1. 一維運動的描述

知識點

運動的基本概念
知運動求力，求導法
知力求運動杀狡，微分方程法
- 尋找核心方程
- 緊扣目標憔足，借助定義、完成變量代換
- 分離變量酪耕，得到微分方程
- 兩邊定積分
特殊模型：收尾速度

表達題

位移和路程是兩個完全不同的概念．只有當質(zhì)點作直線運動且運動方向不改變時,位移的大小才會與路程相等导梆。已知質(zhì)點沿x 軸作直線運動,其運動方程為 $x(t)=2+6t^{2}-2t^{3}$ ，則4.0 s內(nèi)質(zhì)點的位移和所通過的路程分別為

解答：質(zhì)點在4.0 s內(nèi)位移的大小 $\Delta x=x(4)-x(0)=-32$ 因妇。由 $\frac{dx}{dt}=0$ 知问潭，質(zhì)點換向時刻為 $t=2$ . 在(0～2)時段和(2～4)時段，均做單向直線運動婚被。(0～2)時段的路程為 $|x(2)-x(0)=8$ 狡忙，(2～4)時段的路程為 $|x(4)-x(2)|=40$ ，總路程為48.

已知 $a=3v^{2}+2$ 址芯，這是一個關(guān)于 $a$ 和 $v$ 的方程灾茁。求 $v(t)$

解答：

已知 $x=\frac{g}{2}t^{2}+3t+5$ ，則加速度為

解答： $a(t)=\frac{dv}{dt}=\frac{d(gt+3)}{dt}=g$

已知 $a=4t^{2}$ 谷炸，這是一個關(guān)于 $a$ 和 $t$ 的方程北专。求 $v(t)$

解答： $a=\frac{dv}{dt}$ 。微分方程為 $\frac{dv}{dt}=4t^{2}$

已知 $v=4t^{2}?$ 旬陡，求 $x(t)?$

解答：把 $v$ 變量代換為只含 $x$ 和 $t$ 的表達式 $v=\frac{dx}{dt}$ 拓颓。微分方程為 $\frac{dx}{dt}=4t^{2}$

已知 $v=3x^{2}+2$ ，求 $x(t)$

解答：把 $v$ 變量代換為只含 $x$ 和 $t$ 的表達式 $v=\frac{dx}{dt}$ 描孟。微分方程為 $\frac{dx}{dt}=3x^{2}+2$

已知 $x=\frac{g}{2}t^{2}+3t+5?$ 驶睦，則速率和加速度的表達式

解答： $v(t)=\frac{dx}{dt}=gt+3$
$a(t)=\frac{dv}{dt}=g$

運動問題中，經(jīng)常需處理兩個物體的速度關(guān)系匿醒。處理方法是先找到兩個物體的位置間的關(guān)系场航，求導即可得到速度間的關(guān)系。請溫習課本P15頁例1.3廉羔，并完成下題溉痢。如圖所示,湖中有一小船,有人用繩繞過岸上一定高度處的定滑輪拉湖中的船向岸邊運動．設(shè)該人以勻速率 $v_{0}$ 收繩,繩不伸長且湖水靜止,小船的速率為 $v$ ,則小船作(　　)

解答：本題關(guān)鍵是先求得小船速度表達式,進而判斷運動性質(zhì)．為此建立如圖所示坐標系,設(shè)定滑輪距水面高度為 $h$ , $t$ 時刻定滑輪距小船的繩長為 $l$ ,則小船的位置為 $x$ .
$l$ 與 $x$ 間滿足的方程為 $x^{2}=l^{2}-h^{2}$ ，其中 $h$ 為常數(shù)．兩邊求導得 $2x\cdot\frac{dx}{dt}=2l\cdot\frac{dl}{dt}$ ． $\frac{dl}{dt}$ 表示繩長l隨時間的變化率,其大小即為 $v_{0}$ 憋他；由于小船沿著負向運動敌厘， $\frac{dx}{dt}=-v$ .

What is the topic of the following paragraph?
In physics, we always begin with the motion of points; perhaps we should think of them as atoms, but it is probably better to be more rough in the beginning and simply to think of some kind of small objects—small, that is, compared with the distance moved.

解答：質(zhì)點的運動

已知 $a=3x^{2}+2$ 侦副，這是一個關(guān)于 $a$ 和 $x$ 的方程回挽。求 $v(x)$

解答： $a=\frac{dv}{dt}=\frac{dv}{dx}\cdot\frac{dx}{dt}=\frac{dv}{dx}v$ . 微分方程為 $\frac{dv}{dx}v=3x^{2}+2$ .

