引子：音樂是關(guān)于感情取具、感覺的表達(dá)肃晚，而數(shù)字是理性、推理的體現(xiàn)透绩∑迕郑可是有人卻說音樂的本質(zhì)是數(shù)學(xué)核偿？
一周后，學(xué)生和老師在餐廳碰面了顽染。
“如果你有印象，上次我們說到希臘的畢達(dá)哥拉斯（Pythagoras ）學(xué)派粉寞，他們認(rèn)為音樂的本質(zhì)是數(shù)字∪示猓” 老師說到。（《時(shí)間之問16》漫漫回歸路）
“嗯野芒，我們說過這一點(diǎn)双炕∧可是我不能同意這句話妇斤！” 學(xué)生爭辯道。
“為什么呢荸恕？” 老師說道。
“因?yàn)橐魳肥顷P(guān)于感情融求、感覺的表達(dá)算撮，而數(shù)字是理性、推理的體現(xiàn)肮柜。如果說音樂和數(shù)字是兩個(gè)居民的話，他們一定居住在一個(gè)國家的南北兩端莱睁，可能一輩子都見不上一面，更別說建立聯(lián)系了仰剿，不是嗎？”
“你說的有道理酥馍，不過畢達(dá)哥拉斯學(xué)派自有他們的主張阅酪，他們認(rèn)為兩者之間的聯(lián)系天經(jīng)地義，他們甚至試圖在音樂和數(shù)字之間建立一種內(nèi)在的聯(lián)系术辐。” 老師說道辉词。
“他真是一個(gè)奇怪的人！我實(shí)在想不明白敷搪，麻煩你好好講講這是怎么一回事〈鄙冢”
“好捞镰，讓我們回到2500年前的歐洲闸与。你應(yīng)該知道，歐亞大陸的交接處一直是文明集中的地方岸售〖＃”
“是的凸丸，一片藍(lán)色的地中海把歐洲東部的希臘和亞洲西部連接在一起〗馑铮”
“對抛人，那你一定還記得我們以前講到的安提基特拉機(jī)械吧？畢達(dá)哥拉斯的故事就發(fā)生在這一地區(qū)妖枚。如果你站在希臘半島向東南眺望，你會看到一片小島林立的大海荠商，它叫做愛琴海〕跞猓” 老師說道饰躲。 （ 《時(shí)間之問11》發(fā)現(xiàn)安提基特拉機(jī)械）
“哈，說到愛琴海妄壶，我非常喜歡碧藍(lán)的愛琴海上的小島寄狼，島上依山而建的一座座白房子，安靜地棲居在藍(lán)天伊磺、大海和白云之間拼卵，就像一幅天然的畫卷。聽說愛琴海上有很多這樣美麗的小島腋腮，是嗎？”
“對徊哑，愛琴海上的島嶼林林總總聪富，仿佛上帝灑下的一串閃亮的珍珠，一點(diǎn)點(diǎn)把歐洲東部和亞洲西部連接起來梢莽，只要一艘木船就可以從其中一個(gè)島嶼漸漸航行到歐洲大陸奸披。愛琴海上有一個(gè)島嶼叫做薩默斯島，2500多年前畢達(dá)哥拉斯就出生在這個(gè)島上轻局。”
“哦仑扑，主角要出場了！”
“畢達(dá)哥拉斯曾師從名家學(xué)習(xí)幾何學(xué)蜓竹、數(shù)學(xué)和哲學(xué)储藐。年輕時(shí)去埃及和巴比倫游歷，學(xué)習(xí)吸收了東西方的優(yōu)秀文化》温疲”
“那后來呢授帕？”
“公元前520年左右，畢達(dá)哥拉斯來到意大利南部的克羅頓（Crotone跛十，又名克羅托內(nèi)），定居下來洲尊∧纹”
“克羅頓在意大利什么地方？”
