定位算法研究記錄-第一階段

基本介紹

背景

在核設(shè)施退役過程中，放射源定位是一個重要的技術(shù)手段脐雪。

本研究關(guān)注放射源定位的數(shù)學(xué)算法付翁。由于數(shù)學(xué)算法與放射性測量設(shè)備相關(guān)尖阔，本研究中贮缅，重點(diǎn)關(guān)注以下幾個方向，首先是關(guān)注射線探測器介却，這意味著放射源的定位通過觀測射線來達(dá)成谴供，射線探測器是觀測系統(tǒng)的核心部件之一。其次是無準(zhǔn)直的射線探測器齿坷，也就是可以同時測量來自各個方向的射線桂肌，或者稱為能在空間上進(jìn)行立體角探測的測量系統(tǒng)，也可以稱為無視角場(Field of View, FOV)永淌，對應(yīng)的是有視角場的探測器崎场，這類探測器的特點(diǎn)是能對前方一定視角的區(qū)域成像。再次是未知數(shù)量放射源遂蛀，意思是待定位放射源的數(shù)量不能在觀測開始之前確定谭跨，被觀測的環(huán)境中可能出現(xiàn)任何數(shù)量的放射源，如單一放射源(Orphan Source)或者多個放射源，相比于確定數(shù)量放射源的情況螃宙，這種未知數(shù)量放射源的情況往往需要更加復(fù)雜的算法支持.

定位的目標(biāo)介紹

放射源坐標(biāo)是定位的最本質(zhì)的目標(biāo)蛮瞄，但由于不同活度、半衰期谆扎、多放射源挂捅、放射源移動、地圖材料不確定等條件的引入堂湖，每一個條件都會影響探測器的觀測籍凝，致使定位問題復(fù)雜化。因此苗缩，為了能夠獲得放射源的坐標(biāo)，需要加入對活度声诸、半衰期酱讶、放射源數(shù)量、放射源移動速度等的考慮彼乌。

數(shù)學(xué)上就是指建立有關(guān)上述所有因素的模型泻肯，在概率學(xué)派和貝葉斯學(xué)派中，就是指建立一個概率模型慰照，并且是一個將上述所有因素作為函數(shù)的概率模型灶挟。由于探測器對光子的觀測符合泊松分布，概率模型通常使用泊松分布建立毒租，這個泊松分布所對應(yīng)的概率通常被用來構(gòu)建與放射源數(shù)量的關(guān)系稚铣。同時，光子在材料中發(fā)生的康普頓散射墅垮、光電效應(yīng)惕医、電子對效應(yīng)等相互作用，綜合起來符合指數(shù)衰減規(guī)律算色，宏觀上抬伺，光子數(shù)量與放射源到探測器的距離呈平方反比關(guān)系(inverse proportional to the square distance from a srouce to a detector)。而這里的距離就被用來構(gòu)建與放射源活度灾梦、放射源坐標(biāo)峡钓、移動速度、地圖材料等因素的關(guān)系若河。

值得一提的是能岩，針對放射源移動的研究較少，在少量研究文獻(xiàn)中萧福，Morelande(2009)針對多放射源的移動情況捧灰，使用貝葉斯估計構(gòu)造了概率模型，并配合蒙特卡洛方法進(jìn)行求解。

定位的數(shù)學(xué)模型介紹

文獻(xiàn)資料中報道的定位算法有三邊定位(Trilateration)毛俏、極大似然估計方法炭庙、貝葉斯估計方法等。

三邊定位

三邊定位(Trilateration)法是一種幾何方法煌寇，依靠每一個探測器建立一個測量圓焕蹄，綜合考慮所有測量圓的交叉情況，估計出最合適的放射源坐標(biāo)阀溶。Liu(2010)對這個方法進(jìn)行過介紹腻脏，而且這篇論文是針對定位方法的一片綜述性文章，有參考價值银锻。

