1.條件期望
1.1期望
![]()
image
對(duì)比平均值和期望
平時(shí)常見(jiàn)的多是平均數(shù)的概念趟妥，平均數(shù)和期望兩者既有聯(lián)系也有區(qū)別棍弄，也容易弄混檬嘀。
平均數(shù)是統(tǒng)計(jì)學(xué)概念脊阴，主體是特征樣本片习。
期望是概率論概念，主體是隨機(jī)變量蹬叭。 平均數(shù)和期望可以通過(guò)大數(shù)定理聯(lián)系起來(lái)：
用擲單個(gè)骰子的過(guò)程來(lái)展示大數(shù)定律，同時(shí)說(shuō)明平均數(shù)（均值）和期望状知。隨著投擲次數(shù)的增加秽五，所有結(jié)果的均值趨于3.5（骰子點(diǎn)數(shù)的期望值）。不同時(shí)候做的這個(gè)實(shí)驗(yàn)會(huì)在投擲次數(shù)較小的時(shí)候（左部）會(huì)表現(xiàn)出不同的形狀饥悴，當(dāng)次數(shù)變得很大（右部）的時(shí)候坦喘，它們將會(huì)非常相似。
簡(jiǎn)而言之：
概率是頻率隨樣本數(shù)趨于無(wú)窮的極限
期望是均值（平均數(shù)）隨樣本數(shù)趨于無(wú)窮的極限
1.2條件期望
![]()
image
EX是對(duì)所有ω∈Ω西设，X(ω)取值全體的加權(quán)平均 E(X|Y=y)是局限在ω∈{ω:Y(ω)=y}時(shí)瓣铣，X(ω)取值局部的加權(quán)平均 對(duì)于局部理解：按照Y的不同取值，整個(gè)樣本空間Ω被劃分為n個(gè)互不相容的事件（Ω=∑B(j)）贷揽。因此E(X|Y=y)是在某一個(gè){B(j)棠笑，j∈N}上X(ω)的局部加權(quán)平均。 引用：左超-條件數(shù)學(xué)期望
對(duì)比EX禽绪、E(X|Y)蓖救、E(X|Y=y)
EX是一個(gè)數(shù)值
E(X|Y)是一個(gè)關(guān)于Y的函數(shù)，沒(méi)有固定的y值印屁，是一個(gè)隨機(jī)變量
E(X|Y=y)隨著y的取值不同而不同, 但是只要y確定, 一定是個(gè)定值 Before we observe Y,we don't know the value of E(X|Y=y) so it is a random varible which we denote E(X|Y).因此(X|Y)是隨機(jī)變量Y的函數(shù)循捺，事實(shí)上，它只是局部平均{E(X|Y=y(j)),j∈N}的統(tǒng)一表達(dá)式雄人。
引入E(X|Y)
顯然E(X|Y=y(1)),E(X|Y=y(2)),....从橘，依賴于Y=y(j),即依賴于全局樣本空間的劃分。這樣础钠，從樣本空間Ω及對(duì)ω∈Ω可以變化的觀點(diǎn)看恰力，有必要引進(jìn)一個(gè)新的隨機(jī)變量，記為E(X|Y)旗吁。對(duì)于這個(gè)隨機(jī)變量E(X|Y)牺勾，當(dāng)Y=y時(shí)它的取值為E(X|Y=y)，稱隨機(jī)變量E(X|Y)為隨機(jī)變量X關(guān)于隨機(jī)變量Y的條件數(shù)學(xué)期望阵漏。 引用：左超-條件數(shù)學(xué)期望
1.3迭代期望定律 該定律研究的是E(E(X|Y))是什么
![]()
image
推導(dǎo)過(guò)程
- 連續(xù)隨機(jī)變量
證明中的 E(Y|x) 即 E(Y|X=x)驻民，即連續(xù)型期望公式中的 "x" 當(dāng)給定條件X時(shí)翻具， 條件期望 E(Y|X) 是一個(gè)隨機(jī)變量，有自己的分布 當(dāng)給定條件X=x時(shí)回还， 條件概率 E(Y|X=x) 是一個(gè)函數(shù)裆泳，可以記為h(x)，像普通函數(shù)那樣進(jìn)行計(jì)算即可 兩者聯(lián)系即X會(huì)有一定的概率取值為x柠硕，此時(shí)E(Y|X=x) =h(x)工禾，按照 h 的運(yùn)算法則即可 （一個(gè)隨機(jī)變量的期望取決于分布，不同的隨機(jī)變量有同樣的分布的時(shí)候蝗柔，期望是一樣的闻葵，進(jìn)一步說(shuō)每個(gè)分布對(duì)應(yīng)唯一的期望）
引用：譚升-條件期望
- 離散隨機(jī)變量
引用：《計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)及Stata應(yīng)用》 陳強(qiáng)
-
Stata驗(yàn)證 image
grilic.dta下載地址 如上所示，無(wú)條件期望等于條件期望的加權(quán)平均癣丧，權(quán)重為條件“X=x”的概率
1.4條件期望的性質(zhì)
![]()
image
注：對(duì)于性質(zhì)2槽畔，Y在條件里，因此g(Y)就失去隨機(jī)性胁编，故期望可以去掉 引用：siwingyang-條件期望與條件方差
2.條件方差 ##2.1方差
![]()
image
2.2條件方差
![]()
image
引用：siwingyang-條件期望與條件方差 引用：《計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)及Stata應(yīng)用》 陳強(qiáng)
2.3方差分解
![]()
image
