一個三角形網(wǎng)格的變形(Deformation)算法應(yīng)該滿足下面兩個基本條件
- 能夠隱藏于交互界面之后
- 效率足夠高以滿足交互需求
將曲面S變形為曲面S'的過程可以描述為：給定一個位移函數(shù)(Displacement Function)夜牡，該函數(shù)輸入曲面上的點p∈S，給出一個位移向量(Displacement Vector)——d(p)，并通過以下方式將曲面S映射為變形后的曲面S'
對于離散的三角形網(wǎng)格捍岳，位移函數(shù)d是分段線性(Piecewise Linear)的灯蝴，即對于pi∈S
為了人為的控制變形的過程吼砂，我們常常會在網(wǎng)格上指定一些控制點pi∈H?S锻离，然后固定網(wǎng)格的一部分F?S虏冻，對于這些點，其位移函數(shù)可以描述為
下圖中我們對一個正方形的曲面S進(jìn)行變形冀自，固定曲面S淺藍(lán)色的部分F揉稚，然后選取黃色部分H的頂點作為控制頂，將其向上拉動熬粗〔缶粒可以看到經(jīng)過變形后，沒有被固定的部分(R驻呐，即深藍(lán)色部分)的頂點的位置發(fā)生了相應(yīng)的變換灌诅。
一個主要的問題就是如何選取合適的位移函數(shù)di，使得變形的結(jié)果符合需求暴氏。這里將會討論兩大類變形的方法
基于曲面的變形(Surface-Based Deformations)：位移函數(shù)d是從曲面S到三位空間的映射，即計算時在三角形網(wǎng)格上進(jìn)行的绣张。這類方法能夠有很高的控制度答渔，能夠?qū)γ恳粋€頂點都加以控制，但是其魯棒性不好侥涵，運行效率往往取決網(wǎng)格的的復(fù)雜度和質(zhì)量沼撕。
空間變形(Space Deformations)：位移函數(shù)d是從三維空間到三位空間的映射，即對曲面S的變形是隱式的芜飘。因為計算不依賴于三角形網(wǎng)格曲面S务豺，所以其不受網(wǎng)格復(fù)雜度和質(zhì)量的影響。
這里討論的大部分方法都是線性的方法嗦明，通常只需要解線性方程笼沥，即最小化二次能量能量(Quadratic Deformation Energy)。使用線性系統(tǒng)的優(yōu)點在于求解的效率高娶牌，缺點是有些時候得到的結(jié)果是不符合直觀的奔浅。非線性的方法通過最小化更為精確的變形能量，能夠達(dá)到更好的效果诗良，但是求解效率確不高汹桦。
Transformation Propagation
一個常用且簡單的方法是將對控制點的變換傳播到整個變形區(qū)域上。在指定好控制點H和變形區(qū)域R后鉴裹，控制點由用戶控制發(fā)生變換T舞骆，然后將變換T插值傳播至變形區(qū)域R上钥弯，使得從固定區(qū)域F至變換后控制點所在的區(qū)域H'的變化是平滑的。
兩者間的插值混合可以由一個標(biāo)量場s進(jìn)行控制
s=1代表頂點處于控制區(qū)域H(區(qū)域內(nèi)的頂點被完全變換)督禽，s=0代表頂點處于固定區(qū)域F(區(qū)域內(nèi)的頂點不發(fā)生變換)脆霎，而位于變換區(qū)域R內(nèi)的頂點的s值則由頂點到區(qū)域F和區(qū)域H的距離決定
距離既可以是測地線距離也可是歐氏距離，前者計算更復(fù)雜但是結(jié)果的效果更好赂蠢。
另外標(biāo)量場s也能夠是曲面S上的調(diào)和場(無源無旋)绪穆，即其滿足拉普拉斯方程
對于區(qū)域F和H我們加以狄利特雷限制(Dirichlet Constraint)，然后解下列線性拉普拉斯方程即可得到標(biāo)量場s虱岂。
雖然此法性能遜于前者玖院，但是能夠保證結(jié)果足夠光滑，而前者基于距離的方法只能保證C1連續(xù)第岖。
標(biāo)量場s還能夠進(jìn)行進(jìn)一步的調(diào)整以提供更多的控制和靈活度难菌。
得到標(biāo)量場后，對每一個頂點按以下方法進(jìn)行插值運算蔑滓，即可得到變形后頂點的位置郊酒。
