⑴最小的一位數(shù)是0還是1互订？

　　這個問題在很長一段時間存在爭論。先來看看《九年義務(wù)教育六年制小學數(shù)學第八冊教師教學用書》第98頁“關(guān)于幾位數(shù)”的敘述：“通常在自然數(shù)里痘拆，含有幾個數(shù)位的數(shù)仰禽，叫做幾位數(shù)。例如“2”是含有一個數(shù)位的數(shù)纺蛆，叫做一位數(shù)吐葵；“30”是含有兩個數(shù)位的數(shù)，叫做兩位數(shù)桥氏；“405”是含有三個數(shù)位的數(shù)温峭，叫做三位數(shù)……但是要注意：一般不說0是幾位數(shù)。

　　再來聽聽專家的說明：在自然數(shù)的理論中字支，對“幾位數(shù)”是這樣定義的凤藏，“只用一個有效數(shù)字表示的數(shù)，叫做一位數(shù)堕伪；只用兩個數(shù)字（其中左邊第一個數(shù)字為有效數(shù)字）表示的數(shù)揖庄，叫做兩位數(shù)……所以，在一個數(shù)中欠雌，數(shù)字的個數(shù)是幾（其中最左邊第一個數(shù)字為有效數(shù)字）蹄梢，這個數(shù)就叫幾位數(shù)。

　　于此富俄，所謂最大的幾位數(shù)禁炒，最小的幾位數(shù)，通常是在非零自然數(shù)的范圍研究霍比。所以一位數(shù)共有九個幕袱，即：1、2悠瞬、3凹蜂、4、5阁危、6玛痊、7、8狂打、9擂煞。0不是最小的一位數(shù)。

　　⑵為什么0也是自然數(shù)趴乡？

　　課標教材對“０也是自然數(shù)”的規(guī)定对省，顛覆了人們對自然數(shù)的傳統(tǒng)認識。

　　于此晾捏，中央教科所教材編寫組主編陳昌鑄如是說：國際上對自然數(shù)的定義一直都有不同的說法蒿涎，以法國為代表的多數(shù)國家都認為自然數(shù)從0開始，我國教材以前一直都是遵循前蘇聯(lián)的說法惦辛，認為0不是自然數(shù)劳秋。2000年教育部主持召開教材改編會議時，已明確提出將0歸為自然數(shù)胖齐。這次改版也是與國際慣例接軌玻淑。

　　從教學實踐層面來說，將“０”規(guī)定為“自然數(shù)”也有著積極的現(xiàn)實意義呀伙。

　　①“0”作為自然數(shù)的“好處”

　　眾所周知补履，數(shù)學中的集合被分為有限集合和無限集合兩類。有限集合是含有有限個元素的集合剿另，像某班學生的集合箫锤。無限集合是含有的元素個數(shù)是非有限的集合，如分數(shù)的集合雨女。因為自然數(shù)具有“基數(shù)”的性質(zhì)谚攒，因此用自然數(shù)來描述有限集合中元素的個數(shù)是很自然的。

　　但在有限集合中戚篙，有一個最主要也是最基本的集合五鲫，叫空集｛｝，元素個數(shù)為0岔擂。如果不把0作為自然數(shù)位喂，那么空集的元素的個數(shù)就無法用自然數(shù)來表示了。如果把“0”作為一個自然數(shù)乱灵，那么自然數(shù)就可以完成刻畫“有限集合元素個數(shù)”的任務(wù)了塑崖。于此，從“自然數(shù)的基數(shù)性”這個角度痛倚，我們看到了把“0”作為自然數(shù)的好處规婆。

　　②把“0”作為自然數(shù)，不會影響自然數(shù)的“運算功能”

　　“0”加入傳統(tǒng)的自然數(shù)集合，所有的“運算規(guī)則”依舊保持抒蚜，如新自然數(shù)集合{0掘鄙，1，2嗡髓，…操漠，ｎ，…}中的任何兩個自然數(shù)都可以進行加法和乘法運算饿这，而運算結(jié)果仍然是自然數(shù)浊伙。同時，加法长捧、乘法運算的結(jié)合律和交換律嚣鄙，以及乘法的分配律也不會受到影響。

　　所以串结，“0”加盟到自然數(shù)集合實屬理所當然哑子，而不僅僅是人為的“規(guī)定”。它讓我們更好地理解自然數(shù)和它的功能奉芦，同時也讓我們意識到教學時不僅要知道和記住數(shù)學的“定義”和“規(guī)定”赵抢，還應(yīng)該思考“規(guī)定”背后的數(shù)學涵義。