接下來介紹的方法永品，其基本原理是將放射源定位的目標(biāo)，如數(shù)量击纬、坐標(biāo)鼎姐、強(qiáng)度等，視作參數(shù)更振，配合統(tǒng)計學(xué)領(lǐng)域的參數(shù)估計方法進(jìn)行求解炕桨。典型的方法包括極大似然估計、貝葉斯估計肯腕。參數(shù)估計視數(shù)量献宫、坐標(biāo)、強(qiáng)度等信息為三個參數(shù)实撒，它們具有等同的重要性姊途。

頻率學(xué)派-極大似然估計

極大似然估計(Maximum Likelihood Estimation, MLE)是一種統(tǒng)計學(xué)思想，Morelande(2007)知态、Liu(2016)等對放射源定位問題使用了MLE方法進(jìn)行研究吭净。其中，Morelande(2007)提出使用克拉美-羅界限(Cramer-Rao bound, CRB)來評價估計方法的性能肴甸。

極大似然估計(Maximum Likelihood Estimation, MLE)中寂殉，最大期望法(Maximum Liklihood Expectation Maximumzation, MLEM)對多放射源同時定位有很好的效果，尤其是以放射源數(shù)量未知為前提的定位研究中原在，MLEM算法十分有效友扰。歷史上，MLEM方法首先被應(yīng)用在計算機(jī)斷層掃描(CT)中庶柿，作為呈像算法使用村怪。

貝葉斯學(xué)派-貝葉斯估計

貝葉斯估計考慮了方案(假設(shè))的分布，這個分布是在問題開始之前就獲得的浮庐，也就是術(shù)語"先驗(yàn)分布"(Priori)甚负。由于Lindley's paradox的存在柬焕，貝葉斯估計經(jīng)常被頻率學(xué)派攻擊。

貝葉斯估計是一類方法梭域，它們以貝葉斯估計為基礎(chǔ)斑举，通過引入分類算法、PCA等等方法來提升估計效果病涨。貝葉斯估計的特點(diǎn)是提供并不斷更新放射源的概率分布地圖富玷。Howse(2001)是比較早期的使用MLE方法的文獻(xiàn)記錄；Tandon(2015, 2016)在貝葉斯估計的基礎(chǔ)上引入了大量算法既穆，提出了所謂Bayesian Aggregation(BA赎懦，貝葉斯聚合)的方法，但是Tandon的定位算法可能非常粗糙幻工，需要具體閱讀其博士論文励两。

馬爾可夫鏈蒙特卡羅方法(Markov Chain Monte Carlo, MCMC)，馬爾可夫鏈蒙特卡羅方法)被用來解決貝葉斯估計所構(gòu)造的數(shù)學(xué)問題囊颅，Morelande(2007)当悔、Bukartas(2019)、Hite(2019a)迁酸、Hite(2019b)、王明生(2019)等以這個方法配合貝葉斯估計俭正，達(dá)成放射源定位的目標(biāo)奸鬓。

粒子濾波(Particle Filter)方法，是以貝葉斯估計為基礎(chǔ)的另一種求解方法掸读。Rao(2015)使用粒子濾波進(jìn)行了放射源定位的研究串远。

定位的數(shù)學(xué)求解介紹

定位的數(shù)學(xué)模型構(gòu)造了數(shù)學(xué)問題，針對這些問題的求解方法有許多可供選擇儿惫，可以分為數(shù)值方法和統(tǒng)計方法兩類澡罚。

數(shù)值方法可以分為全局優(yōu)化方法和局部優(yōu)化方法。

全局優(yōu)化方法在Stefanescu(2017)的4.1節(jié)中列舉了肾请，包括模擬退火(Simulating Annealing, SA)算法留搔，粒子群(Particle swarm)算法，遺傳算法(Genetic algorithm)铛铁。

