2. 高維運(yùn)動的描述

高維運(yùn)動的描述

本次課會涉及下列數(shù)學(xué)符號 f(x)

$\Delta$ , $\vec{r}$ , $\vec{i}$ , $\frac{x}{y}$ , $\cos(t)$ , $\omega$ , $t_2$ , $t_1$ , $\sqrt{x}$ , $v_x^2$ , $\pi$ , $\neq$

對應(yīng)的代碼為

$\Delta$, $\vec{r}$, $\vec{i}$, $\frac{x}{y}$, $\cos(t)$, $\omega$, $t_2$, $t_1$, $\sqrt{x}$, $v_x^2$, $\pi$, $\neq$

知識點(diǎn)

平面直角坐標(biāo)系下的矢量

$\vec{f}=f_x\vec{i}+f_y\vec{j}$

有大小，有方向两波。大小為 $f=|\vec{f}|=\sqrt{f_x^2+f_y^2}$

我們約定痪署，小寫字母 $f$ 都是對應(yīng)的矢量 $\vec{f}?$ 的大小窟哺。
位矢 $\vec{r}$ 讼渊，速度 $\vec{v}$ , 加速度 $\vec{a}$

? $\vec{r}=4t\vec{i}-\frac{1}{2}gt^2\vec{j}?$

? 則速度 $\vec{v}=\frac{d\vec{r}}{dt}=4\vec{i}-gt\vec{j}$

? 加速度 $\vec{a}=\frac{d\vec{v}}{dt}=-g\vec{j}$

? 借助速度和加速度橘忱，我們可以對運(yùn)動情況進(jìn)行分析：該運(yùn)動為水平速度恒定，豎直方向加速度恒定的運(yùn)動拐邪。
軌跡方程 關(guān)于 $y(x)$ 的方程袖订，不關(guān)心時間氮帐。
- 寫成分量式
  $\begin{cases} x=4t & ,\\ y=-\frac{1}{2}gt^2 & , \end{cases}$
- 消元法除掉 $t$ ，只得到 $y(x)$ 即可洛姑。
位矢的大小 $r$ 上沐，速率 $v$ ，加速度的大小 $a$

例子：

? $\vec{r}=3t^2\vec{i}+3\sin(4t)\vec{j}$ 楞艾，求 $\vec{v}(t)$ , $v(t)$ , $a(t)$ , 以及何時加速度最大参咙。

$\vec{v}=6t\vec{i}+12\cos 4t \vec{j}$

? $v=\sqrt{36t^2+144(\cos 4t)^2}?$

? $a\neq\frac{dv(t)}{dt}$ 對嗎？~~不對硫眯！反例：勻速率圓周運(yùn)動蕴侧。~~
- $a=|\frac{d\vec{v}(t)}{dt}|$
一段時間的路程 $\Delta s$ ，半徑的增量 $\Delta r$ 两入，位移 $\Delta \vec{r}$
- $\Delta s$ 的幾何意義：起點(diǎn)净宵、終點(diǎn)間軌跡的長度
- $\Delta \vec{r}?$ 的幾何意義：起點(diǎn)指向終點(diǎn)的有向線段
- $\Delta r$ 的幾何意義：與原點(diǎn)間距離的增量
- $\Delta S \ge |\Delta \vec{r}|?$
  - 等號成立的條件：
    - 極限情況 $dS = |d\vec{r}|$
    - 單向直線運(yùn)動
曲線運(yùn)動的加速度 $\vec{a}$
- 勻速圓周運(yùn)動的加速度
  - 向心加速度，或法向加速度，符號 $a_n$ 择葡。作用是改變速度的方向紧武。
- 直線運(yùn)動的加速度
  - 切向加速度。符號 $a_t$ 刁岸。作用是改變速度的大小脏里。
- 變速圓周運(yùn)動的加速度
  - $\vec{a}=a_n \vec{e}_n + a_t \vec{e}_t=\frac{v^2}{R} \vec{e}_n + \frac{dv}{dt} \vec{e}_t?$
- 一般曲線運(yùn)動的加速度表達(dá)式
  - 加速度的大小
  - 曲率半徑

表達(dá)題

質(zhì)點(diǎn)在Oxy 平面內(nèi)運(yùn)動,其運(yùn)動方程為 $\vec{r}=3t\ \vec{i}+(1-t^{2})\ \vec{j}$ ．則在 $t_{1}=1$ 到 $t_{2}=5$ 時間內(nèi)的平均速度為

解答： $\overline{\vec{v}}=\frac{\Delta r}{\Delta t}=\frac{\vec{r}(5)-\vec{r}(1)}{t_{2}-t_{1}}=\frac{12\vec{i}-24\vec{j}}{4}=3\vec{i}-6\vec{j}$

設(shè)質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動學(xué)方程為 $\vec{r}=R\cos\omega t\ \vec{i}+R\sin\omega t\ \vec{j}$ (式中 $R$ 、 $\omega$ 皆為常量) 則質(zhì)點(diǎn)的速度為

解答：記得 $\cos t$ 求導(dǎo)得 $-\sin t$ 虹曙，而 $\cos\omega t$ 求導(dǎo)得 $-\omega\sin t$ .

