1.3 向量方程（線性代數(shù)及其應(yīng)用-第5版-系列筆記）

內(nèi)容概述

本節(jié)首先以 $\mathbb{R}^2$ 和 $\mathbb{R}^3$ 空間為例，引入了向量的概念秩霍、向量的幾何表示篙悯，并介紹了向量的一些基本運算和性質(zhì)，例如向量的加法和標量乘法铃绒、交換律鸽照、結(jié)合律等。接著引入了線性組合的概念颠悬，并將線性組合和線性方程組結(jié)合了起來矮燎。

$\mathbb{R}^2$ 中的向量

僅含一列的矩陣稱為列向量，或簡稱向量椿疗。舉例如下：
$\boldsymbol u = \begin{bmatrix}1 \\2 \end{bmatrix}$ 漏峰， $\boldsymbol v = \begin{bmatrix}0.2 \\0.3 \end{bmatrix}$
所有兩個元素的向量的集記為 $\mathbb{R}^2$ 糠悼， $\mathbb{R}$ 表示向量中的元素是實數(shù)届榄，而指數(shù)2表示每個向量包含兩個元素。
$\mathbb{R}^2$ 中兩個向量相等當且僅當其對應(yīng)元素相等倔喂，因為 $\mathbb{R}^2$ 中的向量是實數(shù)的有序?qū)?/strong>铝条。

給定 $\mathbb{R}^2$ 中兩個向量 $\boldsymbol u$ 和 $\boldsymbol v$ 靖苇，它們的和 $\boldsymbol u+\boldsymbol v$ 是把 $\boldsymbol u$ 和 $\boldsymbol v$ 對應(yīng)元素相加所得的向量笛辟。例如粘优， $\boldsymbol u = \begin{bmatrix}1\\ 2 \end{bmatrix}$ 和 $\boldsymbol v = \begin{bmatrix}2\\ 5 \end{bmatrix}$ 兩個向量的和是 $\boldsymbol w = \begin{bmatrix}3\\ 7 \end{bmatrix}$

給定向量 $\boldsymbol u$ 和實數(shù) $c$ 速缨， $\boldsymbol u$ 與 $c$ 的標量乘法是把 $\boldsymbol u$ 的每個元素乘以 $c$ 勺远，所得向量記為 $c \boldsymbol u$ 锄开。
例如救军，
若
$\boldsymbol u=\begin{bmatrix} 3 \\ -1 \end{bmatrix}, \quad c = 5$
則
$c \boldsymbol u = 5\begin{bmatrix} 3 \\ -1 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 15 \\ -5 \end{bmatrix}$

$\mathbb{R}^2$ 的幾何表示

因為平面上每個點由實數(shù)的有序?qū)Υ_定夜惭，所以可把集合點 $(a, b)$ 與列向量 $\begin{bmatrix} \boldsymbol a \\ \boldsymbol b \end{bmatrix}$ 等同岖食。因此莹妒，可把 $\mathbb{R}^2$ 看作平面上所有點的集合名船。
若 $\mathbb{R}^2$ 中向量 $\boldsymbol u$ 和 $\boldsymbol v$ 用平面上的點表示，則 $\boldsymbol u + \boldsymbol v$ 對應(yīng)于以 $\boldsymbol u$ , $\boldsymbol 0$ 和 $\boldsymbol v$ 為三個頂點的平行四邊形的第4個頂點旨怠。

平行四邊形法則.png

$\mathbb{R}^3$ 中的向量

$\mathbb{R}^3$ 中的向量是 $3 \times 1$ 列矩陣渠驼，有3個元素，它們表示三維坐標空間中的點鉴腻，或起點為原點的箭頭迷扇。

R3中的向量.jpg

$\mathbb{R}^n$ 中的向量

若 $n$ 是正整數(shù)，則 $\mathbb{R}^n$ 表示所有 $n$ 個實數(shù)數(shù)列（或有序 $n$ 元組）的集合爽哎，通常寫成 $n \times1$ 列矩陣的形式蜓席，如：
$\boldsymbol u = \begin{bmatrix} u_1 \\ u_2 \\ ... \\ u_n \end{bmatrix}$
所有元素都是零的向量稱為零向量，用 $\boldsymbol 0$ 表示（ $\boldsymbol 0$ 中元素的個數(shù)可由上下文確定课锌。）
下列是 $\mathbb{R}^n$ 中向量的代數(shù)性質(zhì)：