“如果把意大利比作一只踢足球的靴子丽涩，西西里島是足球的話裁蚁，那么克羅頓就是一座位于腳掌的沿海城市。坊間一直以來流傳著一個(gè)關(guān)于他和音樂的故事矮男，雖然真實(shí)性已經(jīng)不可考了刽严”苣”
“不妨講講”眨补， 學(xué)生說道撑螺，“如果故事有意思的話「饰睿”
“那好。也許你在其它地方也會找到類似版本的故事遏弱，情節(jié)多少有些出入塞弊，但是重要的不是故事細(xì)節(jié)，而是畢達(dá)哥拉斯所發(fā)現(xiàn)的數(shù)學(xué)和音樂的關(guān)系饰抒【魇颍”
“好，請講吧枣宫〕曰罚”
“故事是這樣的：有一天畢達(dá)哥拉斯在街市上行走，路過一家鐵匠鋪歇拆，聽到打鐵鋪?zhàn)永飩鞒鲧H鏘有力范咨、節(jié)奏明快的叮叮當(dāng)當(dāng)?shù)穆曇簦紶枙牭揭宦暫芴貏e的聲音输吏，吸引了他的注意力替蛉≈袈龋”
“是一種什么聲音吸引了他它浅？”
“雖然畢達(dá)哥拉斯是一名數(shù)學(xué)家，但是他對“美” 有著一顆異常敏感的心鄙麦，他心生好奇：這聲音是怎么發(fā)出來镊折。于是停下腳步，走向路邊的一間鐵匠鋪骂因，門口紅通通的爐火映照在一位老者滄桑的臉頰上赃泡，也映照在一位年輕小伙子稚嫩的額頭上，兩人的臉因?yàn)楹顾痴諣t火顯得滿面紅光。打鐵的是師徒二人蹦肴，他們先把鐵器先在爐火里燒紅阴幌，然后合力搬到大鐵墩上，老師傅掄小錘矛双、學(xué)徒掄大錘，不停敲打鍛造鐵器懒闷，按照客人的要求鍛造成不同的工具或者兵器栈幸。”
“嗯玩焰，打鐵需要好體力芍锚÷”
“師徒二人目光如炬默刚，全身心地投入掄錘敲打羡棵，絲毫沒有覺察到旁邊站著的畢達(dá)哥拉斯。當(dāng)兩人同時(shí)掄起錘子砸到鐵塊上時(shí)皂冰，會發(fā)出一種和單獨(dú)砸下去不一樣的聲音秃流，聽起來很獨(dú)特。 畢達(dá)哥拉斯靜靜地看著師徒掄錘舶胀，咂摸這這種獨(dú)特的聲音嚣伐，仿佛進(jìn)入無人之境⌒耍”
“畢達(dá)哥拉斯也入迷了基茵？”
“突然，他的嘴角露出了一絲不易察覺的微笑拱层，一轉(zhuǎn)身神秘地走了根灯。”
“他有了一個(gè)奇妙的想法烙肺？”
“第二天茬高，畢達(dá)哥拉斯又回來了，他請求鐵匠看一下昨天打鐵用的錘子怎栽，并量了它們的重量，并請求鐵匠配合他做一些實(shí)驗(yàn)脚祟，試試不同錘子兩兩組合同時(shí)捶打，什么情況下會發(fā)出獨(dú)特悅耳的聲音为黎⌒心”
“他有什么發(fā)現(xiàn)嗎？”
“畢達(dá)哥拉斯發(fā)現(xiàn)有四種錘子兩兩組合同時(shí)擊打鐵器會發(fā)出和諧的聲音炕檩，分別是12磅捌斧，9磅，8磅和6磅妇押⌒昭福”
“這四個(gè)數(shù)有什么特別之處嗎队贱？”
“如果它們兩兩相減潭袱，似乎并沒有什么有規(guī)律的東西”嗲穑”
“是的彤悔。”
“可是這不要緊抑片，畢達(dá)哥拉斯認(rèn)為數(shù)與數(shù)之間最重要的關(guān)系杨赤，不是相減截汪，而是相除植捎，也就是兩個(gè)數(shù)之間的比值更重要！”
