蟾圓幾度怕磨，分袂未遙喂饥。暌違風(fēng)采，時殷企念肠鲫。季冬寒甚员帮，不審諸君動止何似?對于上回的文章，很多朋友表示講得太慢了导饲。對此我以為捞高，不是講得慢，實在是你們樂理基礎(chǔ)太好了渣锦。
先澄清一個錯誤。上一篇文章純律中a1的音高袋毙，以及c1到a1的頻率比都是錯的型檀，不小心把五度相生律中的數(shù)據(jù)給粘上去了。這一錯誤將會在下一篇文章中更正听盖。在此特別感謝飛天合唱團中的中堅力量胀溺、活潑可愛的@嚴(yán)程皓同學(xué)裂七。
上回介紹的是十二平均律，其特點就是十二仓坞、平均（不明白的朋友請自行復(fù)習(xí)前一篇）背零。可見无埃，只要一個人有小學(xué)水準(zhǔn)的語文素養(yǎng)徙瓶、初中水平的邏輯分析能力、稍微高一點的數(shù)學(xué)知識儲備（得會做對數(shù)录语、指數(shù)運算）倍啥，那么學(xué)習(xí)律學(xué)根本就不是問題。
接下來說五度相生律澎埠。先要說明虽缕，這里的五度是指純五度。在十二平均律中蒲稳，純五度音程對應(yīng)的是7個半音氮趋，意即，兩音頻率比為2^(7/12)江耀。而現(xiàn)在既然不使用十二平均律了剩胁，對純五度的定義方法自然也要換個方式。
早在遙遠(yuǎn)的春秋時代祥国，畢達(dá)哥拉斯及其學(xué)派發(fā)現(xiàn)當(dāng)認(rèn)為弦樂器的弦長比分別為2:1昵观、3:2、4:3時舌稀，可以發(fā)出很和諧的聲音啊犬。用當(dāng)代術(shù)語描述就是，2:1壁查、3:2觉至、4:3的現(xiàn)場比分別對應(yīng)純八度、純五度睡腿、純四度的音程∮镉現(xiàn)在我們得出結(jié)論：
結(jié)論1：（非十二平均律下的）純五度是指弦長比分別為3:2的相同琴弦發(fā)出的聲音的音程。
等等应闯，好像哪里不對。我們明明講的是律學(xué)何恶，為什么突然蹦出一個弦長比孽锥？全然分からない。
那我們繼續(xù)分（chě）析（dàn）。稍微涉及一點高中知識以外的內(nèi)容惜辑，沒有興趣的朋友請直接跳到結(jié)論唬涧。根據(jù)高中物理，我們知道當(dāng)緊張的琴弦振動發(fā)聲的時候盛撑，弦上各處在平衡位置附近做簡諧振動（不考慮阻尼）碎节。這是典型的橫波，具體來說抵卫，是一種典型的雙端固定的一維波動狮荔。用方程來描述是：
其中，u(x,t)指x處在t時刻偏離平衡位置的位移介粘，F(x,t)是垂直弦的外力殖氏，k=√(T/ρ)為一常數(shù)（有很直觀的物理含義，后面會說）姻采，T為弦上的張力雅采，ρ為弦的密度。經(jīng)計算慨亲，其通解為（通解的物理含義是弦的自由振動分量婚瓜，特解對應(yīng)受迫振動的振動分量）：
其中，f1刑棵、f2為任意具有連續(xù)二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù)巴刻。考慮到真實情景為一根長為L的雙端固定的琴弦蛉签，帶入邊界條件
可以求出f1胡陪、f2的更為精確的形式。
然而我們并不需要這么做碍舍。只需要分析式(2)的物理含義督弓，可以很容易地發(fā)現(xiàn)，x+kt乒验、x-kt的形式暗示了橫波在弦上能夠向兩個方向傳播。那么蒂阱，這個處核心地位的k有什么物理含義呢锻全？
答案已經(jīng)呼之欲出了，是波速录煤。觀察雙端固定琴弦的的駐波形狀鳄厌，易知，穩(wěn)定駐波的波長是
回憶高中物理了嚎，振動的頻率