　　⑶什么是有效數(shù)字声功、無效數(shù)字烦却？

　　有效數(shù)字是對一個數(shù)的近似值的精確程度而提出的。同一個近似數(shù)如果在取舍時先巴，保留的有效數(shù)字多其爵，就比保留的有效數(shù)字少更精確。一般說伸蚯，一個近似數(shù)四舍五入到哪一位摩渺，就說這個近似數(shù)精確到哪一位。

　　這時剂邮，從左邊第一個非零的數(shù)字起摇幻，到那一位上的所有數(shù)字都叫做這個數(shù)的有效數(shù)字。如近似數(shù)0.00309有三個有效數(shù)字：3挥萌、0绰姻、9；0.520也有三個有效數(shù)字：5引瀑、2狂芋、0。而0.00309中左邊的三個零憨栽，0.520中左邊的一個零帜矾，都叫做無效數(shù)字翼虫。

　　⑷加法與減法、乘法與除法是否互為逆運算屡萤？

　　“加法與減法互為逆運算珍剑、乘法與除法互為逆運算”這似乎成了許多老師的口頭禪，這其實是一種誤解灭衷。例如：

　　加法“2＋3＝5”次慢，其逆算為“5－2＝3”，“5－3＝2”翔曲。故此，加法的逆運算只有減法劈愚。

　　減法“5－2＝3”瞳遍，其逆算有“5－3＝2”，“2＋3＝5”菌羽。故此掠械，減法的逆運算有減法和加法兩種運算。

　　綜上可知注祖，只能說減法是加法的逆運算猾蒂，而不能說加法與減法互為逆運算。

　　同理是晨，也只能說除法是乘法的逆運算肚菠，而不能說乘法與除法互為逆運算。

　　⑸為什么不寫“倍”罩缴？

　　在學習“求一個數(shù)是另一個數(shù)的幾倍”應(yīng)用題時蚊逢，很多小朋友會自然提出這樣的疑問，如：“飼養(yǎng)小組養(yǎng)了12只小雞箫章，3只小鴨烙荷，小雞的只數(shù)是小鴨的幾倍？”為什么“12÷3＝4”的后面不寫“倍”呢檬寂？

　　我們首先應(yīng)該肯定學生的質(zhì)疑（學生有較強的解題規(guī)范意識）终抽。但同時又該對學生說明：在解答應(yīng)用題時，得數(shù)后面一般要寫上的是數(shù)的單位名稱桶至。如：12只的“只”昼伴；8克的“克”。一個數(shù)只有帶上單位名稱塞茅，才能準確地表示出一個物體的多少亩码、大小、長短野瘦、輕重等等描沟。但是飒泻，“倍”不是單位名稱，它表示兩個數(shù)量之間的一種關(guān)系吏廉。例如泞遗，上面的計算結(jié)果“4”，表示12里面有4個3席覆，就是12只小雞是3只小鴨的4倍史辙。所以，在算式里不寫“倍”佩伤，以免“倍”與單位名稱發(fā)生混淆聊倔。

　　⑹“倍”和“倍數(shù)”的區(qū)別

　　在第一學段我們學習了“倍的初步認識”，認識了概念“倍”生巡，而在第二學段耙蔑，我們又學習到“倍數(shù)”這個概念。那么孤荣，“倍”和“倍數(shù)”這兩個詞到底是不是一回事呢甸陌？這兩個詞之間有什么區(qū)別呢？

　　“倍”指的是數(shù)量關(guān)系盐股，它建立在乘除法概念的基礎(chǔ)上钱豁。例如：男生有10人，女生有30人疯汁，因為“10×3=30”或者“30÷10=3”牲尺，我們就說，女生人數(shù)（30）是男生人數(shù)（10）的3倍涛目，也可以說秸谢，男生人數(shù)（10）的3倍等于女生人數(shù)（30）。勿寧說霹肝，“倍”其實表示的是兩個數(shù)的商（這個商可以是整數(shù)估蹄、小數(shù)、分數(shù)等各種表現(xiàn)形式）沫换。

　　“倍數(shù)”指的是數(shù)與數(shù)之間的聯(lián)系臭蚁，它建立在整除概念的基礎(chǔ)上。例如讯赏，30能被6整除垮兑，30就是6的倍數(shù)∈妫可見系枪，“倍數(shù)”是不能獨立存在的（具有特定的指向性），而且對數(shù)的形式有特別的要求（必須為整數(shù)）磕谅。

　　同時我們又看到私爷，30也是6的5倍雾棺，因為6×5＝30，“6×5”表示6的5倍衬浑。所以從這個角度來說捌浩，“倍”的涵義應(yīng)寬泛于“倍數(shù)”，后者可以視為前者在特定情形下的一種表現(xiàn)工秩。