“是嗎蚓峦？我算算看济锄，12，9拟淮，8，6角虫，它們之間的比值分別是：”
12：6 = 2：1
12：8 = 9：6 = 3：2
12：9 = 8：6 = 4：3
9：8
“這幾個(gè)比值和音樂有關(guān)系嗎委造？” 學(xué)生問道。
“畢達(dá)哥拉斯非常擅于聯(lián)想枫虏。他想到了他很喜歡的樂器--當(dāng)時(shí)非常流行的里拉琴爬虱，從里拉琴里畢達(dá)哥拉斯獲得了靈感跑筝。”
“里拉琴是什么曲梗？”
“里拉琴曾是西方弦樂之母虏两。最常見的有7根弦，便于攜帶笤虫，游吟詩人經(jīng)常帶著它彈唱。如果有兩個(gè)相同長度的琴弦耕皮，把其中一根弦從中間按住凌停，彈奏剩下的一半琴弦，那么聲音會變高台诗。通常叫做聲音提高了八度赐俗。”
“嗯粱快，能夠想象出來叔扼，彈吉他是類似的△⒃郏”
“如果一個(gè)琴弦按住1/3處与柑，彈奏剩下的2/3琴弦价捧，琴聲也會變高，但是沒有剛才那么高结蟋，只提高了五度椎眯「炱瘢”
“嗯，也就是說琴弦越短掌测，音調(diào)越高？” 學(xué)生問到汞斧。
“對粘勒，我們可以猜測琴弦的長度和音高剛好成反比，你同意嗎事富？”
“直覺上是這樣的乘陪。”
“這是彈奏一根琴弦的情況贱勃。如果同時(shí)彈奏兩根不同長度的琴弦谤逼，情況就不一樣了“斡ィ”
“哦贵涵，同時(shí)撥動兩根琴弦嗎宾茂？怎么不一樣了？”
“如果精心挑選兩根琴弦長度欧聘，同時(shí)彈奏它們端盆，有時(shí)候你會聽到一聲非常好聽的聲音，遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過了彈奏一根琴弦的聲音蒋伦。人們把這種聲音叫做和聲焚鹊。例如兩根琴弦長度比是2：1，那么它們發(fā)出的和聲非常和諧好聽研叫。”
“我也想聽一聽渊啰，可是這里沒有琴申屹《栏蹋”
“沒關(guān)系，我們可以用手機(jī)來模擬一下车酣∷餍鳎”老師拿出手機(jī)，打開一個(gè)程序娘摔，出現(xiàn)了一臺鋼琴的界面唤反。老師用手同時(shí)按下中音和高音1，發(fā)出一個(gè)和聲肠缨。在鋼琴里盏阶，高音1和低音1后面的琴弦長度比是2：1名斟。”
“嗯闷袒，是很和諧楞卡。那如果隨便挑兩個(gè)琴鍵一起按下呢？” 學(xué)生問道淘捡。
老師同時(shí)按下中音的1和2池摧，發(fā)出的聲音有點(diǎn)刺耳作彤。
“有點(diǎn)意思〈雌希可是這和畢達(dá)哥拉斯發(fā)現(xiàn)的鐵錘有什么關(guān)系呢绢慢？”
“對于鐵錘來說，12磅和6磅錘子的重量之比正是2：1骚露，所以它們同時(shí)擊打鐵砧也會發(fā)出很和諧的聲音缚窿！”
“哦，原來如此误续！”
“如果你同意的話女嘲，每個(gè)人聽一首曲子诞帐，最基本的要求是所有音符順序彈出來后感到和諧，而不希望突然冒出一個(gè)音符聽起來很突兀愕鼓』燮穑” 老師說道蚓挤。
“同意磺送，這是最基本的要求驻子。”