$\boldsymbol u + \boldsymbol v$ = $\boldsymbol v + \boldsymbol u$
$(\boldsymbol u + \boldsymbol v) + \boldsymbol w = \boldsymbol u + (\boldsymbol v + \boldsymbol w)$
$\boldsymbol u + \boldsymbol 0 = \boldsymbol 0 + \boldsymbol u = \boldsymbol u$
$\boldsymbol u + (\boldsymbol {-u}) = -\boldsymbol u + \boldsymbol u = \boldsymbol 0$
$c(\boldsymbol u +\boldsymbol v) = c\boldsymbol u + c\boldsymbol v$
$(c + d)\boldsymbol u = c\boldsymbol u + d\boldsymbol u$
$c(d\boldsymbol u) = (cd)\boldsymbol u$
$1\boldsymbol u = \boldsymbol u$

線性組合

給定 $\mathbb{R}^n$ 中向量 $\boldsymbol v_1, \boldsymbol v_2, \cdots, \boldsymbol v_p$ 和標量 $c_1, c_2,\cdots, c_p$ 瓮床，向量
$\boldsymbol y=c\boldsymbol v_1 + \cdots +c_p\boldsymbol v_p$
稱為向量以 $c_1, c_2,\cdots, c_p$ 為權(quán)的線性組合。
從幾何上來說产镐，線性組合可以認為是不同向量拉伸和壓縮之后的和隘庄。

線性組合的幾何意義.jpeg

下面的例子把線性組合與前面幾節(jié)（1.1節(jié)、1.2節(jié)）的存在性問題聯(lián)系起來癣亚。
設(shè) $\boldsymbol a_1 = \begin{bmatrix}1 \\ -2 \\ -5\end{bmatrix}$ 丑掺， $\boldsymbol a_2 = \begin{bmatrix}2 \\ 5 \\ 6\end{bmatrix}$ ， $\boldsymbol b = \begin{bmatrix}7 \\ 4 \\ -3\end{bmatrix}$ 述雾，確定 $\boldsymbol b$ 能否寫成 $\boldsymbol a_1$ 和 $\boldsymbol a_2$ 的線性組合街州，也就是說，確定是否存在 $x_1$ 和 $x_2$ 玻孟，使得
$x_1\boldsymbol a_1 + x_2\boldsymbol a_2 = \boldsymbol b$
若該向量方程有解唆缴，求它的解。
解：該向量方程可以寫為：
$\begin{bmatrix}x_1 + 2x_2 \\-2x_1 + 5x_2 \\-5x_1 + 6x_2\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}7\\4 \\-3\end{bmatrix}$
寫成矩陣形式為：
$\begin{bmatrix} 1 & 2 & 7 \\ -2 & 5 & 4 \\ -5 & 6 & -3 \end{bmatrix}$
化為簡化階梯形為：
$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 3 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$
其解是 $x_1 = 3, x_2 = 2$ 黍翎，因此 $\boldsymbol b$ 是 $\boldsymbol a_1$ 與 $\boldsymbol a_2$ 的線性組合面徽，權(quán)為： $x_1=3$ 和 $x_2=2$ 。

由上例可以得到如下的結(jié)論：

向量方程：
$x_1\boldsymbol a_1 + x_2\boldsymbol a_2 + \cdots + x_n\boldsymbol a_n = \boldsymbol b$
和增廣矩陣為：
$[\boldsymbol a_1\quad \boldsymbol a_2\quad \boldsymbol \cdots \quad \boldsymbol a_n \quad \boldsymbol b]$
的線性方程組有相同的解集。特別的趟紊， $\boldsymbol b$ 可表示為 $\boldsymbol a_1, \boldsymbol a_2, \boldsymbol \cdots, \boldsymbol a_n$ 的線性組合當且僅當對應(yīng)于上述線性方程組有解氮双。

線性代數(shù)的一個主要思想是研究可以表示為某一固定向量集合 $\{\boldsymbol v_1, \boldsymbol v_2, \cdots, \boldsymbol v_n\}$ 的線性組合的所有向量。