局部優(yōu)化方法主要指Implicit Filtering隔显。

數(shù)值方法-最小二乘估計

最小二乘估計法，依靠測量數(shù)據(jù)與放射源坐標(biāo)饵逐、強(qiáng)度的指數(shù)衰減關(guān)系括眠，構(gòu)造矩陣。矩陣方程型如倍权，其中掷豺，A是衰減系數(shù)矩陣，每一個矩陣元素代表光子從對應(yīng)位置的放射源發(fā)射，直至被對應(yīng)位置的探測器接收当船，這一個路程中所發(fā)生衰減的比例题画，主要由光子在材料中的指數(shù)衰減過程貢獻(xiàn)；B是測量樣本矩陣生年，列向量婴程，為已知數(shù)據(jù)；X是每一個坐標(biāo)像素中的放射源強(qiáng)度抱婉，為未知數(shù)據(jù)档叔，是帶求解量。X可以通過最小二乘估計進(jìn)行求解蒸绩。

更加側(cè)重數(shù)學(xué)意義的表現(xiàn)衙四，估計不能這么解。

局部優(yōu)化方法-Implicit Filtering 非線性優(yōu)化

非線性優(yōu)化方法是一種最優(yōu)解尋找的算法患亿，是一種通用方法传蹈。我計劃將放射源定位問題進(jìn)行抽象，并構(gòu)造為一個優(yōu)化問題步藕，將放射源的位置惦界、強(qiáng)度等抽象為帶求解量，找到若干合適的評價標(biāo)準(zhǔn)構(gòu)造代價函數(shù)咙冗，并使用非線性優(yōu)化方法進(jìn)行求解沾歪。非線性優(yōu)化方法的分支很多，一階梯度下降法是最基本的方法雾消，二階梯度下降方法提升了計算精度灾搏，牛頓-高斯法、Levenberg-Marquardt法更加適合實(shí)際應(yīng)用立润。

缺點(diǎn)是可能得到局部最優(yōu)解狂窑。

全局優(yōu)化方法-蒙特卡羅方法

蒙特卡羅(Monte Carlo, MC)方法，基本靠猜桑腮，只要計算時間夠泉哈，總能碰到最優(yōu)解。

全局優(yōu)化方法-模擬退火

數(shù)值方法可能被局部最優(yōu)解干擾破讨，導(dǎo)致估計結(jié)果并非全局最優(yōu)解。模擬退火方法是一個可以找到全局最優(yōu)解的數(shù)值方法，稱為全局優(yōu)化方法又固，Global Optimization Technique。

Stefanescu(2017)以局部退火方法確定了包含全局最優(yōu)解的粗略范圍洋只，再配合其他方法進(jìn)行精確求解昼捍。具體而言，Stefanescu(2017)使用的是一種適應(yīng)性的模擬退火方法(An Adaptive SA Algorithm)。

定位問題解的評價

放射源的定位研究可以分為兩個部分，第一部分是放射源分布方案的獲取，第二部分是方案的評價怀挠。前導(dǎo)研究重點(diǎn)介紹方案的評價方法。

統(tǒng)計學(xué)上盾沫，方案就是似然函數(shù)，或者說以似然函數(shù)來描述方案莲蜘，在進(jìn)行極大似然估計和貝葉斯估計時，都默認(rèn)似然函數(shù)已經(jīng)獲得杜窄。由此纱注，將似然函數(shù)的數(shù)學(xué)構(gòu)造從統(tǒng)計學(xué)方法中提取出來蝎毡，成為定位研究的前導(dǎo)之一。

探測器響應(yīng)模型

放射源定位的研究目標(biāo)中氧枣，放射源的數(shù)量沐兵、位置和強(qiáng)度是提及頻率最高的，為了不失一般性便监，本研究同樣以這三個變量定位研究目標(biāo)扎谎。

射線從放射源發(fā)出，到被探測器接收并被響應(yīng)烧董，這個過程可以分為三部分毁靶，并統(tǒng)一使用統(tǒng)計學(xué)知識進(jìn)行描述。第一部分是射線在飛行過程中的衰減過程逊移，第二部分是進(jìn)入探測器的有效探測面预吆，第三部分是被探測器響應(yīng)。