“可是如果一個(gè)里拉琴的演奏者不小心按到了一個(gè)錯(cuò)誤的位置估灿，就會發(fā)出很不和諧的聲音崇呵。或者一個(gè)作曲家隨便寫一個(gè)音符馅袁，彈奏出來就會很不好聽域慷。你是不是覺得我們有必要?jiǎng)?chuàng)建一些規(guī)則來避免這些情況？”
“嗯犹褒，是很有必要。那如何創(chuàng)建規(guī)則呢弛针？”
“我們可以先從最基本的需求開始叠骑，即任何兩個(gè)音符之間聽起來都是和諧的。如果我們有了一個(gè)中音1削茁，那么希望其它任意一個(gè)音符和這個(gè)中音1之間是和諧的座云。”
“嗯付材，這樣就保證無論這個(gè)音是緊隨著中音1還是和中音1同時(shí)彈奏朦拖，都不會出現(xiàn)奇怪的聲音⊙嵯危可是怎么實(shí)現(xiàn)呢璧帝？”
“訣竅就是---- “和聲”！” 老師說到富寿。
“和聲睬隶？”
“對，例如從一個(gè)中音1的琴弦出發(fā)页徐，把琴弦縮短一半苏潜，頻率變?yōu)?倍，就可以得到八度和聲变勇，這樣我們就找到了高音1恤左。這兩個(gè)音的琴弦長度比是2：1，剛好和12磅和6磅的鐵錘的重量比一樣搀绣》纱”
“嗯，這一步很簡單链患，那其它的音符怎么產(chǎn)生呢巧鸭？”
“我們接下來可以找到中音1的琴弦的2/3長度，這個(gè)音聽起來也很和諧麻捻「偃裕”
“這個(gè)音叫什么呢呀袱？”
“這個(gè)音比中音1高五度≈５”
“等等夜赵，請打住一下，我聽得有點(diǎn)暈了”锻拘，學(xué)生等不及地說道，“琴弦長度折半击蹲，聲音就高了8度署拟，可是長度變成2/3，聲音卻高了5度歌豺，這是怎么回事推穷？畢達(dá)哥拉斯的數(shù)學(xué)不是很嚴(yán)謹(jǐn)嗎？我在這里怎么看不到數(shù)字之間的邏輯關(guān)系呢类咧？”
“你問的有道理馒铃。這些八度、五度的名稱可不是數(shù)學(xué)家起的痕惋，而且已經(jīng)約定成俗了区宇，這樣吧，我們先這樣記住值戳，以后等我們創(chuàng)造了更多的音符议谷，那時(shí)再解釋就容易理解了，可以嗎堕虹？”
“好吧卧晓，那接下來還能創(chuàng)造哪些音符呢？”
“如果琴弦變短為3/4赴捞，彈出來的音符比原來高四度逼裆，對應(yīng)于12:9或者8：6的鐵錘租組合∩庹”
“好的胜宇。最后還有一個(gè)9：8的組合叫幾度？”
“9：8叫純二度恢着。以此類推掸屡，我們可以不斷生成新的音符，而這些新音符和前面生成的音符是比值關(guān)系然评，這樣就可以保證所有的音符聽起來很和諧仅财。”
12：6=2：1 --> 純八度音
12：8=9：6=3：2 --> 純五度音
12：9=8：6=4：3 --> 純四度音
9：8 --> 純二度音
“在這幾種比例里面碗淌，所有的音聽起來都是一樣和諧嗎盏求？還是有些聽起來更和諧抖锥？” 學(xué)生問道。
“不一樣碎罚，一般來說八度是聽起來最和諧的磅废，接下來是純五度和純四度，最后是純二度荆烈。拯勉。”
“為什么是這樣呢憔购？有什么規(guī)律嗎宫峦？”學(xué)生一邊說一邊想，“你先別說玫鸟，讓我想一想导绷。”
“好的屎飘，我等你妥曲。”老師微笑著說道钦购。