軌跡方程的求法，令 $x(t)=R\cos\omega t$ , $y(t)=R\sin\omega t$ 番舆，平方相加酝碳，消元法消去 $t$ ，得到 $y$ 與 $x$ 的函數(shù)關(guān)系記為軌跡： $x^{2}+y^{2}=R^{2}$ .

已知 $v=|\vec{v}|=\sqrt{v_{x}^{2}+v_{y}^{2}}=\omega R$ 恨狈，不隨時間變化疏哗，故為勻速圓周遠(yuǎn)動。

運(yùn)動學(xué)的一個核心問題是已知運(yùn)動方程禾怠，求速度和加速度返奉。質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動方程為
$\begin{cases} x=-10t+30t^{2} & ,\\ y=15t-20t^{2} & , \end{cases}$
則 $t$ 時刻的速度與速率

解答：直角坐標(biāo)形式，知 $\vec{v}=30t\vec{i}-40t\vec{j}$ 吗氏。繼續(xù)求導(dǎo)即可芽偏。最后別忘了 $v$ 和 $\vec{v}$ 的差別，前者是速度的大小弦讽，后者是速度矢量污尉。

質(zhì)點(diǎn)作曲線運(yùn)動,在時刻 $t$ 質(zhì)點(diǎn)的位矢為 $\vec{r}$ ,速度為 $\vec{v}$ ,速率為 $v$ ， $t$ 至 $t+\Delta t$ 時間內(nèi)的位移為 $\Delta r$ 往产，路程為 $\Delta s$ 被碗，位矢大小的變化量為 $\Delta r$
( 或稱 $\Delta|\vec{r}|$ ),平均速度為 $\overline{\vec{v}}$ ,平均速率為 $v$ ．根據(jù)上述情況,則必有

解答： $f(\theta)$

速度的表達(dá)式為 $\vec{v}(t)=\frac{d\vec{r}(t)}{dt}$ ，初學(xué)者可能誤認(rèn)為對于任意時刻 $t_{0}$ 有 $\vec{v}(t_{0})=\frac{d\vec{r}(t_{0})}{dt}$ 仿村，這是錯誤的锐朴。這只是一個記號，它的真實(shí)含義是任意時刻 $t_{0}$ 蔼囊， $\vec{v}(t_{0})=\frac{\vec{r}(t_{0}+dt)-\vec{r}(t_{0})}{dt}$ 焚志，實(shí)際運(yùn)算中用求導(dǎo)法則計(jì)算。比如压真，已知質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動方程為 $\vec{r}(t)=2t\vec{i}+(4-t^{2})\vec{j}$ 娩嚼，則 $t=2$ 時刻位矢為 $\vec{r}(2)=4\vec{i}$ , 那么 $t=2$ 時刻的速度呢？ $\vec{v}=\frac{d(4\vec{i})}{dt}=0$ 嗎滴肿？遵循這一思路岳悟，請求出該質(zhì)點(diǎn)在 $t=2$ 時刻的加速度

解答： $\vec{a}=-2\vec{j}$

理解抽象符號是深入學(xué)習(xí)的必備條件之一。一個質(zhì)點(diǎn)，在 $t$ 時刻位矢為 $\vec{r}$ ,離開原點(diǎn)的距離為 $r$ (簡稱半徑贵少，大小為 $r=|\vec{r}|$ )呵俏；在 $t'$ 時刻位矢為 $\vec{r}'$ ,離開原點(diǎn)的距離為 $r'$ ；在 $t$ 至 $t'$ 時間內(nèi)：走過的路程(軌跡的長度)為 $\Delta s$ , 位矢的增量(末態(tài)-初態(tài),簡稱位移)為 $\Delta\vec{r}=\vec{r}'-\vec{r}$ 滔灶，半徑的增量為 $\Delta r$ ( 末態(tài)-初態(tài)普碎，大小為 $\text{Δ}r=r'-r$ )。設(shè)一個質(zhì)點(diǎn)以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心录平、以1為半徑麻车，做逆時針的圓周運(yùn)動， $t$ 時刻在(1,0)位置斗这， $t'$ 時刻第一次轉(zhuǎn)到(0,1)位置动猬。則這短時間內(nèi)的 $\Delta s$ 、 $\text{Δ}\vec{r}$ 表箭、 $\Delta r$ 分別為

