卡爾丹公式法
特殊型一元三次方程

X^3＋pX＋q=0 (p瘾婿、q∈R)
判別式Δ=(q/2)^2＋(p/3)3

卡爾丹公式

X1=(Y1)^(1/3)＋(Y2)(1/3)
X2= (Y1)^{(1/3)ω＋(Y2)}(1/3)ω^2
X3=(Y1)^(1/3)ω2＋(Y2)^(1/3)ω
其中ω=(－1＋i3^(1/2))/2
Y(1,2)=－(q/2)±((q/2)^2＋(p/3)3)^(1/2)

標準型一元三次方程

aX ^3＋bX ^2＋cX＋d=0,（a,b,c,d∈R,且a≠0）
令X=Y—b/(3a)代入上式
可化為適合卡爾丹公式直接求解的特殊型一元三次方程Y^3＋pY＋q=0
卡爾丹判別法
當Δ=(q/2)^2＋(p/3)3>0時,方程有一個實根和一對共軛虛根
當Δ=(q/2)^2＋(p/3)3=0時,方程有三個實根,其中有一個兩重根
當Δ=(q/2)^2＋(p/3)3

其他方法

除了上文中的[卡爾丹公式]解法，[一元三次方程]還有其它解法讯沈，列舉如下：

因式分解法

[因式分解]法不是對所有的三次方程都適用凝果，只對一些簡單的三次方程適用．對于大多數(shù)的三次方程祝迂，只有先求出它的根，才能作因式分解器净。當然型雳，對一些簡單的三次方程能用因式分解求解的，當然用因式分解法求解很方便，直接把三次方程[降次]

例如：[解方程]x^3-x=0

對左邊作因式分解纠俭，得x(x+1)(x-1)=0沿量，得方程的三個根：x1=0；x2=1冤荆；x3=-1朴则。

一種換元法

對于一般形式的三次方程，先將方程化為x^3+px+q=0的特殊型钓简。

令x=z-p/3z乌妒，代入并[化簡]，
得：z^3-p/27z+q=0外邓。
再令z^3=w撤蚊，代入，
得：w^2-p/27w+q=0．
這實際上是關(guān)于w的[二次方程]损话。
解出w侦啸，再順次解出z，x席镀。

導數(shù)求解法

利用[導數(shù)]匹中，求的函數(shù)的極大極小值，單調(diào)遞增及遞減區(qū)間豪诲，畫出函數(shù)圖像顶捷，有利于方程的大致解答，并且能快速得到方程解的個數(shù)屎篱，此法十分適用于高中數(shù)學題的解答服赎。

如f(x）=x^{3+x+1,[移項]得x}3+x=-1,設(shè)y1=x^3+x,y2=-1
y1的導數(shù)y1'=3x^2+1,
得y1'恒大于0，y1在R上單調(diào)遞增交播，所以方程僅一個解重虑，
且當y1=-1時x在-1與-2之間，
可根據(jù)f(x1)f(x2)<0的公式秦士，無限逼近缺厉，求得較精確的解。

盛金公式法

[三次方程]應(yīng)用廣泛隧土。用根號解[一元三次方程]提针，雖然有著名的[卡爾丹公式]，并有相應(yīng)的判別法曹傀，但使用卡爾丹公式解題比較復雜辐脖，缺乏直觀性。[范盛金]推導出一套直接用a皆愉、b嗜价、c艇抠、d表達的較簡明形式的一元三次方程的一般式新求根公式——[盛金公式]，并建立了新判別法——盛金判別法久锥。

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盛金判別法

當A=B=0時家淤，方程有一個三重實根。

當Δ=B²－4AC>0時奴拦，方程有一個實根和一對共軛復根媒鼓。

當Δ=B²－4AC=0時，方程有三個實根错妖，其中有一個二重根。

當Δ=B²－4AC<0時疚沐，方程有三個不相等的實根暂氯。

盛金定理

當b=0，c=0時亮蛔，盛金公式1無意義痴施；
當A=0時，盛金公式3無意義究流；
當A≤0時辣吃，盛金公式4無意義；
當T<－1或T>1時芬探，盛金公式4無意義神得。
當b=0，c=0時偷仿，盛金公式1是否成立哩簿？
盛金公式3與盛金公式4是否存在A≤0的值？
盛金公式4是否存在T<－1或T>1的值酝静？
盛金定理給出如下回答：

盛金定理1：當A=B=0時节榜，若b=0，則必定有c=d=0（此時别智，方程有一個三重實根0宗苍，盛金公式1仍成立）。

盛金定理2：當A=B=0時薄榛，若b≠0讳窟，則必定有c≠0（此時，適用盛金公式1解題）蛇数。

盛金定理3：當A=B=0時挪钓，則必定有C=0（此時，適用盛金公式1解題）耳舅。

盛金定理4：當A=0時碌上，若B≠0倚评，則必定有Δ>0（此時，適用盛金公式2解題）馏予。

盛金定理5：當A<0時天梧，則必定有Δ>0（此時，適用盛金公式2解題）霞丧。

盛金定理6：當Δ=0時呢岗，若A=0，則必定有B=0（此時蛹尝，適用盛金公式1解題）后豫。

盛金定理7：當Δ=0時，若B≠0突那，盛金公式3一定不存在A≤0的值（此時挫酿，適用盛金公式3解題）。

盛金定理8：當Δ<0時愕难，盛金公式4一定不存在A≤0的值早龟。（此時，適用盛金公式4解題）猫缭。

盛金定理9：當Δ<0時葱弟，盛金公式4一定不存在T≤-1或T≥1的值，即T出現(xiàn)的值必定是-1<T<1猜丹。

顯然芝加，當A≤0時，都有相應(yīng)的盛金公式解題居触。

注意：盛金定理逆之不一定成立妖混。如：當Δ>0時，不一定有A<0轮洋。

盛金定理表明：盛金公式始終保持有意義制市。任意實系數(shù)的一元三次方程都可以運用盛金公式直觀求解。

公式特點

當Δ=B²－4AC=0時弊予，盛金公式③：
X⑴=－b/a+K祥楣；X⑵=X⑶=－K/2，其中K=B/A汉柒，（A≠0）误褪。
簡明易記，不存在開方（此時的[卡爾丹公式](仍存在開立方）碾褂。盛金公式③手算解題效率高兽间。與卡爾丹公式相比較，盛金公式的表達形式較簡明正塌，使用盛金公式解題較直觀嘀略、效率較高恤溶；盛金判別法判別方程的解較直觀。

重根判別式
A=b²－3ac帜羊；
B=bc－9ad咒程；
C=c²－3bd
是最簡明的式子，由A讼育、B帐姻、C構(gòu)成的總[判別式]
Δ=B²－4AC
也是最簡明的式子（是非常美妙的式子），
其形狀與一元二次方程的根的判別式相同奶段；
盛金公式②中的式子
（－B±（B²－4AC)^（1/2））/2
具有一元二次方程求根公式的形式饥瓷，
這些表達形式體現(xiàn)了數(shù)學的有序、對稱痹籍、和諧與簡潔美扛伍。