“讓我看看檐盟，八度的比例是2：1，純五度的比值3:2押桃，純四度的比例是4:3遵堵，純二度的比值是9:8≡构妫”
“是的陌宿。”
突然波丰，學(xué)生眼前一亮壳坪，說到：“兩兩比值的分子分母越小，聲音越和諧掰烟，是這樣的嗎爽蝴？”
“對頭！你說得完全正確纫骑⌒牵”
“可是這背后又是因?yàn)槭裁茨兀俊?學(xué)生撓了撓頭先馆，沉吟了一下发框，追問到。
“回歸煤墙！”
“回歸梅惯？什么的回歸宪拥？”
“音樂的回歸∠臣酰”
“音樂的回歸她君？你的意思是...”學(xué)生一邊說一邊用手比劃著：“就像剛才說的用質(zhì)數(shù)作為種子，任意幾個(gè)質(zhì)數(shù)相乘就可以生成無窮多個(gè)新數(shù)葫哗。類似地缔刹，從一個(gè)基準(zhǔn)音出發(fā)，乘以一定的系數(shù)就可以生成各種各樣的音符劣针？”
“正是如此校镐，這樣所有的音符通過一定的比例關(guān)系，都可以回歸到最初的那個(gè)音上酿秸，不是嗎灭翔？” 老師眨了眨眼說道魏烫。
“似乎是這樣的辣苏，所以這就是你說的音樂的回歸？”
“嗯哄褒，這是第一層意思稀蟋，不過“音樂的回歸”還有另外一層意思∧派模” 老師說道退客。
“不會是音樂也要排除萬難、回家過年吧链嘀？”
“不要調(diào)皮哦萌狂！既然你對這背后的原因這么感興趣，我們不妨再深入探討一下怀泊∶２兀”
“我很感興趣，請繼續(xù)吧霹琼∥癜粒”
“不過前方有高能預(yù)警，你做好準(zhǔn)備了么枣申？”
“沒問題售葡，準(zhǔn)備好了！不管前面是萬頭攢動忠藤、一片后腦勺的站前廣場挟伙、還是摩肩接踵擠成相片的硬座車廂，我都準(zhǔn)備好了模孩，上路吧像寒！” 學(xué)生說道烘豹。
“好。我這里說的音樂的回歸的第二層意思诺祸，還真有點(diǎn)像回家過年携悯，只不過用不著等一年，只需等幾個(gè)毫秒就可以了筷笨°竟恚”
“幾個(gè)毫秒？1毫秒是1秒的千分之一胃夏，那可真是一剎那的功夫啊轴或，到底發(fā)生了什么情況？” 學(xué)生驚嘆道仰禀。
“請看：就在這短短的毫秒之間照雁，一個(gè)音符躍了出來，跳了數(shù)十段優(yōu)美的華爾茲答恶，然后又隨風(fēng)而散了饺蚊。”
“是誰在跳舞悬嗓？” 學(xué)生不解地問道污呼。
“我說的是聲音波動的形狀，就像一個(gè)彈來跳去的皮球包竹，只不過用了一種通俗形象的說法而已燕酷。”
“也就是說把聲音當(dāng)成一種波周瞎？”
“對苗缩，你還記得最簡單、也是最美声诸、最優(yōu)雅的波是什么形狀嗎酱讶？”
“最簡單、最美最優(yōu)雅的双絮？讓我想想浴麻。”學(xué)生撓了一下頭囤攀，“是正弦波嗎软免？我只知道它很簡單》倌樱”
“正是膏萧。把一根繩子拴在門把手上，手里拿著另外一頭抖動繩子，繩子就會振動起來榛泛，這種形狀就是正弦波蝌蹂。你還記得吧？”
“哦曹锨，想起來了孤个，它確實(shí)很簡單。不過為什么說它又是最美沛简、最優(yōu)雅的呢齐鲤？”
“你還記得我們說過古希臘人認(rèn)為世上最完美的形狀是什么嗎？” （ 《時(shí)間之問14》古老機(jī)械的愛恨恩仇）
