第一章 行列式

三點內容武学。

一、計算伦意。

1火窒、數字型行列式計算用展開公式。注意用技巧多創(chuàng)造0:把某一行的k 倍加到第i 行驮肉；把每一行都加到第一行熏矿；逐行相加；

爪型要變形上三角或下三角，考時不會是明明白白的爪型曲掰，故先要變成明明白白的爪型疾捍；

有時若恒等變形會把行列式本來很好的結構破壞掉，故要積累經驗栏妖；

"三條線"型若是4乱豆、5階用逐行相加或每行都加到第一行；階數高的用數學歸納法或遞推法吊趾。(數學歸納法要先打草稿才能確定用第一還是第二數學歸納法——若一個n 階命題和1個遞階命題相關宛裕，則用第一數學歸納法；若一個n 階命題和2個遞階命題相關论泛，則用第二數學歸納法揩尸。)

2、抽象型行列式計算

行列式性質恒等變形屁奏；矩陣公式岩榆、法則恒等變形；E 恒等變形坟瓢。特征值勇边、相似。

二折联、應用

特征多項式求特征值結果往往帶參數粒褒，記得求解時不要乘得混亂；克萊默法則更多用來做證明題诚镰，只在系數行列式特殊(如范德蒙)時才用來解方程組奕坟。

三、證行列式為0——反方秩特

第二章 矩陣

一清笨、運算:n 維列向量月杉；分塊矩陣；矩陣的n 次方(三種做法:看秩是否為1函筋；拆成單位矩陣和一個矩陣的和再用二項展開式沙合；用相似)

二奠伪、伴隨跌帐。伴隨的兩種求法；核心公式推導矩陣的逆绊率、伴隨谨敛、伴隨的逆、逆的伴隨(注意用置換)滤否。

矩陣的秩和伴隨的秩的關系及證明(思路很重要)脸狸；考秩的倆條件，一個講大一個講小炊甲；用行列式的元來解釋矩陣的秩泥彤；

三、可逆卿啡。逆矩陣的4種求法:定義吟吝、行變換、用伴隨颈娜、對角矩陣的逆剑逃。

逆和轉置的運算法則比較。

四官辽、初等矩陣蛹磺。左乘右乘；初等矩陣逆矩陣的三個公式同仆。

看到一道題不要直接看答案萤捆，要先自己思考。把真題做好俗批。

第三章 向量

以下三大內容的計算題如叼、證明題、選擇題购公。

一缠犀、相關、無關

1臭觉、向量里面兩個核心考點:相關無關的計算題將坐標豎過來昆雀，看齊次方程組有無非0解；線性表出的計算題研究非齊次方程組有無解蝠筑。

2狞膘、證向量組無關:定義法，恒等變形——乘和重組什乙；用秩挽封。

若是用乘，先看能不能乘出0來臣镣；若一下子看不出乘誰得0辅愿，分兩步走，研究倆式子的加加減減忆某。

二点待、線性表出。

1弃舒、計算題有兩種:

⑴一個向量能否用一個向量組線性表出?

兩個思路:

①以克拉默法則為背景癞埠，若用克拉默法則來處理状原，令行列式等于0，把等于0的各種情況探討在一起苗踪，總結歸納颠区。

②構造非齊次線性方程組——抓0思想(注意:未知量的系數為0，若常數項不為0通铲，則此非齊次線性方程組無解瓦呼；若常數項系數為0，則有無窮多解)测暗。

⑵一個向量組能否由另一個向量組線性表出?

①構造非齊次線性方程組(幾個系數一致的非齊次線性方程組可合并系數矩陣)央串，抓0；

②推理碗啄，用秩思考质和。(觀察:向量組1中所有向量都能由2中一個向量表出，則1能由2表出稚字；若2中有一個向量不能由1線性表出饲宿，則2不能由1表出)

2、證明題和選擇題思路:

⑴證一個向量能由一個向量組線性表示:

①構造非齊次線性方程組胆描，用秩瘫想；(用秩做題要有的一個構思——構造數的不等式，夾逼思想)