第一部分與介于放射源和探測器之間的介質(zhì)有關(guān)胳泉，使用指數(shù)衰減模型進(jìn)行描述拐叉。

設(shè)定觅够，探測器總數(shù)為，探測器的編號以為標(biāo)志巷嚣，坐標(biāo)使用三元向量描述喘先，第i個探測器的坐標(biāo)為。

設(shè)定廷粒，放射源的總數(shù)為窘拯，放射源的編號以為標(biāo)志，第i個放射源的坐標(biāo)為坝茎、放射性強(qiáng)度為涤姊。

設(shè)定，射線在材料中的衰減過程為指數(shù)衰減嗤放，衰減系數(shù)為思喊，總宏觀界面(the total macroscopic cross sections of material)為，表示某一指定位置次酌，這樣設(shè)置是考慮到在放射源與探測器之間恨课，存在各種介質(zhì)，比如空氣岳服、混凝土墻壁剂公、樹木、土壤等等吊宋，不同介質(zhì)對射線的衰減效應(yīng)不同纲辽。表示向量的距離，也就是的二范數(shù)璃搜。

第二部分與探測器有效探測面積有關(guān)拖吼。默認(rèn)放射源發(fā)射粒子的方向是各向同性，在三維空間中这吻，也就是方向發(fā)射吊档。探測器與放射源距離為，探測器的有效探測面積為橘原，設(shè)定探測器的有效探測面的法線平行于探測器與放射源的連線籍铁，則所有釋放出來的光子中涡上，可以進(jìn)入探測器有效探測面的數(shù)量表示如下趾断。

第三部分與探測器的固有探測效率有關(guān)。并不是所有進(jìn)入探測器的光子都能被探測器探測吩愧，對于一個能量的光子芋酌，探測器能夠探測到的光子數(shù)量比例是一個固定值，稱為固有探測效率雁佳，以表示脐帝。被第i個探測器測量到的光子數(shù)量表示如下同云。

綜合上面三個部分忌警，從第i個放射源釋放的光子初坠，能夠被第i個探測器測量到的數(shù)量表示如下。

泊松分布和光子的觀測概率模型

本研究中吁讨，一個探測器對一個放射源的觀測過程疚顷，是這個探測器對若干光子的響應(yīng)過程旱易。每一個光子被探測器響應(yīng)遵循二項(xiàng)分布，對于大量光子入射探測器的情況腿堤，探測器對某一數(shù)量的光子產(chǎn)生響應(yīng)的概率過程遵循泊松分布阀坏，以表示。本節(jié)以單放射源單探測器觀測的情況為例笆檀，對概率模型的建立進(jìn)行介紹忌堂。

設(shè)定只有一個探測器和一個放射源存在，探測器選用第Di個酗洒，放射源選用第Si個士修。來自第Di個放射源，并且被第Si個探測器響應(yīng)的光子數(shù)量為樱衷，那么真實(shí)情況下李命，這個探測器的響應(yīng)數(shù)量不一定正好是，而是一個以為期望的泊松分布箫老。

仍然遵守本節(jié)內(nèi)前文的設(shè)定封字，若第Di個探測器對第Si個放射源的響應(yīng)數(shù)量，也就是觀測到的光子數(shù)量為耍鬓，而理論上應(yīng)該觀測到的數(shù)量為阔籽，這種事件的發(fā)生概率可以使用泊松分布進(jìn)行計算。

單放射源多探測器觀測的概率模型

若環(huán)境中仍然只有一個放射源牲蜀，但將探測器的數(shù)量增加笆制，并且分布于環(huán)境中的不同位置。假設(shè)經(jīng)過一次觀測涣达，則每一臺探測器都有一個屬于自己的觀測數(shù)值在辆，也就是對光子的響應(yīng)次數(shù)。設(shè)定度苔，放射源編號Si匆篓；探測器編號從D0開始，至DN寇窑；編號為Di的探測器鸦概，所觀測到的響應(yīng)次數(shù)為，理論上這臺探測器的響應(yīng)次數(shù)為甩骏。對于這種設(shè)定下的觀測結(jié)果窗市，可以將每一個探測器的觀測事件發(fā)生概率進(jìn)行累積先慷，并且以乘法的方式累積，用以表示本次觀測的總概率咨察，其計算方法如下论熙。