張成的向量集合

定義：

若 $\boldsymbol v_1, \boldsymbol v_2, \cdots, \boldsymbol v_n$ 是 $\mathbb{R}^n$ 中的向量霎匈，則 $\boldsymbol v_1, \boldsymbol v_2, \cdots, \boldsymbol v_n$ 的所有線性組合所成的集合用記號 $Span\{\boldsymbol v_1, \boldsymbol v_2, \cdots, \boldsymbol v_p\}$ 表示戴差，稱為由 $\boldsymbol v_1, \boldsymbol v_2, \cdots, \boldsymbol v_n$ 所生成（或張成）的 $\mathbb{R}^n$ 的子集。也就是說铛嘱， $Span\{\boldsymbol v_1, \boldsymbol v_2, \cdots, \boldsymbol v_p\}$ 是所有形如
$c_1\boldsymbol v_1 + c_2\boldsymbol v_2 + \cdots + c_p\boldsymbol v_P$
的向量的集合暖释，其中 $c_1, c_2, \cdots, + c_p$ 為標量。

要判斷向量 $\boldsymbol b$ 是否屬于 $Span\{\boldsymbol v_1, \boldsymbol v_2, \cdots, \boldsymbol v_p\}$ 墨吓，就是判斷方程
$x_1\boldsymbol v_1 + x_2\boldsymbol v_2 + \cdots + x_p\boldsymbol v_p = \boldsymbol b$
是否有解饭入，或等價的，判斷增廣矩陣 $[\boldsymbol v_1 \quad \boldsymbol v_2 \cdots \boldsymbol v_p \boldsymbol \quad \boldsymbol b]$ 的線性方程組是否有解肛真。

由以上定義谐丢，得出兩個結(jié)論：

$Span\{\boldsymbol v_1, \boldsymbol v_2, \cdots, \boldsymbol v_p\}$ 包含 $\boldsymbol v_1, \boldsymbol v_2, \cdots, \boldsymbol v_p$ 中任意一個向量的倍數(shù)。以 $\boldsymbol v_1$ 為例蚓让，用 $c\boldsymbol v_1$ 表示任意 $\boldsymbol v_1$ 的倍數(shù)乾忱，那么因為 $c\boldsymbol v_1 = c\boldsymbol v_1 + 0\boldsymbol v_2 + \cdots + 0\boldsymbol v_p$ ，所以該結(jié)論成立历极。

$Span\{\boldsymbol v_1, \boldsymbol v_2, \cdots, \boldsymbol v_p\}$ 一定包含 $\boldsymbol 0$ 向量窄瘟。這時由于 $\boldsymbol 0 = 0\boldsymbol v_1 + 0\boldsymbol v_2 + \cdots + 0\boldsymbol v_p$ 。

$Span\{\boldsymbol v\}$ 與 $Span\{\boldsymbol u, \boldsymbol v\}$ 的幾何解釋

假設(shè) $\boldsymbol v$ 是 $\mathbb{R}^3$ 中的向量趟卸，那么 $Span\{\boldsymbol v\}$ 就是 $\boldsymbol v$ 的所有標量倍數(shù)的集合蹄葱，也就是 $\mathbb{R}^3$ 中通過 $\boldsymbol v$ 和 $\boldsymbol 0$ 的直線上所有點的集合。

若 $\boldsymbol u$ 和 $\boldsymbol v$ 是 $\mathbb{R}^3$ 中的非零向量锄列， $\boldsymbol v$ 不是 $\boldsymbol u$ 的倍數(shù)图云，則 $Span\{\boldsymbol u, \boldsymbol v\}$ 是 $\mathbb{R}^3$ 中包含 $\boldsymbol u$ , $\boldsymbol v$ 和 $\boldsymbol 0$ 的平面。特別的邻邮， $Span\{\boldsymbol u, \boldsymbol v\}$ 包含 $\mathbb{R}^3$ 中通過 $\boldsymbol u$ 與 $\boldsymbol 0$ 的直線竣况，也包含通過 $\boldsymbol v$ 與 $\boldsymbol 0$ 的直線（由上面的結(jié)論也可以得知這一點）。