已知 $\frac{dv}{dt}=4t^{2}?$ 奴愉，請分離變量

解答： $dv=4t^{2}dt$

已知 $\frac{dv}{dt}=3v^{2}+2?$ ，請分離變量

解答： $\frac{1}{3v^{2}+2}dv=dt$

已知 $\frac{dv}{dx}v=3x^{2}+2?$ 此迅，請分離變量

解答： $vdv=(3x^{2}+2)dx$

質(zhì)點沿直線運動, 加速度 $a=4-t^{2}$ ．如果當 $t=3$ 時, $x=9$ , $v=2$ , 求質(zhì)點的運動方程 $x(t)$

解答： $x=2t^{2}-\frac{1}{12}t^{4}+0.75$ . 本題屬于運動學第二類問題,即已知加速度求速度和運動方程,必須用積分法解決．由 $a=\frac{dv}{dt}$ 和 $v=\frac{dx}{dt}$ 可得 $dv=adt$ 和 $dx=vdt$ ．如 $a=a(t)$ 或 $v=v(t)$ ,則可兩邊直接積分．如果 $a$ 或 $v$ 不是時間 $t$ 的顯函數(shù),則應經(jīng)過諸如分離變量或變量代換后再做積分汽畴。由分析知,應有 $\int_{v_{0}}^{v}dv=\int_{0}^{t}adt$ 得 $v=4t-\frac{1}{3}t^{3}+v_{0}$ . 由 $\int_{x_{0}}^{x}dx=\int_{0}^{t}vdt$ 得 $x=2t^{2}-\frac{1}{12}t^{4}+x_{0}$ . 將 $t=3$ 時, $x=9$ , $v=2$ 以上兩式得 $v_{0}=-1$ , $x_{0}=0.75$ ．于是可得質(zhì)點運動方程為 $x=2t^{2}-\frac{1}{12}t^{4}+0.75$ .

終端速度(Terminal Velocity)：當對物體的抵抗力與其速度同時增大時旧巾，物體將穩(wěn)定在一定的速度上，此時的速度即為終端速度忍些。詳見百科介紹鲁猩。一石子從空中由靜止下落,由于空氣阻力,石子并非作自由落體運動,現(xiàn)測得其加速度

$a=A-Bv?$ ,

式中 $A?$ 、 $B?$ 為正恒量, 則石子下落速度 $v(t)?$ 為

解答：需將式 $a(v)=\frac{dv}{dt}$ 分離變量為 $\frac{dv}{a(v)}=dt$ 后再兩邊積分．選取石子下落方向為 $y$ 軸正向,下落起點為坐標原點．由題意知 $a=\frac{dv}{dt}=A-Bv$ , 用分離變量法改寫為 $\frac{dv}{A-Bv}=dt$ . 兩邊積分并考慮初始條件,有 $\int_{v_{0}}^{v}\frac{dv}{A-Bv}=\int_{0}^{t}dt$ 得石子速度 $v=\frac{A}{B}(1-e^{-Bt})$ . 由此可知當, $t\rightarrow\infty$ 時, $v\rightarrow\frac{A}{B}$ 為一常量,通常稱為極限速度或收尾速度．

一質(zhì)點沿 $x$ 軸運動罢坝，其加速度為 $a=4t$ 廓握，已知 $t=0$ 時，質(zhì)點位于 $x_{0}=10$ 處嘁酿，初速度為 $v_{0}=0$ 隙券。求其位置和時間的關(guān)系式 $x(t)$ 為

解答：需將式 $a(t)=\frac{dv}{dt}$ 分離變量為 $a(t)dt=dv$ 后再兩邊積分(初學者請關(guān)注積分上下限的寫法)： $\int_{0}^{t}4tdt=\int_{v_{0}}^{v}dv$ ．得： $v(t)=2t^{2}$ . 將此式繼續(xù)寫成微分方程： $\frac{dx}{dt}=2t^{2}$ ，分離變量得： $2t^{2}dt=dx$ 闹司。兩邊積分并注意積分上下限娱仔，得： $\int_{0}^{t}2t^{2}dt=\int_{x_{0}}^{x}dx$ 。積分得： $x-x_{0}=\frac{2}{3}t^{3}$ 游桩，亦即 $x(t)=10+\frac{2}{3}t^{3}$ .