多放射源多探測器觀測的概率模型

若環(huán)境中有多個放射源，使用多個探測器進(jìn)行觀測摄狱，概率模型將變得更加復(fù)雜一點(diǎn)赴肚。設(shè)定，放射源編號從S0開始二蓝，至SN誉券；第Si個放射源的坐標(biāo)為、強(qiáng)度為刊愚；探測器編號從D0開始踊跟，至DN；編號為Di的探測器鸥诽，所觀測到的響應(yīng)次數(shù)為商玫，理論上這臺探測器的響應(yīng)次數(shù)為。

通過對照可以發(fā)現(xiàn)牡借，這里的探測器響應(yīng)次數(shù)并不是針對某一個放射源的拳昌，而是對所有放射源的累積結(jié)果，這是因?yàn)樘綔y器并不能區(qū)分當(dāng)前觀測到的光子是來自于哪一個放射源钠龙。其實(shí)炬藤，在一定程度上可以區(qū)分，比如采用具有能量分辨能力的探測器碴里，如閃爍體型探測器沈矿、半導(dǎo)體型探測器，這屬于本研究的一個細(xì)分領(lǐng)域咬腋，且不與本研究沖突羹膳，暫不討論。

假設(shè)在一次觀測之后根竿，分析得到了一種放射源分布和探測器觀測的方案陵像，編號為Plani。這種方案包含了兩個領(lǐng)域的內(nèi)容寇壳，一個是放射源領(lǐng)域醒颖，具體包括方案內(nèi)每一個放射源的坐標(biāo)和強(qiáng)度；另一個是探測器領(lǐng)域九巡，具體包括一個探測器的響應(yīng)次數(shù)分別對應(yīng)到每一個放射源上的貢獻(xiàn)值图贸，也就是每一個放射源在該探測器上的響應(yīng)次數(shù)蹂季。例如冕广，對編號為Di的探測器而言疏日，其觀測值是，其中來自編號為Si放射源的響應(yīng)次數(shù)為撒汉。

那么沟优，編號為Plani的方案發(fā)生的概率表示為。

似然函數(shù)

似然函數(shù)是概率統(tǒng)計下貝葉斯估計中的一個名詞睬辐，結(jié)合本文的研究背景挠阁，似然函數(shù)是以探測器的所有觀測結(jié)果為條件，第i個備選方案為結(jié)果的概率函數(shù)溯饵，以或者表示侵俗，其中的表示所有放射源坐標(biāo)的集合，同理丰刊，表示所有放射源強(qiáng)度的集合隘谣。

所謂"放射源坐標(biāo)的集合"，實(shí)際上就是每一個放射源的坐標(biāo)的集合啄巧，每一個放射源指當(dāng)前方案Plani內(nèi)包括的所有放射源寻歧。數(shù)學(xué)上，可以將一個放射源的坐標(biāo)視作一個矩陣秩仆，將所有坐標(biāo)縱向排列码泛，形成一個矩陣。

設(shè)定澄耍，放射源的備選方案包括放射源總數(shù)量噪珊，每一個放射源的位置和強(qiáng)度。

參考上文可以發(fā)現(xiàn)齐莲，這里的似然函數(shù)就是編號為Plani的方案的發(fā)生概率卿城，。

在一個放射源定位問題的研究中铅搓，會出現(xiàn)若干備選方案瑟押。這里為每一個方案設(shè)定編號，從Plan0開始星掰，至Plan(N-1)多望。最優(yōu)解存在于這些方案之中。根據(jù)本節(jié)開頭的描述氢烘，每一個方都對應(yīng)一個似然函數(shù)怀偷，第i個方案的似然函數(shù)表示如下。