不過此法存在一個問題，得到結(jié)果并不是幾何上最直觀的結(jié)果键袱，還需要對控制區(qū)域H內(nèi)的頂點的位移函數(shù)d進(jìn)行平滑處理燎窘，或者使用最小化某些基于物理量的變形能量的方法。
Shell-Based Deformation
為了得到更直觀準(zhǔn)確的結(jié)果，位移函數(shù)d可以通過最小化基于物理的變形能量的方法得到澜汤。我們間曲面S看作是能夠拉伸(Stretching)或者彎折(Bending)的物理材質(zhì)(皮膚蚜迅、布料等)，然后使用能量函數(shù)來描述拉伸和彎折的程度俊抵。
設(shè)參數(shù)曲面S和S'谁不，曲面由方程p:Ω→R3、p':Ω→R3給出徽诲，且位移函數(shù)被定義為d:Ω→R3刹帕。第一基本型和第二基本型能夠被用來衡量曲面的內(nèi)在幾何量(如長度、面積和曲率等)谎替。當(dāng)曲面S被變形為S'時轩拨，其基本型由Ⅰ、Ⅱ變?yōu)榱?strong>Ⅰ'院喜、Ⅱ'亡蓉，它們的差可以用來描述拉伸和彎折(原文中稱這種能量為Elastic Thin Shell Energy)
剛度參數(shù)(Stiffness Parameters)ks和kb被用來控制曲面對拉伸和彎折變換的抵抗程度。在實際應(yīng)用時只需要在變形的區(qū)域最小化上述能量即可喷舀。
但是上式由于是非線性的砍濒，計算量較大淋肾，無法應(yīng)用的到交互式的程序中。所以通常將基本型簡化為位移函數(shù)d的偏導(dǎo)數(shù)(位置之差)爸邢，得到下樹的Thin Shell Energy
其中
這個函數(shù)和前面介紹平面平滑算法里Fairing方法中衡量曲面面積和曲率的能量的函數(shù)相類似樊卓。區(qū)別在于這里我們使用平移量d而不是位置p且最小化的是面積和曲率的變換程度，即我們最小化曲面的拉伸和彎折杠河。
下圖中碌尔，我們固定灰色區(qū)域，抬升黃色區(qū)域券敌，并且最小化Thin Shell Energy唾戚。該能量包含拉伸和彎折兩個部分，左圖展示了純拉伸的情況(ks = 1, kb = 0)待诅，中圖展示了純彎折的情況(ks = 0, kb = 1)叹坦，右圖展示了兩者混合的情況(ks = 1, kb = 10)。
應(yīng)用曲面平滑算法里Fairing方法中提到求最小化的方法卑雁，得到能量函數(shù)對應(yīng)的歐拉拉格朗日方程
為了最小化能量募书，需要解上述的偏微分方程(PDE)，根據(jù)第三章中介紹的方法测蹲，將上式子寫成離散形式莹捡，其中
則上述偏微分方程(PDE)可以被離散為下面逐頂點形式
其中變換區(qū)域R內(nèi)自由頂點的位移函數(shù)d1,...dn是未知的(方程左側(cè)x項)，區(qū)域H和區(qū)域F中位移函數(shù)是已知的(方程右側(cè)b項)扣甲。
L為拉普拉斯矩陣篮赢，x和b都是n行3列的矩陣。
最小化得到結(jié)果是C1連續(xù)的文捶，在三角形網(wǎng)格中C1連續(xù)只由區(qū)域F和H中First-Two-Rings頂點定義荷逞，在最小化的時候不用考慮F和H區(qū)域上其它的頂點媒咳。
在交互的過程中會控制區(qū)域H內(nèi)的頂點進(jìn)行操作粹排，使得矩陣方程的右側(cè)的b項不斷發(fā)生變換，這個情況有更加高效的算法涩澡。通過變換限制為仿射變換顽耳，也能夠?qū)⒛承┯嬎闾崆斑M(jìn)行預(yù)計算以提高效率。
與Transformation Propagation方法相比妙同，此法由于需要每一幀解一個線性方程射富，計算量相對較大，但是仍然是可交互的粥帚。由于此法基于物理法則胰耗，故其效果相對較好。
Multi-Scale Deformation
前文的Shell-Based Deformation方法并不能夠正確地處理小尺度的細(xì)節(jié)芒涡。由于對局部細(xì)節(jié)的旋轉(zhuǎn)變換并不是線性的柴灯，所以不能夠完全的使用線性的方法對其進(jìn)行建模卖漫。一個更好的方法是使用后面即將介紹的多尺度變形的方法。