質(zhì)量為 $m$ 的物體自空中落下牲迫，它除受重力外，還受到一個與速度平方成正比的阻力的作用借卧，比例系數(shù)為 $k$ 盹憎， $k$ 為正值常量。該下落物體的收尾速度(即最后物體作勻速運動時的速度)將是

解答：勻速運動的方程為： $mg-kv^{2}=ma=0$ 铐刘，故 $v=\sqrt{\frac{mg}{k}}$ . 這種方法只能計算出最后勻速運動陪每。中間沒有達到平衡態(tài)時，只能用微分方程了镰吵。

電動列車行駛時每千克質(zhì)量所受的阻力 $F=3+2v^{2}$ 檩禾，式中， $v$ 為列車速度. 當車速達到 $v_{1}$ 時關(guān)掉電門(車子失去動力捡遍，只受阻力 $F$ )锌订，再運行( )后列車速度減至 $v_{2}$ 竹握。

解答：設(shè)車子質(zhì)量為 $m$ . 總阻力為 $mF=m(3+2v^{2})$ . 核心方程為 $a=3+2v^{2}$ 画株，是關(guān)于 $a$ 和 $v$ 的方程。題目要求的是關(guān)于 $v$ 和 $x$ 的關(guān)系啦辐，所以需要變量代換： $a=\frac{dv}{dt}=\frac{dv}{dx}\cdot\frac{dx}{dt}=\frac{dv}{dx}v$ 谓传。于是得到關(guān)于 $v$ 和 $x$ 的微分方程為 $v\cdot\frac{dv}{dx}=3+2v^{2}$ ，可以幫我們算出 $x(v)$ . 先分離變量得： $dx=\frac{v}{3+2v^{2}}dv$ . 兩邊積分芹关，注意積分上下限续挟，得 $\int_{0}^{x}dx=\int_{v_{1}}^{v_{2}}\frac{v}{3+2v^{2}}dv$ . 得到 $x=\frac{1}{4}\log\frac{v_{2}^{2}+\frac{3}{2}}{v_{1}^{2}+\frac{3}{2}}$ .

質(zhì)量為 $m$ 的雨滴下降時，因受空氣阻力侥衬，在落地前已是勻速運動诗祸，其速率為 $v=5.0$ 跑芳。設(shè)空氣阻力大小與雨滴速率的平方成正比，當雨滴下降速率為 $v=4.0$ 時直颅，其加速度 $a$ 為

解答：受力分析為 $mg-kv^{2}=ma$ , 穩(wěn)定后有 $mg-25k=0$ , 故 $k=\frac{mg}{25}$ . 中間過程是變速運動博个，核心方程為 $a=g-\frac{k}{m}v^{2}=g-\frac{g}{25}v^{2}$ , 關(guān)于 $a$ 和 $v$ 的方程。題目要求的是關(guān)于 $a$ 與 $v$ 的關(guān)系功偿，不需要進一步變量代換盆佣。直接計算得 $a=\frac{9}{25}g$ .

已知一質(zhì)量為 $m$ 的質(zhì)點在 $x$ 軸上運動，質(zhì)點只受到指向原點的引力的作用械荷，引力大小與質(zhì)點離原點的距離 $x$ 的平方成反比共耍，即 $f=-\frac{k}{x^{2}}$ ， $k$ 是常數(shù)吨瞎。設(shè)質(zhì)點在 $x=A$ 時的速度為零痹兜，求質(zhì)點在 $x=A/4$ 處的速度的大小。

解答：受力分析為 $f=-\frac{k}{x^{2}}$ . 核心方程為 $a=-\frac{k}{mx^{2}}$ , 關(guān)于 $a$ 和 $x$ 的方程关拒。題目需要的是 $v$ 和 $x$ 的方程佃蚜，需要變量代換。 $a=\frac{dv}{dt}=\frac{dv}{dx}\cdot\frac{dx}{dt}=\frac{dv}{dx}\cdot v$ . 于是有 $\frac{dv}{dx}\cdot v=-\frac{k}{mx^{2}}$ . 分離變量得： $vdv=-\frac{k}{mx^{2}}dx$ . 兩邊積分着绊，注意上下限得 $\int_{0}^{v}vdv=-\int_{A}^{\frac{A}{4}}\frac{k}{mx^{2}}dx$ . 最后得到 $\sqrt{\frac{6k}{mA}}$ .

最后編輯于：2019.02.11 10:43:07

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