　　⑺“時”和“小時”有什么不同尸饺？怎樣使用“時”和“小時”？

　　首先應(yīng)該明確的是助币，〔小〕時并非國際時間單位浪听。在1984年國務(wù)院發(fā)布的《關(guān)于我國統(tǒng)一法定計量單位的命令》中，把秒作為時間的基本單位奠支，把非國際單位制的時間單位天（日）馋辈、〔小〕時、分作為輔助單位倍谜。（注：〔〕里的字，在不致混淆的情況下叉抡，可以省略）尔崔。這樣，在我國范圍內(nèi)使用的法定時間單位就有：天（日）褥民、〔小〕時季春、分、秒消返。

　　由此载弄，“時”既可以表示時間，又可以表示時刻撵颊。由于“時間”和“時刻”這兩個不同的概念容易產(chǎn)生混淆宇攻，在實際應(yīng)用時間單位“時”時，現(xiàn)行教材作了如下處理：

①當列式計算出時間的長短時倡勇，在得數(shù)的括號里寫上時間的單位“時”逞刷。

例如：超市營業(yè)時間：21－9=12（時）。（此處可省略“小”字）

②在用語言表述時間的長短時妻熊，為避免“時間”和“時刻”這兩個概念產(chǎn)生混淆夸浅，則在“時”的前面加上一個“小”字。

例如：超市營業(yè)時間12小時扔役。

③在用語言表示時刻時帆喇，一律不得出現(xiàn)“小時”字樣。

例如：公園每天早上7時30分開園（而非7小時30分）亿胸。

　　⑻“路程”就是“距離”嗎坯钦？

　　這兩個詞在許多老師的教學語言中是替代使用的预皇，其實不然。

　　“路程”是指從一個地點到另一個地點所經(jīng)過路線的長度葫笼；而“距離”則指連接兩個地點而成的直線段的長度深啤。

　　可以看到，“路程”所經(jīng)過的路線可以是曲形線路星，也可以是直形線溯街，還可能是折形線。一般情況下洋丐，兩個地點之間的“路程”要大于它們之間的“距離”呈昔，只有當兩個地點之間的路線為直線時，路程和距離才相等友绝。

　　⑼最大的分數(shù)單位是1/2還是1/1堤尾？

　　先看看分數(shù)單位的含義：把單位“1”平均分成若干份，表示這樣一份的數(shù)迁客。

　　顯然郭宝，在分數(shù)意義中，關(guān)鍵是“分”掷漱，沒有“分”粘室，就沒有“份”。因為把單位“1”平均分成的最少份數(shù)是2份（如果是1份卜范，也就無所謂“分”）衔统，由此得到的分數(shù)單位是1/2，所以1/2是最大的分數(shù)單位海雪。

　　盡管就廣義的分數(shù)來說锦爵，1/1也可視作分數(shù)，但它已不是我們通常意義上認識的與整數(shù)對立的那種分數(shù)（在平均分的基礎(chǔ)上所產(chǎn)生）奥裸，故此险掀，最大的分數(shù)單位應(yīng)以1/2為宜。

　　⑽像0/3刺彩、0.2/3迷郑、3/0.2這樣的數(shù)是不是分數(shù)？

　　分數(shù)的定義明確告訴我們：把單位“1”平均分成若干份创倔，表示這樣一份或幾份的數(shù)嗡害，叫分數(shù)。其中畦攘，分成的份數(shù)叫做分數(shù)的分母霸妹，要表示的份數(shù)叫做分子。由此可知知押，分數(shù)的分子和分母都應(yīng)該是非零自然數(shù)叹螟。從這個意義來說鹃骂，以上這幾個數(shù)徒具分數(shù)的形式，而不具分數(shù)的實質(zhì)罢绽，因此都不應(yīng)該視為分數(shù)畏线。

　　進而，在考查學生對“分數(shù)”涵義的理解時良价，應(yīng)著眼于通常意義上的分數(shù)寝殴，將上述這些變異形式納入思考的范圍，其本身對訓練學生的思維并無多大實際意義明垢，而且會令諸如“分數(shù)都大于0”等命題的真與假陷入尷尬蚣常。