下圖中赠群，我們抬升正方形曲面的右側(cè)羊始，左二圖展示了使用前文中的線性方法得到的結(jié)果，發(fā)現(xiàn)其細(xì)節(jié)并沒有被正確的還原查描。使用Multi-Scale Deformation方法得到結(jié)果(左三圖)雖然仍然有變形突委，但是已經(jīng)和理想的情況(左四圖)非常接近了。
Multi-Scale Deformation的主要思想是使用在曲面平滑算法中提到的分解的方法將曲面分解為高頻和低頻兩個部分冬三。低頻部分即是曲面大致的外形匀油，而高頻部分則代表小尺度的細(xì)節(jié)。我們的目標(biāo)是對低頻部分進(jìn)行變形并保持高頻部分的細(xì)節(jié)长豁。
這個過程在2維情況下如下圖所示钧唐，虛線部分表示了曲線的低頻部分，我們將這條虛線進(jìn)行變形并添加上高頻細(xì)節(jié)匠襟，最終得到了理想的形變結(jié)果钝侠。
在三維的情況下，首先通過移除高頻部分計算出曲面S的低頻形式B(原模型的光滑簡化形式)酸舍，在B上模型的細(xì)節(jié)D被移除帅韧。將B形變得到B'，通過B'和D我們能夠重建出最終的變形后的曲面S'啃勉。
上圖中我們只對原模型進(jìn)行了一次分解忽舟，同樣地也可以對B再一次進(jìn)行分解，以達(dá)到多吃變形的目的淮阐。
可以看到Multi-Scale Deformation主要包含下面三個操作
- 分解(Decomposition)
- 變形(Deformation)
- 重建(Reconstruction)
其中分解可以使用到第四章提到的網(wǎng)格光滑算法叮阅，變形可以使用前文提到的算法。沒有提到的就是如何提取細(xì)節(jié)D并進(jìn)行相應(yīng)的重建泣特。
位移向量(Displacement Vectors)
最直接的表示方法就是使用一個向量函數(shù)h:B→R3浩姥，函數(shù)h(p)表示光滑曲面B上每一個頂點都對應(yīng)著一個三維向量。由于S和B擁有相同的連接性状您，所以位移向量
其中bi∈B勒叠，pi∈S。
使用全局坐標(biāo)系取表示位移向量得到結(jié)果如下圖左圖所示膏孟，正確的方法是使用局部的基向量去表示位移向量(下圖右圖)眯分。
因此在存儲hi時，需要使用曲面B上每個頂點的局部標(biāo)價下的坐標(biāo)而不是全局坐標(biāo)柒桑。我們一般取法向量ni和另外兩個向量t(i,1)和t(i,2)作為一組正交基
基向量在從B變形到B'的過程中會發(fā)生相應(yīng)的旋轉(zhuǎn)弊决，最終我們根據(jù)B'的基向量以及位移向量在B中局部坐標(biāo)基下的坐標(biāo)可以得到S'上每一個頂點的坐標(biāo)
法向量ni在每一個頂點上都是有定義的，剩下的只需要按照統(tǒng)一的標(biāo)準(zhǔn)取另外兩個軸ti,1和ti,2即可魁淳。
法向量位移(Normal Displacements)
當(dāng)位移向量過長的時候會導(dǎo)致結(jié)果不穩(wěn)定飘诗，特別是在進(jìn)行彎折(Bending)變形的時候傅联，因此位移向量應(yīng)該越短越好。因此疚察，我們想到不再去尋找B上pi的對應(yīng)頂點bi蒸走，而是去尋找B上距離p最近的頂點。
這種思想就是所謂的法向量位移貌嫡，即
因為在上一節(jié)中hi通常是不與法向量平行的比驻，因此法向量位移方法需要對S和B上的頂點進(jìn)行重新采樣，從bi∈B上發(fā)射一條與法向量平行的射線以找到其在S上對應(yīng)的頂點pi岛抄，而重采樣則會導(dǎo)致Alias Artifacts(走樣/假頻)現(xiàn)象的出現(xiàn)别惦。
為了改進(jìn)上面的方法，我們換一個方向夫椭。對于點pi∈S掸掸，我們尋找一個點bi∈B，且pi-bi與bi的法向量平行蹭秋，而bi是曲面B上的任意一點扰付，該點處于B上某一個三角形(a, b, c)∈B之中，因此bi可以表示為下列重心坐標(biāo)的形式
其法向量同樣可以由重心坐標(biāo)插值得到
而尋找點b的過程仁讨，可以使用牛頓迭代法求解下面方程的根
整個過程大致為羽莺，首先尋找離pi最近的三角形，如果在進(jìn)行牛頓迭代的過程中重心坐標(biāo)出現(xiàn)了負(fù)值洞豁，則分別對其相鄰的三角形進(jìn)行處理盐固。