方案的評價

方案播玖，在本研究背景下指放射源的分布方案椎工。每一種方案的優(yōu)劣，可以理解為一種適配程度，是針對探測器的觀測結(jié)果的维蒙，因此方案的優(yōu)劣可以表述成當(dāng)前這種方案對觀測結(jié)果的適配程度掰吕。所謂適配程度，可以理解為某一種分布下的概率值颅痊，這個分布由當(dāng)前方案構(gòu)造出殖熟，形式不唯一，由研究者設(shè)計和選擇斑响，頻率學(xué)派的似然函數(shù)和貝葉斯學(xué)派的后驗(yàn)概率都可以作為這里的分布使用菱属。以頻率學(xué)派的似然函數(shù)為例，對單放射源單探測器情況而言舰罚，其分布就是它們所構(gòu)造出的泊松分布纽门，而對多放射源多探測器情況而言，也就是各個探測器所對應(yīng)的泊松分布之積营罢。

定位問題細(xì)化

前文中所說的方案膜毁，就是本研究的目標(biāo)，眾多方案中的最優(yōu)方案就是定位問題的解愤钾。但是瘟滨，在前導(dǎo)研究中，只說明了在已獲得方案的基礎(chǔ)上能颁，如何評價每一個方案杂瘸，并未說明方案的獲得方法。這是因?yàn)楸狙芯繉⒍ㄎ粏栴}劃分為方案的獲取和方案的評價伙菊，前導(dǎo)研究中主要針對第二個部分進(jìn)行介紹败玉，而第一部分，也就是方案的獲取镜硕，將在后文介紹运翼。

定位問題的構(gòu)造和求解

極大似然估計(MLE)

數(shù)學(xué)問題的構(gòu)造

極大似然估計通過將似然(Likelihood)函數(shù)最大化的方法，尋找最合適的解兴枯。在放射源定位中血淌，似然函數(shù)簡單說就是探測器接收到放射源的概率。但是财剖，極大似然估計只是在構(gòu)造數(shù)學(xué)問題悠夯，并不提供求解方法。因此躺坟，還需要配合數(shù)學(xué)求解方法沦补，才能進(jìn)行極大似然估計。求解的方法有很多咪橙，MLEM方法是其中研究比較多的夕膀，但為了簡明表達(dá)虚倒，先從極大似然的定義本身出發(fā)，介紹一種最本質(zhì)的求解方法产舞。

數(shù)學(xué)問題的求解-原理性求解

MLE最本質(zhì)的求解方法魂奥，可以從離散和連續(xù)兩種角度出發(fā)，其中離散的角度最簡單庞瘸，因此這里從離散角度考慮MLE問題捧弃。由于坐標(biāo)和活度是一個放射源的基本信息赠叼，而環(huán)境中放射源數(shù)量未知擦囊，我們可以不失一般性地設(shè)定放射源定位問題的目標(biāo)是確定放射源的數(shù)量、坐標(biāo)和活度∽彀欤現(xiàn)在假設(shè)已經(jīng)有若干種備選方案誕生瞬场，并且其中一種方案就是真實(shí)情況。那么由于備選方案有多種涧郊，每一種方案都有一個似然函數(shù)贯被，通過比較所有這些似然函數(shù)的值，也就是概率妆艘，找到最大概率彤灶，再找到對應(yīng)這個最大概率的方案，就認(rèn)為這個方案是最合適的解批旺。

從貝葉斯的角度(Beyasian perspective)來看幌陕，極大似然估計就是一個先驗(yàn)為均勻分布的貝葉斯估計。

數(shù)學(xué)問題的求解-最大期望法MLEM

最大期望法汽煮，簡稱MLEM方法搏熄，以極大似然估計方法構(gòu)造的數(shù)學(xué)問題為基礎(chǔ)，通過一種迭代的方法進(jìn)行求解暇赤，這種迭代方法被稱為最大期望(EM)法心例。

貝葉斯估計

數(shù)學(xué)問題的求解-馬爾可夫鏈蒙特卡洛方法(MCMC)

通過使用貝葉斯公式來構(gòu)造有關(guān)放射源的概率方程。王明生(2019)以放射源數(shù)量已知為前提鞋囊，一定程度地簡化了數(shù)學(xué)問題止后。

放射源定位范例-單放射源極大似然估計

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