②定理3.6——一組向量線性無關昌讲，加入一個相關国夜，則加入的那個向量可用其余向量表出，且表示法唯一短绸。

③證出某個K≠0车吹，讓K當分母。

⑵證不能線性表示:反證法醋闭。

三窄驹、秩。

1证逻、向量組的秩考點

①求極大無關組:如經初等行變換得到秩為3的矩陣乐埠，就找3階行列式不為0的向量；

②將其他向量用極大無關組表出囚企。

用不同語言解釋向量組列(行)滿秩丈咐，則列(行)向量線性無關:用極大線性無關組解釋；用齊次線性方程組只有0解解釋洞拨。

線性代數里好多知識點可以用不同角度解釋扯罐、理解——做題開拓思路负拟，同一件事情烦衣，從不同角度解釋。

極大線性無關組與整個向量組等價，應用到求齊次線性方程組的解花吟，要用有限個解描述無窮個解秸歧，則求解解向量的極大無關組——基礎解系。

2衅澈、矩陣的秩

矩陣的秩用行列式得不得0來定義键菱，矩陣的行秩和列秩是向量組的秩，指向量組的極大無關組有幾個向量今布。兩者是完全不同的概念经备，但都是數值，數值大小一樣部默。

矩陣秩的幾個公式及證明侵蒙。

求n階矩陣的秩有3個方法:①經初等行變換矩陣的秩不變；②用秩的概念——行列式傅蹂；③用特征值纷闺。

第四章 方程組

這章三點內容，考計算份蝴，動手做題發(fā)現很多問題犁功。

1、齊次線性方程組

把系數矩陣化成行最簡(把自由變量的系數寫成相反數)還是階梯型(代入求解)要靈活處理婚夫。選擇計算量最小浸卦、不易出錯的。

基礎解系如何找自由變量?——從系數矩陣找單位矩陣(或行列式不為0的矩陣)案糙，擋掉的就是自由變量镐躲。

2、非齊次線性方程組

求非齊次特解時侍筛，自由變量全為0萤皂，其余變量按從上往下順序抄常數項。

3匣椰、公共解裆熙、同解

公共解兩種考題:①題目說兩個方程組有公共解，則聯立方程組禽笑；②一個給方程組入录，一個給基礎解系，則解方程組佳镜，用兩個基礎解系表示公共解僚稿，移項，構造齊次方程組蟀伸，解出系數蚀同，代入任意一組基礎解系即可缅刽。

同解要注意驗證必要條件——秩相等。

第五章 特征值

考試重點蠢络，三點內容衰猛。

1、求特征值刹孔、特征向量啡省。

①定義法。(推理分析)

②特征多項式髓霞，特征方程卦睹。(通過基礎解系求特征向量)

這里的加減消元要學會投機取巧，不要一點一點消方库，先把最復雜的一個方程全寫成0分预；特征向量盡可能求成整數。

③相似(兩矩陣相似薪捍，特征值一樣笼痹，特征向量有關聯，背過直接用)

做題技巧:

已知一個矩陣的特征值酪穿、特征向量凳干，直接寫與其相關矩陣(多項式、冪被济、逆救赐、伴隨、相似)的特征值只磷、特征向量经磅；

把一個矩陣寫成一個簡單矩陣(秩為1的矩陣特征值有一個為矩陣的跡，另外的全是0)與單位矩陣的和钮追；

齊次方程組的解也是特征值0對應的特征向量预厌；

2、相似

①相似的4個必要條件(行列式元媚、秩轧叽、特征多項式和特征值、跡相等)刊棕；

②在兩個矩陣的相似上注意3條線索:若一個矩陣的行列式和秩不好求炭晒，則求與其相似矩陣的行列式、秩甥角；通過相似于對角矩陣求矩陣的冪网严；證明兩矩陣相似，選一個對角矩陣作為中介嗤无。

③一個矩陣相似于對角陣的定義——矩陣有n個無關的特征向量震束。

判斷方法:兩個充分條件(有n個不同特征值怜庸；對稱矩陣)；1個充要條件(n重特征值有n個無關的特征向量)驴一。

④求可逆矩陣使矩陣A對角化休雌。題目中不直接告訴A矩陣灶壶，此時要予處理肝断。3種題型。

給相似:用相似的必要條件(跡驰凛、行列式相等胸懈、特征值相同)構造方程組；

給特征向量:用特征值恰响、特征向量定義構造方程組趣钱；

特征值有重根:研究秩。

⑤以前是給一個矩陣胚宦，求其特征值首有、特征向量，現在正好反過來枢劝，要求A井联，準備好兩套東西——n個特征值、n個特征向量您旁。兩個思路:用矩陣方程烙常，用相似。

3鹤盒、實對稱矩陣

①4個特點

②用正交矩陣相似對角化蚕脏。前3步與用可逆矩陣相似對角化一致，第4步是將求得的特征向量正交化(施密特)侦锯、單位化(別帶分母驼鞭，就寫整數部分)。

第六章 二次型

1尺碰、標準型

二次型化標準型的問題终议，在正交變換下就演變成求A 的特征值、特征向量葱蝗。

2穴张、正定

判斷矩陣是否正定?①先檢驗A 對稱②證明A 正定(主對角線上的元素都大于0是正定的必要條件；順序主子式全大于0两曼；特征值全大于0)

證明正定?①定義法②特征值法③A 與單位矩陣合同(正慣性指數為n )

3皂甘、合同

相似一定合同，合同一定等價悼凑。反之不成立偿枕。

舉例矩陣特征值相同但不相似→要舉反例璧瞬，特征值必須是重根。

等價?同型矩陣秩相等

證明相似(n 階)→相似于同一個對角矩陣

證明不相似→用相似的4個充分條件渐夸；一個相似于對角矩陣嗤锉，一個不能相似對角化。

實對稱矩陣相似?特征值相同

合同(n 階實對稱)?正負慣性指數相等墓塌。

六章全結束瘟忱，祝順利。