一旦得到了三角形(a, b, c)和重心坐標(biāo) (α, β, γ)，則可以通過變形后的曲面B'計算出S'上每一個頂點pi的坐標(biāo)
這樣避免了對曲面進(jìn)行重采樣丈挟，從而使得某些尖銳細(xì)小的特征(Sharp Features)得到保留刁卜。因為點bi是曲面B上的任意一點，因此對于曲面S和B來說曙咽，其連接性并不一定要求是已知的蛔趴。我們可以利用這一點來對曲面B進(jìn)行重采樣以獲得更高的數(shù)值魯棒性。
位移向量和法向量位移的長度的不同通常取決于曲面B和曲面S相差的程度桐绒，對于例子
位移向量的長度平均比法向量位移的長度要長9倍夺脾。除了長度更短法向量位移也不需要進(jìn)行啟發(fā)式的計算(計算坐標(biāo)基t的過程)之拨。
法向量位移的方法效率極高茉继，但是其主要的問題在于相鄰的頂點的位移向量之間并沒任何聯(lián)系。當(dāng)彎折(Bending)程度較大的時候蚀乔，會導(dǎo)致細(xì)節(jié)部分出現(xiàn)非預(yù)期的結(jié)果烁竭。在極端情況曲面可能還能出現(xiàn)自相交的情況(當(dāng)B'的曲率比位移長度hi要大的時候)。
下面的兩種算法正是為了改進(jìn)上述情況而提出的
Displacement Volumes：曲面S和曲面B對應(yīng)的兩個三角形(pi, pj, pk)和(bi, bj, bk)組成了一個棱柱體吉挣，該棱柱體的體積被用來作為細(xì)節(jié)D派撕，在變形的過程中保持不變婉弹。對于變形的曲面B'，重建的過程是找到一個曲面S'使得其每一個棱柱體的體積都和原來的相等终吼。這樣會使得結(jié)果根據(jù)直觀合理且避免了自相交的情況镀赌，缺點是該方法在重建的過程中計算量較大。
Deformation Transfer：原書中沒有詳細(xì)介紹該算法际跪，可以參考這篇論文Deformation Transfer for Detail-Preserving Surface Editing商佛。該算法在最終效果和運行效率上取了一個折中，只需要解一個疏松的泊松方程即可姆打。
Differential Coordinates
盡管前面的Multi-Scale Deformation方法效率高良姆，且能夠保存模型中的細(xì)節(jié)，但是如何生成一個合理的層級結(jié)構(gòu)確是一個相當(dāng)復(fù)雜的過程幔戏。為了避免Multi-Scale Deformation中分解的過程玛追，另外一類方法采用了修改曲面的微分屬性而不是空間坐標(biāo)的方法來重建變形后的曲面。
Gradient-Based Deformation
對于原始網(wǎng)格上每一個頂點上某個標(biāo)量值闲延，都可以找到對應(yīng)的分段線性函數(shù)
其梯度是一個常向量(每一個三角形T對應(yīng)一個常向量)
同樣地痊剖，考慮以下三維的情況
則對應(yīng)每個三角形T，它的梯度是一個3*3的雅可比矩陣
參考第三章中介紹的方法垒玲，可以計算出矩陣中的各個位置上梯度函數(shù)的值邢笙。
接下來對每一個三角形的梯度JT進(jìn)行變形，即乘以一個3*3的變換矩陣(旋轉(zhuǎn)侍匙、縮放/錯切) MT
MT是根據(jù)對控制點的變換得到氮惯，具體的方法會在后文中介紹蝌数。
剩下的步驟就是在盡量保持每一個三角形梯度不變得情況下跪呈，尋找每個頂點的新的位置。
如下圖所示掂摔，黃色區(qū)域為控制點所在區(qū)域说莫，原模型為圓柱體表面(左圖)杨箭，我們對變換區(qū)域(藍(lán)色區(qū)域)上每一個三角形施以對控制點相同的變換，這將使得模型“裂開”(中圖)储狭，然后改變每一個三角形的位置且盡量保持三角形的朝向不變互婿，最終得到了變形后的模型(右圖)。
這個過程即是最小化下列的能量函數(shù)
f是待尋找的方程辽狈，g是目標(biāo)梯度場慈参。為了最小化上式子，應(yīng)用變分法解下列歐拉拉格朗日方程
