曲線運動的加速度 by田湖雁

第三講：自然坐標系下曲線運動的加速度

—— 以圓周運動為例

數(shù)學符號

$\vec{e}_n$ , $\vec{e}_{t}$ , $\frac{x}{y}$ , $\sqrt{x}$

對應的代碼為
$\vec{e}_n$, $\vec{e}_{t}$, $\frac{x}{y}$, $\sqrt{x}$

知識點

曲線運動的加速度 $\vec{a}?$
- 自然坐標系， $\vec{e}_n$ ， $\vec{e}_{t}$
- 勻速圓周運動的加速度置吓，向心加速度 $a_n=\frac{v^2}{R}$
  - 寫成矢量式 $\vec{a}_n=\frac{\vec{v^2}}{R}$
- 直線運動的加速度拄养，切向加速度 $a_t=\frac{dv}{dt}?$
  - 寫成矢量式 $\vec{a}_t=\frac{d \vec{v}}{dt}??$
- 變速圓周運動的加速度
  - $\vec{a}=?\vec{a}_n+\vec{a}_t$
- 一般曲線運動的加速度
  - 曲率半徑的直觀感受
  - 計算曲率半徑

例題

例1.

曲線運動中，加速度經(jīng)常按切向 $\vec{e}_{t}$ 和法向 $\vec{e}_{n}$ 進行分解：

$\vec{a}=\vec{a}_{t}+\vec{a}_{n}?$$=\frac{dv}{dt}\vec{e}_{t}+\frac{v^{2}}{R}\vec{e}_{n}?$

借助熟悉的例子來構建其直觀物理圖像仿便，有助于理解并記憶這些復雜的公式悯仙。
- 在彎曲的軌道上勻速率行駛的火車囱修，
  (1) $\vec{a}_{t}\neq0$ 捞烟，
  (2) $\vec{a}_{t}=0$ 薄声，
- 在直線上加速跑向食堂的小伙伴，
  (3) $\vec{a}_{t}\neq0$ 题画，
  (4) $\vec{a}_{t}=0$ 默辨，
- 變速圓周運動的質點，
  (5) $\vec{a}_{t}\neq0$ 苍息， $\vec{a}_{n}=0$ 廓奕。
  (6) $\vec{a}_{t}\neq0$ ， $a_{n}=\frac{v^{2}}{R}$ (不就是高中學過的向心加速度嘛)
  
  上述判斷正確的為

解答：(2)(3)(6)

例2.

一個質點在做圓周運動時,則
- 切向加速度一定改變, 法向加速度也改變
- 切向加速度可能不變, 法向加速度一定改變
- 切向加速度可能不變, 法向加速度不變
- 切向加速度一定改變, 法向加速度不變

解答： - 切向加速度可能不變, 法向加速度一定改變

例3.

物體作斜拋運動档叔，初速度大小為 $v_{0}$ ，且速度方向與水平前方夾角為 $\theta$ 蒸绩，則物體軌道最高點處的曲率半徑為( )衙四。

解答：物體的運動軌跡為一拋物線
水平方向上 $x=v_0cos\theta t$
豎直方向 $y=v_0sin\theta t -1/2gt^2$
最高點的曲率 $k=g/(v_0^2cos\theta^2)$
最高點的曲率半徑 $ρ=v_0^2cos\theta^2/g.$

例4.

質點在 $Oxy$ 平面內運動，其運動方程為 $\vec{r}=t\ \vec{i}+\frac{1}{2}t^{2}\ \vec{j}$ ．則在 $t=1$ 時切向和法向加速度分別為( )

解答： $\vec{v}=\frac{d \vec{r}}{dt}??=\vec{i}++\frac{1}{2}t\vec{j}$
$v=\sqrt{1+t^2}$
$a=1$
$a_t=\frac{dv}{dt}=\frac{\sqrt{2}}{2}$
$a_n=\frac{\sqrt{2}}{2}$

作業(yè)

質點在Oxy 平面內運動,其運動方程為 $\vec{r}=3t\ \vec{i}+(1-t^{2})\ \vec{j}$ ．則在 $t_{1}=1$ 到 $t_{2}=5$ 時間內的平均速度為

解答： $\vec v_平=Δr/Δt=(r_2-r_1)/(t_2-t_1)$ = $(12\ \vec{i}-24 \vec{j})(5-1)$
$v_平=2\sqrt{12^2+(-24^2)}=24\sqrt{5}$

設質點的運動學方程為 $\vec{r}=R\cos\omega t\ \vec{i}+R\sin\omega t\ \vec{j}$ (式中 $R$ 患亿、 $\omega$ 皆為常量) 則質點的速度和速率分別為

解答： $\vec v=\frac{d\vec r}{dt}=Rw\cos\omega t\ \vec{i}+Rw\sin\omega t\ \vec{j}$
$v=Rw$

運動學的一個核心問題是已知運動方程传蹈，求速度和加速度。質點的運動方程為
$\begin{cases} x=-10t+30t^{2} & ,\\ y=15t-20t^{2} & , \end{cases}$
則 $t$ 時刻的速度與速率

解答： $\vec v_x=-10+60t$
$\vec v_y=15-40t$
$\vec v=(-10+60t)\vec i+(15-40t)\vec j$
$v=\sqrt{(-10+60t)^2+(15-40t)^2}$

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