[初中數(shù)學(xué)】超難題001 一道幾何選擇壓軸題

題目

作者介紹：
大爽老師界轩，以前做過高中數(shù)學(xué)線上一對(duì)一輔導(dǎo)老師
現(xiàn)在賦閑在家跋破，與大家分享一些初高中數(shù)學(xué)的知識(shí)挂签，方法與思路。

q1_1.png

\begin{align} & 如圖，\angle DAC 與 \angle ACE 的角平分線相交于點(diǎn)P, 且 PC = AB + AC , \\ & 若 \angle PAD = 60 ^\circ, 則 \angle B 的度數(shù)是 (\qquad) \\ & A. 100 ^\circ \qquad B. 105 ^\circ \qquad C. 110 ^\circ \qquad D. 120 ^\circ \end{align}

間隔文本（內(nèi)容無意義珍策，只是防止學(xué)生直接看到解答思路干擾自己思路）
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解答

思路
\begin{align} &在AD上找一點(diǎn)F,使AF=AC, 連接PF, 則有 \\ & PC = AB + AC = AB + AF = BF \\ &\quad \left\{ \begin{array}{ll} PA = PA &\\ \angle PAC = \angle PAF & \quad \Rightarrow \quad \triangle PAC \cong \triangle PAF\\ AC = AF &\\ \end{array} \right. \\ & \therefore PC = PF = BF \\ & \therefore \angle PAC = \angle PAF = 60 ^\circ, \angle BAC = 60 ^\circ \\ & 連接PB, \\ & \because PA, PC分別是\angle BAC 和 \ ACB 的外角平分線, \\ & \therefore PB 平分 \angle ABC \quad (三角形的角平分線交于一點(diǎn)毅人，詳細(xì)證明見補(bǔ)充一) \\ & \angle PBC = \angle PBF = \angle BPF \\ & \therefore BC \parallel PF \\ & \therefore \angle ABC + \angle AFP = 180 ^\circ \tag{1} \\ & \angle AFP = \angle ACP = \frac{1}{2} \angle ACE = \frac{1}{2} (\angle BAC + \angle ABC) = \frac{1}{2} (60 ^\circ + \angle ABC) \tag{2} \\ & 由(1)(2)解得, \angle ABC = 100 ^\circ \\ \end{align}

q1_2.png

答案：

A

補(bǔ)充一

三角形三個(gè)內(nèi)角平分線交于一點(diǎn)吭狡，這一點(diǎn)叫做內(nèi)心。

交于一點(diǎn)證明思路:
兩個(gè)角平分線的交點(diǎn)丈莺，和另一頂點(diǎn)的連線平分另一個(gè)角划煮。

q1_3.png

\begin{align} & 如圖，BP, CP 分別是 \triangle ABC中 \angle B 缔俄、 \angle C 的角平分線弛秋。 \\ & 連接AP, 則AP 平分 \angle A \\ 證明如下： & \\ & 作 PD \bot AB 于 D, PE \bot BC 于 E, PF \bot AC 于 F \\ & 易證 \triangle PBD \cong \triangle PBE, \triangle PCE \cong \triangle PCF \\ & \therefore PD = PE = PF \\ & 易證 \triangle PAD \cong \triangle PAF \\ & \angle PAD = \angle PAF, \quad 即PA平分 \angle BAC \\ \end{align}

同理可證，三角形兩個(gè)角的外角平分線俐载，和另一個(gè)角的內(nèi)角平分線交于一點(diǎn)蟹略。

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