解答： $\Delta s=\pi/2$ , $Δ\vec{r}=j-i$ , $\Delta r=0$

通常情況下赁咙，兩點(diǎn)之間直線長度(弦長)比曲線長度(弧長)要短。但對于無限短的曲線免钻，弧長和弦長是相等的(畫圖思考)彼水。則

解答：質(zhì)點(diǎn)在 $t$ 至( $t +\Delta t$ )時間內(nèi)沿曲線從P 點(diǎn)運(yùn)動到P′點(diǎn),各量關(guān)系如圖所示,其中路程 $\Delta s$ ＝PP′, 位移大小 $|\Delta r|=PP\prime$ ,而 $\Delta r=|\vec{r}|-|\vec{r}'|$ 表示質(zhì)點(diǎn)位矢大小的變化量,三個量的物理含義不同,在曲線運(yùn)動中大小也不相等(注：在直線運(yùn)動中有相等的可能)．但當(dāng) $\Delta t\rightarrow0$ 時,點(diǎn)P′無限趨近P點(diǎn),則有 $|d\vec{r}|=ds$ ,但卻不等于 $dr$

質(zhì)點(diǎn)作曲線運(yùn)動,在時刻 $t$ 質(zhì)點(diǎn)的位矢為 $\vec{r}$ ,速度為 $\vec{v}$ ,速率為 $v$ , $t$ 至( $t+\Delta t$ )時間內(nèi)的位移為 $\Delta r$ , 路程為 $\Delta s$ , 位矢大小的變化量為 $\Delta r$ ( 或稱 $\Delta|\vec{r}|$ ),平均速度為 $\overline{\vec{v}}$ ,平均速率為 $v$ ．根據(jù)上述情況,則必有

解答：由于 $|\Delta\vec{r}|\neq\Delta s$ ,故 $|\Delta\vec{r}|/\Delta t\neq\Delta s/\Delta t$ ,即 $|\overline{\vec{v}}|=\overline{v}$ ．由于 $|d\vec{r}|=ds$ ,故 $|d\vec{r}|/dt=ds/dt$ ,即 $|d\vec{r}/dt|=ds/dt$ ,亦即瞬時速度的大小等于瞬時速率。

一運(yùn)動質(zhì)點(diǎn)在某瞬時的位矢為极舔，對其速度的大小為
- (1) $\frac{dr}{dt}$ 凤覆；
- (2) $\frac{d|\vec{r}|}{dt}$ ；
- (3) $\frac{ds}{dt}$ 姆怪；
- (4) $\sqrt{(\frac{dx}{dt})^{2}+(\frac{dy}{dt})^{2}}$ .

上述判斷正確的是

解答： $\frac{dr}{dt}$ 表示質(zhì)點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離(半徑)隨時間的變化率,叫徑向速率叛赚，它只是速度矢量在徑向的分量； $\frac{d|\vec{r}|}{dt}$ 和 $\frac{dr}{dt}$ 等價稽揭；在自然坐標(biāo)系中速度大小可用 $\frac{ds}{dt}$ 計(jì)算俺附，在 $x-o-y$ 直角坐標(biāo)系中， $\vec{v}=\frac{d\vec{r}}{dt}=\frac{d(x\vec{i}+y\vec{j})}{dt}$$=\frac{dx}{dt}\vec{i}+\frac{dy}{dt}\vec{j}=v_{x}\vec{i}+v_{y}\vec{j}$ 溪掀，故 $v=\sqrt{v_{x}^{2}+v_{y}^{2}}$ .

曲線運(yùn)動中事镣，加速度經(jīng)常按切向 $\vec{e}_{t}$ 和法向 $\vec{e}_{n}$ 進(jìn)行分解： $\vec{a}=\vec{a}_{t}+\vec{a}_{n}$$=\frac{dv}{dt}\vec{e}_{t}+\frac{v^{2}}{R}\vec{e}_{n}$ 借助熟悉的例子來構(gòu)建其直觀物理圖像，有助于理解并記憶這些復(fù)雜的公式揪胃。在彎曲的軌道上勻速率行駛的火車璃哟，
(1) $\vec{a}_{t}\neq0$ ，
(2) $\vec{a}_{t}=0$ 喊递，
在直線上加速跑向食堂的小伙伴随闪，
(3) $\vec{a}_{t}\neq0$ ，
(4) $\vec{a}_{t}=0$ 骚勘，
變速圓周運(yùn)動的質(zhì)點(diǎn)铐伴，
(5) $\vec{a}_{t}\neq0$ 撮奏， $\vec{a}_{n}=0$ 。
(6) $\vec{a}_{t}\neq0$ 当宴， $a_{n}=\frac{v^{2}}{R}$ 不就是高中學(xué)過的向心加速度嘛畜吊。
上述判斷正確的為

