第九講 —— 線性相關(guān)性覆旱，基骇塘，維數(shù)
本講將學(xué)習(xí)線性無關(guān)（linear independence）伊履，對于向量組，何謂“線性無關(guān)”款违，或者與之相反的情況唐瀑，線性相關(guān)。什么是由向量組生成的空間插爹。什么是向量空間的“基”哄辣，什么是子空間的“維數(shù)”。我們會說向量組是線性無關(guān)的赠尾，但不會說一個(gè)矩陣是線性無關(guān)的力穗。
1. 線性無關(guān)
有向量組
，什么條件下它們是線性無關(guān)的气嫁？對它們進(jìn)行線性組合当窗，是否存在結(jié)果為零的組合？除系數(shù)全為零寸宵，如果存在一種組合崖面，使得結(jié)果為零向量，那么它們是線性相關(guān)的梯影。如果不存在結(jié)果為零向量的組合巫员，則向量組線性無關(guān)。這表示甲棍，任何
的結(jié)果都不為零简识，除非所有系數(shù)都為零。如果向量組里包含了一個(gè)零向量感猛，那么向量組不可能線性無關(guān)七扰。
若
都是矩陣
的列，換言之唱遭，假設(shè)在一個(gè)
維空間里戳寸，可以通過將它們放在一個(gè)矩陣中，直接判斷向量組的線性相關(guān)性拷泽。如果向量組線性無關(guān)疫鹊，那么矩陣的零空間中只有零向量撕予。如果向量組線性相關(guān)迷扇，則表示零空間中存在其它一些向量，即有乘上非零向量
得零向量逸邦，也就是存在向量組的線性組合結(jié)果為零向量脂矫。換一個(gè)角度枣耀，可以通過秩考慮，如果矩陣的列線性無關(guān)庭再，則矩陣的秩是多少捞奕？則前者有
牺堰，%3D0)
，沒有自由變量颅围，后者有
伟葫，有自由變量。
2. 生成空間
設(shè)向量組
生成一個(gè)向量空間院促，意味著這個(gè)空間包含這些向量的所有線性組合筏养。如果給出一個(gè)向量組，然后令
為它們的生成空間常拓，這表示包含向量組的所有線性組合渐溶。是包含這些向量的空間中最小的一個(gè)，因?yàn)槿魏伟@些向量的空間弄抬，必須包含向量組的所有線性組合茎辐，如果僅僅包含這些組合，就得到最小的一個(gè)空間眉睹。這個(gè)空間就是向量組的生成空間荔茬。把向量組的所有線性組合的結(jié)果放到一個(gè)空間里，簡稱為生成（span）竹海。
3. 基
向量空間的一組基（basis）是指一系列的向量慕蔚，
，這些向量具有兩個(gè)特性斋配，線性無關(guān)和生成空間孔飒。
舉例，有一個(gè)
空間艰争，求空間的一組基坏瞄。如
。當(dāng)空間是時(shí)甩卓，有3個(gè)向量鸠匀，矩陣為方陣，它需要滿足什么條件逾柿，其列才能組成基缀棍？有
中
個(gè)向量要構(gòu)成基，以這個(gè)向量為列的
矩陣是什么机错？矩陣必須是可逆的爬范，只有此時(shí)，空間才是空間弱匪。任取某可逆
矩陣青瀑，其列都是的基。矩陣可逆，其列空間就是斥难，而各列線性無關(guān)枝嘶。
4. 維數(shù)
對于給定空間，空間中任意基都滿足此性質(zhì)蘸炸，即基向量的個(gè)數(shù)相等躬络，如果一組基有個(gè)向量尖奔，那么所有基都是個(gè)向量搭儒，數(shù)字表示此空間的大小，也就是生成此空間需要的基向量個(gè)數(shù)提茁。其中的淹禾，稱為空間的維數(shù)（dimension）。
舉例有空間)
茴扁，
铃岔，找出列空間的一組基，如
峭火。矩陣的秩為2毁习，即)
=主列的數(shù)目=列空間的維數(shù))
。找出零空間的一組基卖丸，如
纺且。零空間的維數(shù))
=自由變量的數(shù)目=
。