向量張成的空間.jpeg

還有一點需要注意的是筒严，雖然 $Span\{\boldsymbol v\}$ 只是一條線丹泉， $Span\{\boldsymbol u, \boldsymbol v\}$ 只是一個平面，但并不是說 $Span\{\boldsymbol v\}$ 就屬于 $\mathbb{R}^1$ 鸭蛙， $Span\{\boldsymbol u, \boldsymbol v\}$ 就屬于 $\mathbb{R}^2$ 了摹恨，它們?nèi)詫儆?img class="math-inline" src="https://math.jianshu.com/math?formula=%5Cmathbb%7BR%7D%5E3" alt="\mathbb{R}^3" mathimg="1">，是 $\mathbb{R}^3$ 的一個子集而已娶视。

在實際應(yīng)用中向量和向量組合的意義

設(shè)公司生產(chǎn)兩種產(chǎn)品晒哄，對于1美元價值的產(chǎn)品 $B$ ，公司需耗費0.45美元材料，0.25美元勞動揩晴，0.15美元管理費用勋陪。對1美元價值的產(chǎn)品 $C$ 贪磺，公司耗費0.40美元材料硫兰，0.30美元勞動，0.15美元管理費用寒锚。設(shè)：
$\boldsymbol b = \begin{bmatrix} 0.45 \\ 0.25 \\ 0.15 \end{bmatrix},\quad \boldsymbol c = \begin{bmatrix} 0.40 \\ 0.30 \\ 0.15 \end{bmatrix}$
則 $\boldsymbol b$ 和 $\boldsymbol c$ 稱為兩種產(chǎn)品的“單位美元產(chǎn)出成本”劫映。

向量 $100\boldsymbol b$ 的經(jīng)濟解釋是生產(chǎn)100美元的產(chǎn)品 $B$ 需要的各種成本，即45美元材料刹前、25美元勞動泳赋、15美元管理費用。

如果公司希望生產(chǎn) $x_1$ 美元產(chǎn)品 $B$ 和 $x_2$ 美元產(chǎn)品 $C$ 喇喉，那么公司花費的總成本是 $x_1\boldsymbol b_1 + x_2\boldsymbol b_2$

由這個例子祖今，可以體悟到， $\mathbb{R}^n$ 中的 $n$ 拣技，也就是維度千诬，可以代表現(xiàn)實中事物的不同方面（或者成分）。不同的向量可以代表做一件簡單事情（或稱基本事件膏斤，元事件）時徐绑，各個方面是如何配合的。而這些向量的組合（也是一個向量）莫辨，又可以代表做一件復雜的事情時傲茄，如何由元事件搭配起來。

