4.極點厕倍，極錐

極點

定義：設 $x$ 為非空凸集 $C$ 中向量，若對 $C$ 中任意不同于 $x$ 的 $y, z$ 贩疙，以及任意標量 $\alpha \in (0,1)$ 讹弯，使得 $x = \alpha y + (1-\alpha)z$ 均不成立，則稱 $x$ 為集合 $C$ 的極點或頂點 (extreme point)这溅。

極點示意圖

注意事項

極點不能由凸集中其他點的凸組合來表示组民。
開集中無極點。
凸錐至多有一個極點悲靴，即原點臭胜。
凸多面體極點個數(shù)是有限的，亦可能沒有对竣。
多面體上的凹函數(shù)至少會在某個極點處取到最小值庇楞。

定理 (凸集與其低維線性子集的極點)
設集合 $C \subseteq \mathbb{R}^n$ 為凸集， $C$ 屬于超平面 $H$ 對應的某個閉半空間否纬，則 $C \cap H$ 的極點必是 $C$ 的極點且屬于 $H$ 吕晌，反之亦成立。

圖例

定理 (極點存在的直線條件)
設集合 $C \subseteq \mathbb{R}^n$ 為非空閉凸集临燃，則 $C$ 含有至少一個極點當且僅當 $C$ 不包含直線睛驳。
定理 (多面體集極點定理)
設 $\mathbb{R}^n$ 中多面體集：
$P = \{ x \mid a_j^T x \leq b_j, j = 1, \ldots, r \}$
其中 $a_j \in \mathbb{R}^n$ , $b_j \in \mathbb{R}$ , $j = 1, \ldots, r$ 烙心，則向量 $\mathbf{v}$ 是 $P$ 的極點當且僅當集合：
$A_v = \{ a_j \mid a_j^T \mathbf{v} = b_j, j \in \{1, \ldots, r\} \}$ 含有 $n$ 個線性無關的向量。

極錐

定義：設 $C$ 為任意非空集合乏沸，其極錐 (polar cone) 定義如下：
$C^* = \{ y \mid y^{\top} x \leq 0, \forall x \in C \}.$

極錐

極錐的性質(zhì)

設 $C$ 為非空集合淫茵，有
$C^* = (cl(C))^* = (conv(C))^* = (cone(C))^*.$
設 $C$ 為非空錐集合，有
$(C^*)^* = cl(conv(C)),$ 特別地蹬跃，若 $C$ 是閉凸集匙瘪，則 $(C^*)^* = C$ 。

多面體表示

定義：若多面體 $C \subseteq \mathbb{R}^n$ 可表示成如下形式：
$C = \{ x \mid a_j^{\top} x \leq 0, j = 1, \ldots, r \}$
其中 $a_j \in \mathbb{R}^n$ 蝶缀， $r$ 是某個正整數(shù)丹喻，則稱 $C$ 為多面體錐 (polyhedral cone)。意思是多面體錐可以表示成若干個閉半空間的交集翁都。

多面體錐

有限生成錐

定義：若錐 $C$ 可表示成如下形式：
$C = \operatorname{cone}\left(\left\{a_1, \ldots, a_r\right\}\right) = \left\{ x \mid x = \sum_{j=1}^r \mu_j a_j, \mu_j \geq 0, j = 1, \ldots, r \right\},$

其中 $a_j \in \mathbb{R}^n$ 碍论， $r$ 是某個正整數(shù)，則稱 $C$ 為有限生成錐 (finitely generated cone)柄慰。

有限生成錐

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