其中振動的基頻（此時N取1）為
我們發(fā)現(xiàn)，弦長和頻率（基頻）成反比關(guān)系。再聯(lián)系前文（我知道你們肯定都忘了）純五度的3:2關(guān)系歪泳，我們可以得出結(jié)論：
結(jié)論2：（非十二平均律下的）純五度下萝勤，兩音的頻率比為2:3。
順便一提呐伞，在這種規(guī)律下敌卓，純八度頻率比仍然是1:2，這和我們前一篇的結(jié)論是不相違背的伶氢。好了趟径，經(jīng)過繁復(fù)的推導(dǎo)，我們知道了一些結(jié)論癣防，但是這有什么用呢蜗巧？
根據(jù)(6)易得，琴弦的振動不會是簡單的簡諧振動蕾盯，而是應(yīng)當(dāng)寫成類似于
的形式幕屹。等等，這個形式好像在哪里見過……
顯然香嗓，根據(jù)傅氏級數(shù)的相關(guān)知識，F(t)是一個以為頻率的周期函數(shù)装畅。也就是說靠娱，每一個單音，實際上都是一組以Nω為頻率的正弦波的疊加掠兄。根據(jù)小學(xué)數(shù)學(xué)知識像云，如果兩個單音的基頻的最小公倍數(shù)小，那么其各次諧波中有很多頻率是重疊的蚂夕，因此聽起來和諧迅诬。反之則聽上去不和諧。試想婿牍，如果某甲唱1000Hz侈贷，而某乙唱998Hz，那么幾乎兩個人聲音中的每一次的諧波成分都在堅定地打著架（拍現(xiàn)象等脂，篇幅原因這里不展開說了）俏蛮，這樣的聽覺效果將是多么的慘絕人寰。難怪我們敬愛的程哥（北航飛天合唱團常任指揮）總會讓某些唱不準(zhǔn)的人閉嘴（比如我）呢上遥。
書歸正傳（今天好像格外地愛跑題呢）搏屑，我們發(fā)現(xiàn)用2:3頻率比來定義純五度（以及1:2的純八度，3:4的純四度）粉楚，得到的音程是非常和諧的辣恋。
那既然你這么和諧，就用純五度（上方純五度就是下方純四度伟骨，反之亦然）和純八度來標(biāo)定其余的一切音程吧饮潦。——五度相生律就是這樣的思路底靠。
比如說害晦，C上方五度是G，那么頻率比就是3/2暑中。再五度相生一次可以生出上一組的E壹瘟，那么C和E的關(guān)系就是（注意要降一個八度）
其余以此類推，通過這種方法可以得出所有的音程之間的關(guān)系■猓現(xiàn)在回頭再看表1
是否會有了新的感受呢？希望朋友們能在這篇文章中得到收獲雕凹。下面給出五度相生律的定義：
結(jié)論3：五度相生律是根據(jù)復(fù)合音的第二分音和第三分音的純五度關(guān)系殴俱，即由某一音開始向上推一純五度，產(chǎn)生次一律枚抵，再由次一律向上推一純五度线欲，產(chǎn)生再次一律，如此繼續(xù)相生所定出的音律叫做五度相生律汽摹。
值得說明的是：（1）第幾分音的概念我會在下一篇文章的介紹李丰，這里我們只要知道這和結(jié)論2中所闡述的結(jié)論是一致的就可以了。（2）五度相生律是從任意一個音開始相生都可以的（方便起見逼泣，文中從C開始生趴泌。實際上從任意一個音開始生，得到的音程的頻率比都是一樣的）拉庶。
說了這么多嗜憔，大家也累了吧。下一篇文章將介紹第三種律制——純律氏仗，以及三種律制之間的一些關(guān)系吉捶。
放張美圖給諸君養(yǎng)養(yǎng)眼。
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?深淵之蛙
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2017.1.17