用目標(biāo)的的x, y, z坐標(biāo)代替f刮萌，并用離散拉普拉斯算子和離散散度算子對原方程離散化得到線性方程
為了使得方程有解(系統(tǒng)非奇異)驮配，需要將固定一些點p'i，如示意圖中黃色的控制區(qū)域H內(nèi)的頂點(這也就是上面的示意圖的中圖里黃色區(qū)域的控制點的位置被直接修改的原因)、示意圖中灰色的固定區(qū)域F內(nèi)的頂點壮锻。
解上述方程只需要解一個輸送的泊松方程琐旁，比前面的Shell-Based Deformation效率略高。另外猜绣，泊松方程在邊界處只是C0連續(xù)的灰殴，但是Shell-Based Deformation是C1連續(xù)的。
Laplacian-Based Deformation
Laplacian-Based Deformation與Gradient-Based Deformation方法類似掰邢，不過其目標(biāo)不再是逐三角形的梯度验懊，而是逐頂點拉普拉斯坐標(biāo)。
我們首先計算每個頂點的拉普拉斯坐標(biāo)尸变，然后乘以變換矩陣M义图，最后尋找新的頂點坐標(biāo)去你和目標(biāo)拉普拉斯坐標(biāo)。
這個過程中最小化能量函數(shù)為
對應(yīng)的歐拉拉格朗日方程為
上式離散化后得到下列方程
在解方程的時候同樣的需要固定一些頂點召烂。需要注意的是碱工，拉普拉斯算子的離散形式有Uniform和Cotangent兩種，對于不規(guī)則網(wǎng)格使用后者得到的結(jié)果效果會更好一些奏夫。
Laplacian-Based Deformation方法和Shell-Based Deformation方法之間是存在聯(lián)系的怕篷。忽略掉Laplacian-Based Deformation中對拉普拉斯坐標(biāo)的變換，使用原始的拉普拉斯坐標(biāo)來計算新的頂點的位置酗昼，在Shell-Based Deformation中固定相同的頂點且原始頂點相同廊谓，兩者都能得到相同的歐拉拉格朗日方程
則最終得到相同的結(jié)果。
如何得到變換矩陣M
那么前面兩種方法中都使用到了變換矩陣M麻削，這一節(jié)將會討論如何根據(jù)對控制點的變換得到逐頂點和逐面(三角形)的變換矩陣
Propagation Of Deformation Gradients
第一種方法和之前提到的Transformation Propagation中插值的方法類似蒸痹，這里我們對變換的梯度進(jìn)行插值。通常我們是按照下面的方式對控制點進(jìn)行仿射變換
T(x)的梯度是一個3*3的矩陣 M呛哟，該矩陣代表了對控制點的旋轉(zhuǎn)叠荠、縮放/錯切變換。
需要注意的是扫责，旋轉(zhuǎn)變換的插值與縮放/錯切變換不同榛鼎，需要對變換矩陣進(jìn)行極分解(Polar Decomposition)。
首先對M進(jìn)行奇異值分解鳖孤，得到
然后就能得到M矩陣中旋轉(zhuǎn)的部分和縮放/錯切的部分
因為U和V是正交矩陣者娱，所以有
然后我們對旋轉(zhuǎn)部分是slerp插值，對縮放/錯切的部分使用線性插值苏揣，得到逐頂點的變換矩陣Mi
對于逐面(三角形)黄鳍，其插值的因子s是三角形T的三個頂點對應(yīng)的值si, sj, sk的平均值。需要注意的是腿准，平移變換t并不會改變梯度和拉普拉斯坐標(biāo)的值际起，所以當(dāng)變換中包含有距離較大的平移變換的時候會產(chǎn)生不符合預(yù)期的結(jié)果。
Implicit Optimization
通過最小化下面能量函數(shù)吐葱，Implicit Optimization同時對新的頂點坐標(biāo)p'i以及旋轉(zhuǎn)矩陣Mi進(jìn)行優(yōu)化
其中Ai是頂點的局部面積街望，Mi和新頂點的位置有關(guān)。注意這個過程中同樣需要固定區(qū)域H和區(qū)域F中的頂點弟跑。
為了避免非線性最優(yōu)化(Nonlinear Optimization)(這是剛體變換Mi中必須滿足的)灾前，局部變換被限制為相似線性變換(Linearized Similarity Transformation)，Mi被寫成下面的斜對稱矩陣
