能把A化為單位矩陣E
用初等變換計算逆矩陣