最后編輯于：2019.11.04 08:56:37

?著作權(quán)歸作者所有,轉(zhuǎn)載或內(nèi)容合作請聯(lián)系作者

人面猴
序言：七十年代末沮榜，一起剝皮案震驚了整個濱河市盘榨，隨后出現(xiàn)的幾起案子，更是在濱河造成了極大的恐慌蟆融，老刑警劉巖较曼，帶你破解...
沈念sama閱讀 218,941評論 6贊 508
死咒
序言：濱河連續(xù)發(fā)生了三起死亡事件，死亡現(xiàn)場離奇詭異振愿，居然都是意外死亡捷犹，警方通過查閱死者的電腦和手機，發(fā)現(xiàn)死者居然都...
沈念sama閱讀 93,397評論 3贊 395
救了他兩次的神仙讓他今天三更去死
文/潘曉璐我一進店門冕末，熙熙樓的掌柜王于貴愁眉苦臉地迎上來萍歉，“玉大人，你說我怎么就攤上這事档桃∏购ⅲ” “怎么了？”我有些...
開封第一講書人閱讀 165,345評論 0贊 356
道士緝兇錄：失蹤的賣姜人
文/不壞的土叔我叫張陵，是天一觀的道長蔑舞。經(jīng)常有香客問我拒担，道長，這世上最難降的妖魔是什么攻询？我笑而不...
開封第一講書人閱讀 58,851評論 1贊 295
?港島之戀（遺憾婚禮）
正文為了忘掉前任从撼，我火速辦了婚禮，結(jié)果婚禮上钧栖，老公的妹妹穿的比我還像新娘低零。我一直安慰自己，他們只是感情好拯杠，可當我...
茶點故事閱讀 67,868評論 6贊 392
惡毒庶女頂嫁案：這布局不是一般人想出來的
文/花漫我一把揭開白布掏婶。她就那樣靜靜地躺著，像睡著了一般潭陪。火紅的嫁衣襯著肌膚如雪雄妥。梳的紋絲不亂的頭發(fā)上，一...
開封第一講書人閱讀 51,688評論 1贊 305
城市分裂傳說
那天依溯，我揣著相機與錄音老厌，去河邊找鬼。笑死誓沸，一個胖子當著我的面吹牛梅桩，可吹牛的內(nèi)容都是我干的。我是一名探鬼主播拜隧，決...
沈念sama閱讀 40,414評論 3贊 418
雙鴛鴦連環(huán)套：你想象不到人心有多黑
文/蒼蘭香墨我猛地睜開眼宿百，長吁一口氣：“原來是場噩夢啊……” “哼！你這毒婦竟也來了洪添？” 一聲冷哼從身側(cè)響起垦页，我...
開封第一講書人閱讀 39,319評論 0贊 276
萬榮殺人案實錄
序言：老撾萬榮一對情侶失蹤，失蹤者是張志新（化名）和其女友劉穎干奢，沒想到半個月后痊焊，有當?shù)厝嗽跇淞掷锇l(fā)現(xiàn)了一具尸體，經(jīng)...
沈念sama閱讀 45,775評論 1贊 315
?護林員之死
正文獨居荒郊野嶺守林人離奇死亡忿峻，尸身上長有42處帶血的膿包…… 初始之章·張勛以下內(nèi)容為張勛視角年9月15日...
茶點故事閱讀 37,945評論 3贊 336
?白月光啟示錄
正文我和宋清朗相戀三年薄啥，在試婚紗的時候發(fā)現(xiàn)自己被綠了。大學時的朋友給我發(fā)了我未婚夫和他白月光在一起吃飯的照片逛尚。...
茶點故事閱讀 40,096評論 1贊 350
活死人
序言：一個原本活蹦亂跳的男人離奇死亡垄惧，死狀恐怖，靈堂內(nèi)的尸體忽然破棺而出绰寞，到底是詐尸還是另有隱情到逊，我是刑警寧澤铣口，帶...
沈念sama閱讀 35,789評論 5贊 346
?日本核電站爆炸內(nèi)幕
正文年R本政府宣布，位于F島的核電站觉壶，受9級特大地震影響脑题，放射性物質(zhì)發(fā)生泄漏。R本人自食惡果不足惜铜靶，卻給世界環(huán)境...
茶點故事閱讀 41,437評論 3贊 331
男人毒藥：我在死后第九天來索命
文/蒙蒙一叔遂、第九天我趴在偏房一處隱蔽的房頂上張望。院中可真熱鬧旷坦，春花似錦掏熬、人聲如沸佑稠。這莊子的主人今日做“春日...
開封第一講書人閱讀 31,993評論 0贊 22
一樁弒父案，背后竟有這般陰謀
文/蒼蘭香墨我抬頭看了看天上的太陽舌胶。三九已至捆蜀，卻和暖如春，著一層夾襖步出監(jiān)牢的瞬間幔嫂，已是汗流浹背辆它。一陣腳步聲響...
開封第一講書人閱讀 33,107評論 1贊 271
情欲美人皮
我被黑心中介騙來泰國打工，沒想到剛下飛機就差點兒被人妖公主榨干…… 1. 我叫王不留履恩，地道東北人锰茉。一個月前我還...
沈念sama閱讀 48,308評論 3贊 372
代替公主和親
正文我出身青樓，卻偏偏與公主長得像切心，于是被迫代替她去往敵國和親飒筑。傳聞我的和親對象是個殘疾皇子，可洞房花燭夜當晚...
茶點故事閱讀 45,037評論 2贊 355

1.3 向量方程（線性代數(shù)及其應(yīng)用-第5版-系列筆記）

內(nèi)容概述

中的向量

的幾何表示

中的向量

中的向量

線性組合

張成的向量集合

與的幾何解釋

在實際應(yīng)用中向量和向量組合的意義

推薦閱讀更多精彩內(nèi)容

$\mathbb{R}^2$ 中的向量

$\mathbb{R}^2$ 的幾何表示

$\mathbb{R}^3$ 中的向量

$\mathbb{R}^n$ 中的向量

$Span\{\boldsymbol v\}$ 與 $Span\{\boldsymbol u, \boldsymbol v\}$ 的幾何解釋