參數(shù)si和hi(位移向量)是由下列限制條件決定
通過p'i的線性組合可以得到si和hi孟辑。
書中對該部分介紹省略了很多哎甲，詳細(xì)的內(nèi)容可以參考這篇論文：Laplacian Surface Editing
需要注意的一點是，根據(jù)拉普拉斯坐標(biāo)的性質(zhì)饲嗽，其對旋轉(zhuǎn)敏感炭玫，所以網(wǎng)格的局部信息會發(fā)生旋轉(zhuǎn)扭曲，且旋轉(zhuǎn)尺度較大是貌虾，扭曲會非常嚴(yán)重吞加。
Freeform Deformation
前面討論的所有方法都是基于曲面的(Surface- Based)，它們通過最小化某個能量函數(shù)在原曲面S上進(jìn)行光滑變形尽狠。其計算過程歸結(jié)起來是解一個線性系統(tǒng)對應(yīng)的歐拉拉格朗日方程衔憨。
上述方法的一個明顯的缺點在于其計算量和數(shù)值魯棒性和網(wǎng)格分割的復(fù)雜度和質(zhì)量相關(guān)。對于退化的三角形(Degenerate Triangle)其Cotangent形式的拉普拉斯算子是不符合定義的袄膏，這會導(dǎo)致線性系統(tǒng)奇異践图。同樣地，Gap和非流形的出現(xiàn)使得頂點地局部信息不再一致沉馆，也會導(dǎo)致一些問題码党。諸如模型修復(fù)或者網(wǎng)格重劃分算法能夠在一定程度上接近這些問題〕夂冢縱使網(wǎng)格的質(zhì)量足夠高闽瓢，但是其復(fù)雜過大也會導(dǎo)致線性系統(tǒng)規(guī)模過大無法得到其解。
接近這些問題的辦法是使用空間變形(Space Deformations)心赶，它通過對目標(biāo)模型的周圍空間進(jìn)行變形從而隱式的對目標(biāo)模型進(jìn)行變形扣讼。
與基于曲面的變形(Surface-Based Deformations)不同，空間變形(Space Deformations)的變形是一個從三維空間到另一個三維空間的過程缨叫。
且d不依賴于特定的曲面椭符，能夠作用用各種顯式表示的曲面(三角形網(wǎng)格的所有頂點、點采樣模型的所有點)耻姥。
Lattice-Based Freeform Deformation
Freeform Deformation(FFD)中使用3元張量樣條函數(shù)(Trivariate Tensor-Product Spline Function)來表示空間變形
其中Ni是B樣條函數(shù)销钝，δc是控制點c的位移量。
為了簡化上式琐簇，可以將位移項和樣條函數(shù)項記為
最終得到
原網(wǎng)格上的每一個頂點pi∈S都有一個對應(yīng)的的參數(shù)坐標(biāo)ui = (ui, vi, wi)蒸健，且
每一個頂點都會被施以變換
因為d(ui)中的N項是一個常數(shù)座享，可以預(yù)計算，所以其效率較高似忧。
通過操縱樣條控制點(即指定控制點位移δc)就能夠控制模型的變形渣叛。和之前提到的方法類似，固定控制區(qū)域H(施加位移向量d之后的位置)和固定區(qū)域F內(nèi)的頂點盯捌，然后根據(jù)給定的δc解下列線性方程
由于方程左邊的矩陣不是方陣淳衙，所以可以使用最小二乘法的思想，最小化
以及控制點的位移量
不過需要注意兩個問題饺著，首先如果上述方程是過定的(Over-Determined )箫攀，所以限制條件不能被完美地滿足；另外如果是欠定的(Under-Determined)幼衰，剩余的自由度是由最小化控制點的位移量決定的靴跛，而不是通過光滑算法決定。
樣條函數(shù)N在規(guī)則網(wǎng)格(Regular Grid)上如何放置是另外一個問題渡嚣。如果放置不當(dāng)汤求，會造成Alias Artifacts(走樣/假頻)。通過使用更為靈活的且能夠更好的表示目標(biāo)變形的格子框架能夠在一定程度上解決這個問題严拒，但是面對復(fù)雜的變形的時候扬绪，格子框架的選取非常困難。
Cage-Based Freeform Deformation