解答：(2)(3)(6)

質(zhì)點(diǎn)作曲線運(yùn)動，對下列表述中户矢，

(1) $dv/dt=a$ 玲献；
(2) $dr/dt=v$ ；
(3) $ds/dt=v$ 梯浪；
(4) $|d\vec{v}/dt|=a_{t}$ ．

正確的是(　　)

解答： $\vec{a}=\vec{a}_{t}+\vec{a}_{n}$$=\frac{dv}{dt}\vec{e}_{t}+\frac{v^{2}}{R}\vec{e}_{n}$ 捌年，故而 $a=\sqrt{(\frac{dv}{dt})^{2}+(\frac{v^{2}}{R})^{2}}$ 。 $\frac{dv}{dt}$ 表示切向加速度 $a_{t}$ 驱证，它表示速度大小隨時間的變化率延窜，是加速度矢量沿速度方向的一個分量，起改變速度大小的作用抹锄； $\frac{dr}{dt}$ 在極坐標(biāo)系中表示徑向速率，比如變速圓周運(yùn)動中荠藤， $\frac{dr}{dt}$ 總等于零，但 $v\neq0$ ；(3)是自然坐標(biāo)系中速率 $v$ 的計(jì)算公式膜宋； $|d\vec{v}/dt|$ 表示加速度的大小躲履， $\frac{dv}{dt}$ 表示切向加速度的大小，在勻速率圓周運(yùn)動中淤井，前者總不為零而后者總為零布疼，不應(yīng)該混淆。

一個質(zhì)點(diǎn)在做圓周運(yùn)動時,則
- 切向加速度一定改變,法向加速度也改變
- 切向加速度可能不變,法向加速度一定改變
- 切向加速度可能不變,法向加速度不變
- 切向加速度一定改變,法向加速度不變

解答：加速度的切向分量 $a_{t}$ 起改變速度大小的作用,而法向分量 $a_{n}$ 起改變速度方向的作用．質(zhì)點(diǎn)作圓周運(yùn)動時,由于速度方向不斷改變,相應(yīng)法向加速度的方向也在不斷改變,因而法向加速度是一定改變的．至于 $a_{t}$ 是否改變,則要視質(zhì)點(diǎn)的速率情況而定．質(zhì)點(diǎn)作勻速率圓周運(yùn)動時, $a_{t}$ 恒為零币狠；質(zhì)點(diǎn)作勻變速率圓周運(yùn)動時, $a_{t}$ 為一不為零的恒量,當(dāng) $a_{t}$ 改變時,質(zhì)點(diǎn)則作一般的變速率圓周運(yùn)動

物體作斜拋運(yùn)動游两，初速度大小為 $v_{0}$ ，且速度方向與水平前方夾角為 $\theta$ 漩绵，則物體軌道最高點(diǎn)處的曲率半徑為( )贱案。

解答：曲線運(yùn)動中，法向加速度為 $a_{n}=\frac{v^{2}}{\rho}$ (其中 $\rho$ 是曲率半徑)止吐，故 $\rho=\frac{v^{2}}{a_{n}}$ 宝踪，其中 $a_{n}$ 為“軌道最高點(diǎn)處”的法向加速度，應(yīng)為 $g$ (此時切向加速度為零)碍扔，速度 $v=v_{0}\cos\theta$ .

法向加速度和切向加速度的核心公式是需要記憶的： $a_{n}=\frac{v^{2}}{R}$ 和 $a_{t}=\frac{dv}{dt}$ 瘩燥。質(zhì)點(diǎn)沿半徑為 $R$ 的圓周運(yùn)動，其角位移隨時間 $t$ 的變化規(guī)律是 $\theta=2+4t^{2}$ 不同。在 $t=1$ 時厉膀，它的法向加速度和切向加速度分別為()

解答：圓周運(yùn)動中， $a_{n}=\frac{v^{2}}{R}=R\omega^{2}$ , $a_{t}=\frac{dv}{dt}=\frac{d(R\omega)}{dt}$$=R\frac{d\omega}{dt}$ . 關(guān)鍵是求出 $\omega$ . 已知: $\omega=\frac{d\theta}{dt}=8t$ .