　　⑾比6多1/2的數(shù)應(yīng)該是“6＋1/2”還是“6×(1＋1/2)”？

　　要弄清這個問題痊银，先得弄清“6”的性質(zhì)抵蚊。顯然，此處的“6”其實質(zhì)是一個“數(shù)”溯革，而非一個“量”贞绳，求“比6多1/2的數(shù)”應(yīng)屬于“求比一個數(shù)多幾的數(shù)”的范疇，問題中的“多幾”都是確定的具體數(shù)致稀，這里的“幾”既可以是整數(shù)熔酷，也可以是小數(shù)或分數(shù)。所以豺裆，這里的“1/2”是指在6的基礎(chǔ)上“多1/2”這個“1/2”數(shù)的本身，而非“6的1/2”号显。所以臭猜，“比6多1/2的數(shù)”應(yīng)該是“6+1/2”。

　　當然押蚤，如果題目確定為“比6多它的1/2的數(shù)”蔑歌，那答案則屬于后者。

　　⑿計算出勤率可不可以不乘100%揽碘？

　　同一課程標準下次屠，不同的教材給出了不同的理解，這給執(zhí)教者帶來了困惑：到底可不可以不乘100%呢雳刺？筆者以為劫灶，求“××率”其結(jié)果必定為百分率。以出勤率為例掖桦，就是求實際出勤人數(shù)占應(yīng)出勤人數(shù)的百分之幾本昏。如果公式只寫成：出勤率＝實際出勤人數(shù)／應(yīng)出勤人數(shù)，我們說這只是分數(shù)形式（也即是求實際出勤人數(shù)占應(yīng)出勤人數(shù)的“幾分之幾”）枪汪，并不是百分數(shù)涌穆。因此怔昨，在公式后面乘上“100％”，既可以使計算數(shù)值大小不變宿稀，又能保證結(jié)果形式滿足百分數(shù)的要求趁舀。因此，計算出勤率祝沸、發(fā)芽率矮烹、出粉率、合格率……的公式中奋隶，都應(yīng)乘“100％”擂送。同時建議各版本教材的編委統(tǒng)一思想，以免給一線教師造成認識上的混亂唯欣。

　　⒀少于90度的角都是銳角嗎嘹吨？

　　根據(jù)課標教材定義：小于90度的角叫做銳角。答案似乎是肯定的境氢，但由此又產(chǎn)生一個新的問題：0度的角是什么角蟀拷，也是銳角嗎？

　　事實是萍聊，銳角定義有一個隱含的前提问芬，就是小學數(shù)學中所討論的角都是正角。習慣上寿桨，我們把射線按逆時針方向旋轉(zhuǎn)而得到的角叫做正角此衅，射線按順時針方向旋轉(zhuǎn)而得到的角叫做負角，當一條射線沒有做任何旋轉(zhuǎn)時亭螟，就把它看成零角挡鞍。如果將角的概念推廣到任意大小的角，就應(yīng)分為正角预烙、負角墨微、和零角。

　　由此扁掸，嚴格意義上的銳角定義應(yīng)是：大于0度而小于90度的角叫做銳角翘县。

　　⒁足球比賽記分牌上的“3：2”是數(shù)學中的“比”嗎？

　　我們至少可以從兩個方面來理解它們的差別谴分。

　　第一锈麸，球類比賽中的“3︰2”表示的是比賽雙方的得分情況，是“差”比狸剃，即表示相差關(guān)系掐隐，一方得3分，另一方得２分，雙方相差1分虑省；數(shù)學中的“3︰2”表示的是“3÷2”匿刮，是“倍”比，商為1.5探颈。有鑒于此熟丸，球類比賽中的“比”（其實是比分），其后數(shù)可以為0的伪节，而數(shù)學中的“比”光羞，其后數(shù)（相當于除數(shù)）是不可以為0的。

　　2︰1”怀大；同樣的“4︰2”放在球類比賽中纱兑，卻不可以化簡，如果化簡就不能反映雙方在比賽中的實際得分了化借。

　　⒂“改寫”和“省略”是一樣的嗎潜慎？

　　“改寫”與“省略”其本質(zhì)是完全不同的。表現(xiàn)在：

　”涂怠①目的不同铐炫。“改寫”的目的是方便對大數(shù)的讀寫蒜焊，而“省略”則是取數(shù)的近似值倒信。

　　②方法不同泳梆。此處的“改寫”是去掉“億”位后面的0鳖悠，再寫上一個“億”字，而“省略”除了要找準“億”位优妙，還要考慮被省略的尾數(shù)的最高位是幾竞穷，然后用四舍五入法求出近似數(shù)。

　×鄹取③符號不同∈蟾纾“改寫”只改變了數(shù)的表現(xiàn)形式熟菲，大小并未改變，所以用“=”號連接朴恳；而“省略”既改變了數(shù)的形式抄罕，又改變的數(shù)的大小，所以用“≈”連接于颖。