Cage-Based Freeform Deformation可以被看作是Lattice-Based Freeform Deformation的一般化情況裤唠。Cage-Based Freeform Deformation使用控制籠(Control Cage)而不是Lattice-Based Freeform Deformation中使用的規(guī)則的格子框架挤牛。這種控制籠通常是包圍著待修改物體的任意三角形網(wǎng)格。相對于格子框架种蘸，其能夠更好的包裹目標(biāo)物體墓赴。
原始網(wǎng)格S上的頂點pi能夠表示為控制籠上頂點的線性組合
其中權(quán)重φ是廣義重心坐標(biāo)(Generalized Barycentric Coordinates)，可以取之前方程中的N項航瞭。
頂點的權(quán)重φ可以被預(yù)計算诫硕，這樣通過操作控制籠上的頂點
并使用下面的方法計算逐頂點的位移向量即可
這樣就能比之前使用格子框架能夠更為靈活地進(jìn)行控制。其缺點是由于解是最小范數(shù)解(Least Norm Solution)刊侯，所以結(jié)果并不一定是一個Fair Deformation(不知道怎么翻譯)章办。
Radial Basis Functions
在Surface-Based Deformations中，通過指定地位移進(jìn)行插值滨彻，并且最小化能量函數(shù)得到了相當(dāng)不錯的結(jié)果藕届。借用同樣的思想，同樣地亭饵，我們可以對Space Deformation中的函數(shù)
進(jìn)行插值休偶，并且最小化特定的能量函數(shù)」佳颍總的來說踏兜，我們的目標(biāo)是找到函數(shù)d词顾，能夠在位置pi根據(jù)指定的位移向量進(jìn)行插值運算，且滿足給定的限制條件碱妆。Radial Basis Functions(RBFs)正是非常適合這類問題的函數(shù)肉盹。其定義為徑向?qū)ΨQ核函數(shù)φ的疊加，其中心為cj山橄，權(quán)重為wj
其中π(x)為保證精度用的多項式項垮媒。通常取cj = pj舍悯，wj的值為下列方程的解
這樣RBF函數(shù)就能夠被應(yīng)用到頂點上了
而核函數(shù)φ的選擇會影響到計算的復(fù)雜度和結(jié)果的質(zhì)量航棱。緊支撐徑向基函數(shù)(Compactly
Supported Radial Basis Functions)會產(chǎn)生稀疏的線性方程，因此其能夠被用來對加以很多限制條件的目標(biāo)進(jìn)行插值萌衬。其缺點在于效果不如全局支持徑向基函數(shù)(Global Support Radial Basis Functions)饮醇。
全局支持徑向基函數(shù)
會產(chǎn)生一個三次(??不確定是不是這么翻譯的)調(diào)和函數(shù)(Tri-Harmonic
Function)d
通過變分法可知，需要最小化的能量函數(shù)為
線性方法的局限性
- Shell-Based Deformation結(jié)合Multi-Scale Deformation能在純平移變形時得到較高質(zhì)量的結(jié)果，且能夠保留相當(dāng)?shù)募?xì)節(jié)混移。但是由于Shell Energy是線性的祠墅，當(dāng)對物體施以大尺度旋轉(zhuǎn)變形的時候，結(jié)果會非常不理想歌径。
- Gradient-Based Deformation使用對控制點變換的梯度更新每一個面的梯度毁嗦，因此在對物體施以旋轉(zhuǎn)變形的時候結(jié)果會非常理想。但是由于局部旋轉(zhuǎn)的顯式傳播(Propagation)是對平移敏感的回铛，會導(dǎo)致結(jié)果曲面不夠光滑狗准，并且會丟失細(xì)節(jié)特征。
- Laplacian-Based Deformation隱式地優(yōu)化了局部旋轉(zhuǎn)茵肃，因此相對來說對旋轉(zhuǎn)和平移變形更為友好腔长。但是由于需要對旋轉(zhuǎn)部分線性化，因此在大尺度變形時會導(dǎo)致扭曲验残。