質(zhì)點(diǎn)P在水平面內(nèi)沿一半徑為 $1$ 的圓軌道轉(zhuǎn)動。轉(zhuǎn)動的角速度與時間t的函數(shù)關(guān)系為 $\omega=kt$ (k為常量)站蝠。已知 $t=2$ 時汰具，質(zhì)點(diǎn)P的速度值為 $4$ 。試求 $t=0$ 時菱魔，質(zhì)點(diǎn)P加速度的大小為()

解答：圓周運(yùn)動中留荔， $a_{n}=\frac{v^{2}}{R}=R\omega^{2}=k^{2}t^{2}?$ , $a_{t}=\frac{dv}{dt}=\frac{d(R\omega)}{dt}?$$=R\frac{d\omega}{dt}=k?$ . 加速度的大小為 $a=\sqrt{a_{n}^{2}+a_{t}^{2}}=\sqrt{k^{4}t^{4}+k^{2}}?$ . 關(guān)鍵是求出 $k?$ . 由于 $v=R\omega=kt?$ ，知 $k=\frac{v}{t}=2?$ . 因此 $a=2?$

質(zhì)點(diǎn)在 $Oxy$ 平面內(nèi)運(yùn)動澜倦，其運(yùn)動方程為 $\vec{r}=t\ \vec{i}+\frac{1}{2}t^{2}\ \vec{j}$ ．則在 $t=1$ 時切向和法向加速度分別為()

解答：曲線運(yùn)動中聚蝶， $a_{n}=\frac{v^{2}}{\rho}$ (其中 $\rho$ 是曲率半徑，未知藻治，所以無法直接求解 $a_{n}$ ), $a_{t}=\frac{dv}{dt}$ (可由 $\vec{r}$ 算出 $v(t)$ 碘勉，從而得到 $a_{t}$ ). 加速度的大小的公式有兩個 $a=\sqrt{a_{n}^{2}+a_{t}^{2}}$ ，或 $a=|\vec{a}|=|\frac{d\vec{v}}{dt}|$ 桩卵。本題中验靡，由于 $\vec{r}$ 已知，我們可借助第二個公式算出 $a$ 雏节。最后有 $a_{n}=\sqrt{a^{2}-a_{t}^{2}}$ 胜嗓。具體地， $\vec{v}=\frac{d\vec{r}}{dt}=\vec{i}+t\ \vec{j}$ 钩乍， $\vec{a}=\frac{d\vec{v}}{dt}=\vec{j}$ . 于是辞州， $a_{t}=\frac{dv}{dt}=\frac{d\sqrt{1+t^{2}}}{dt}$$=\frac{t}{\sqrt{t^{2}+1}}$$=\sqrt{2}/2$ . $a=|\vec{a}|=1$ . 于是 $a_{n}=\sqrt{a^{2}-a_{t}^{2}}$$=\sqrt{2}/2$ .

最后編輯于：2019.02.20 13:04:38

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高維運(yùn)動的描述

本次課會涉及下列數(shù)學(xué)符號 f(x)

知識點(diǎn)

平面直角坐標(biāo)系下的矢量

位矢 $\vec{r}$ 讼渊，速度 $\vec{v}$ , 加速度 $\vec{a}$

軌跡方程關(guān)于 $y(x)$ 的方程袖订，不關(guān)心時間氮帐。

位矢的大小 $r$ 上沐，速率 $v$ ，加速度的大小 $a$

一段時間的路程 $\Delta s$ ，半徑的增量 $\Delta r$ 两入，位移 $\Delta \vec{r}$

曲線運(yùn)動的加速度 $\vec{a}$

表達(dá)題

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知識點(diǎn)

平面直角坐標(biāo)系下的矢量

位矢 讼渊，速度 , 加速度

軌跡方程 關(guān)于的方程袖订，不關(guān)心時間氮帐。

位矢的大小上沐，速率，加速度的大小

一段時間的路程 ，半徑的增量两入，位移

曲線運(yùn)動的加速度

表達(dá)題

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位矢 $\vec{r}$ 讼渊，速度 $\vec{v}$ , 加速度 $\vec{a}$

軌跡方程關(guān)于 $y(x)$ 的方程袖订，不關(guān)心時間氮帐。

位矢的大小 $r$ 上沐，速率 $v$ ，加速度的大小 $a$

一段時間的路程 $\Delta s$ ，半徑的增量 $\Delta r$ 两入，位移 $\Delta \vec{r}$

曲線運(yùn)動的加速度 $\vec{a}$