“當(dāng)然記得椒楣，是圓形---因?yàn)閳A周上任意一點(diǎn)到中心的距離都相等给郊。”
“好捧灰。如果有一個(gè)點(diǎn)做圓周勻速運(yùn)動淆九，它的高度隨時(shí)間的變化就是正弦波∶危” 老師說道炭庙。
“嗯，正弦波的一個(gè)完整周期的形狀拧抖，就是從0出發(fā)煤搜，上升到最高點(diǎn)免绿，有降落到最低點(diǎn)唧席，然后回到初始的原點(diǎn)〕凹荩”
“對淌哟，你不覺得這是一個(gè)完美的回歸嗎？” 老師說道辽故。
“哦徒仓！原來如此！我明白你想說的意思了誊垢。如果中間黃色的點(diǎn)是太陽掉弛，繞著它運(yùn)動的綠色點(diǎn)是地球，那么地球繞太陽一周剛好是一年喂走，完成了一次回歸殃饿。” 學(xué)生驚嘆道芋肠。
“對乎芳。而一個(gè)聲波的形狀從原點(diǎn)出發(fā)，經(jīng)過一圈之后又回到出發(fā)的地方，就是一個(gè)回歸奈惑。這就是我說音樂的回歸的另外一層含義吭净。”
“可是肴甸，怎么用這樣一個(gè)正弦波去解釋和聲很好聽呢驾诈？難道也和回歸有關(guān)嗎？”
“我猜你是說為什么2：1德挣，3：2臼勉，4：3，9：8等等這些比例關(guān)系意味著回歸晤斩，是嗎焕檬？” 老師說道。
“是的澳泵，麻煩你詳細(xì)解釋一下实愚。”
“我先回顧一下我們之前得到的共識：2：1的和聲最好聽兔辅，3:2次之腊敲，之后是4:3，最后是9：8维苔，是這樣嗎碰辅？”
“是的，我們說過介时∶槐觯”
“好，我們來看看為什么沸柔？我試圖給出一些解釋循衰，雖然不是嚴(yán)格的證明，但應(yīng)該能讓你記住褐澎』岫郏”
“好的，比起數(shù)學(xué)證明來說我更喜歡直覺上的解釋工三∏ㄋ幔”
“讓我們畫一根長度為1的琴弦，當(dāng)彈奏它時(shí)它會上下振蕩俭正，所以我畫了一個(gè)梭子的形狀表示琴弦的振動奸鬓，我把它叫做一個(gè)包絡(luò)《紊螅”
“嗯全蝶，這很簡單闹蒜，它代表最基本的那個(gè)聲音的波形∫忠”
“對绷落。接下來，我按住這根琴弦的中間始苇，分別彈奏左右兩邊的琴弦砌烁。你會聽到聲音高了八度，這樣琴弦振動起來就像兩個(gè)包絡(luò)催式『恚”
“同意，我們可以一直做下去荣月」芎牵”
“對，接著按住琴弦的1/3和2/3處哺窄，彈奏的聲音更高了捐下，聲音頻率變成3倍，這樣就可以畫出三個(gè)包絡(luò)萌业】澜螅”
“好的∩辏”
“我們先看第一個(gè)和第二個(gè)波形。這兩個(gè)波形在起始點(diǎn)和終點(diǎn)各有一個(gè)重合點(diǎn)抱婉，也就是說最多經(jīng)過兩個(gè)包絡(luò)档叔，這兩個(gè)波形就又同時(shí)回歸到共同的位置∈诙危”
“嗯蹲蒲，看到了番甩，然后又開始新的一輪重復(fù)侵贵，那這和聲音和諧有什么關(guān)系呢？”
“當(dāng)波形的出發(fā)點(diǎn)和回歸點(diǎn)有重合時(shí)缘薛，聲音聽起來和諧窍育。因?yàn)檫@樣的過程同時(shí)出發(fā)又同時(shí)回歸，就像詩歌的押韻一樣有規(guī)律宴胧∈ィ”
“為什么呢？”
“我打個(gè)比喻你就聽懂了恕齐。唐詩的五言和七言絕句很有韻律乞娄，你知道為什么嗎？”
“是因?yàn)檠喉崳渥幼詈蟮囊粋€(gè)韻母都相同仪或∪纺鳎”
“沒錯(cuò)，每句詩的最后一個(gè)音節(jié)押一下韻范删，就像是一次聲音的回歸蕾域，所以聽起來好聽〉降”
“哦旨巷，這下我明白了，對于聲音來說每經(jīng)過2個(gè)包絡(luò)就重合一次添忘，所以八度的和聲很好聽采呐！”
“是的「槠铮”
“對了懈万，那如果兩個(gè)聲音波的頻率不是整除關(guān)系呢？比方說五度和聲靶病，它們是第三個(gè)和第二個(gè)波形会通，3：2的關(guān)系？” 學(xué)生問道娄周。
“哦...”老師沉吟了一下繼續(xù)說道涕侈，“這兩個(gè)音也可以同時(shí)回歸，不過要等更多的包絡(luò)才會遇到一次同時(shí)回歸煤辨。你看裳涛，經(jīng)過3個(gè)包絡(luò)二者就可以重新回歸到一處了≈诒妫”
“哦端三，是啊。我懂了鹃彻，以此類推郊闯，如果兩個(gè)波的頻率比是4:3，那至多需要4個(gè)包絡(luò)蛛株，兩者才可以回歸团赁；如果頻率比是9：8，那回歸所需的包絡(luò)數(shù)量就要增加到9了谨履』渡悖” 學(xué)生問道。
“對笋粟，回歸所需的包絡(luò)越多怀挠，和諧性就越差析蝴。”
“嗯绿淋，我終于明白了”嫌变，學(xué)生舒展了一下身子說道，“如果一首詩要等9句才有一個(gè)押韻躬它，那就不太好聽了腾啥。”
“現(xiàn)在我們用完美的圓形來解釋“回歸”就更直觀了冯吓√却”
“好的，請解釋一下吧组贺⊥苟妫”
“既然正弦波是由一個(gè)點(diǎn)做圓周運(yùn)動產(chǎn)生的，所以當(dāng)波形回歸到出發(fā)點(diǎn)時(shí)失尖，這個(gè)點(diǎn)剛好轉(zhuǎn)了一圈啊奄、回到了出發(fā)點(diǎn)∠瞥保”
“同意菇夸，能舉個(gè)例子嗎？”
“比如有兩個(gè)點(diǎn)做圓周運(yùn)動仪吧，一個(gè)速度是3庄新，另一個(gè)速度是2，它們對應(yīng)于兩個(gè)周期不同的正弦波∈硎螅現(xiàn)在它們都從12點(diǎn)的位置出發(fā)择诈，速度為3的轉(zhuǎn)了3圈時(shí)、速度為2的點(diǎn)剛好轉(zhuǎn)了2圈出皇，它們倆同時(shí)回歸到12點(diǎn)的位置羞芍。如果這兩個(gè)做圓周運(yùn)動的點(diǎn)來產(chǎn)生正弦波... ” 老師停下來，看了一下學(xué)生郊艘。
“就可以用正弦波代表聲音波形荷科？！表示3：2的純五度和聲暇仲？步做！”
“完全正確！”
“原來如此奈附！那每次過年回家，也是一次回歸煮剧！和我的兄弟姐妹斥滤、兒時(shí)伙伴的一次集體回歸将鸵。” 學(xué)生插了一句佑颇。
“對顶掉！我相信你過完年回家之后，內(nèi)心會感到更加“和諧”挑胸。今天時(shí)間不多了痒筒，先聊到這里吧！”
“好的茬贵，老師再見簿透！”
“再見！”
